11. Исследование оперативно-тактических действий с применением полных факторных планов.

11.1. Понятие полных факторных планов и их построение

Полными факторными планами (ПФП) называют такие планы эксперимента, в которых число уровней варьирования каждого фактора одинаково и всевозможные комбинации этих уровней встречаются одинаковое количество раз. Эти планы обозначаются 2^k.Полные факторные планы предназначены для отыскания математической модели объекта. Математическая модель - это в данном случае зависимость выходной величины объекта от входных переменных - варьируемых факторов. Математическая модель служит для исследования объекта и управления им. С её помощью можно также рассчитать оптимальные режимы функционирования объекта.

Ниже подробно рассматриваются ПФП, в которых число уровней каждого фактора равно двум. X₁ и Х₂.

На 1-м этапе планирования эксперимента необходимо выбрать диапазон варьирования каждого фактора. Пусть для фактора X₁, выбран диапазон варьирования

X_1min ≤ X₁ ≤ X_1мax

Это значит, что наибольшее значение, применяемое в эксперименте фактора X₁, равно X_1max, а наименьшее X_1min.

Аналогично диапазон варьирования фактора Х₂ равен

X_2min ≤ X₂ ≤ X_2мax

Величины Х_1мах и Х_2мах называют верхними уровнями варьирования факторов Х₁ и Х₂ соответственно, а величины X_1min и X_2min - нижними уровнями варьирования этих факторов. Таким образом, ПФП 2^k - это экспериментальный план в котором:

каждый фактор варьируется только на двух уровнях - на верхнем и нижнем;

в эксперименте реализуется всевозможное сочетание уровней факторов.

Из второго условия сразу следует, что для произвольного числа факторов k число опытов ПФП равно 2^k

Очевидно, что постановка четырех опытов даст всевозможные комбинации значений двух факторов, каждый из которых варьируется на двух уровнях.

Построенный таким образам ПФП для двух факторов приведен в табл.11.1. Его обозначение 2².

ПФП для двух факторов Таблица 11.1

Номер опыта	Значения факторов		Значение выходной величины y
	X1	X2
1	X1min	X2min	y1
2	X1max	X2min	y2
3	X1min	X2max	y3
4	X1max	X2max	y4

Пример. Определить время преодоления расстоянии в зависимости от массы переносимого пожарного оборудования и снаряжения. В качестве варьируемых факторов выбраны расстояние L= X₁ и масса груза m = Х₂.

Диапазоны варьирования факторов такие:

10м ≤ L ≤ 200м

1кг ≤ m ≤ 20кг.

Тогда ПФП для этого исследования имеет следующий вид (табл.11.2)

Таблица11.2

Номер опыта	Значения факторов		y
	X1 = L м	X2= m кг
1	10	1	y1
2	200	1	y2
3	10	20	y3
4	20	20	y4

Обработав надлежащим образом результаты эксперимента, можно получить математическую модель. В данном случае это зависимость времени от длины расстояния и массы переносимого груза. Имея такую зависимость, можно исследовать характер и степень влияния каждого из этих факторов на выходную величину - время.

Так же, как и в случае двух переменных, можно построить перебором ПФП для любого числа факторов. Однако, прежде чем этим заниматься введем для варьируемых факторов некоторые безразмерные нормализованные обозначения.

Пусть в эксперименте варьируется k факторов и X_i - любой из них: i = 1, 2,..., k. Его диапазон варьирования

X_{i min} ≤ X_i ≤ X_{i max}. (11.1)

Середину диапазона варьирования фактора назовем его основным уровнем и обозначим X_i⁽⁰⁾:

(11.2)

Разность Δ_i = X_{i max}- X_i⁽⁰⁾ = X_i⁽⁰⁾-X_{i min} (11.3)

называется интервалом варьирования фактора X_i. Сопоставим произвольный фактор X_i его нормализованному значению по следующей формуле:

(11.4)

Значения X_i будем называть теперь натуральными значениями фактора. В частности, для факторов из предыдущего примера имеем основные уровни варьирования:

Формула (11.4), связывающая нормализованные и натуральные обозначения факторов, примет следующий вид:

для фактора L = Х₁

для фактора m= Х₂

Подчеркиваем еще раз, что строчные буквы х_i - присваиваются нормализованным значениям факторов, а заглавные буквы X_i - натуральным значениям факторов.

Введение нормализованных обозначений факторов по формуле (11.4) создает целый ряд удобств. Легко заметить, что независимо от диапазона варьирования любого фактора его нижний уровень в нормализованных обозначениях равен -1, верхний уровень +1, основной уровень - нулю. Благодаря этому ПФП в нормализованных обозначениях можно строить перебором уровней -1 и +1, не интересуясь конкретными диапазонами варьирования факторов.

Полный факторный план для двух факторов в нормализованных обозначениях приведен в табл.11.3 (сравните с табл.11.2).

Полным факторным планам можно дать геометрическое толкование. Для плана с двумя факторами рассмотрим факторную плоскость, то есть координатную плоскость, по оси абсцисс которой откладываются значения факторах х₁, а по оси ординат - значение фактора х₂ (см. рис.11.1). Построим на этой плоскости точки, координаты которых соответствуют нормализованным значениям факторов в опытах 1-4 ПФП 2² (табл.11.3). Точки этого плана образуют вершины квадрата, центр которого совпадает с началом координат. Внутренность квадрата является областью варьирования нормализованных факторов.

На факторной плоскости (рис.11.2) изображены точки этого же плана в натуральных обозначениях факторов. В этих координатах область варьирования факторов представляет собой внутренность прямоугольника.

Таблица 11.3

ПФП для двух факторов в нормализованных обозначениях (план 2²)

Номер опыта	х1	х2	y
1	-1	-1	y1
2	+1	-1	y2
3	-1	+1	y3
4	+1	+1	y4

Рис.11.1 Геометрическое толкование полных факторных планов 2². а) нормализированные факторы, б) натуральные факторы

Перейдем к ПФП с тремя факторами. Его можно построить перебрав всевозможные комбинации уровней +1 и - 1 для трёх факторов. Очевидно, что этот план будет содержать 8 опытов (табл.11.4).

В дальнейшем таблицы с экспериментальными планами будем называть матрицами планирования эксперимента.

Таблица №4