8.3 Определение параметров генеральной совокупности

Рассмотрим случайный эксперимент, т. е. эксперимент, исход которого может быть различен даже при постоянстве условий опыта. Пусть А - один из возможных исходов случайного эксперимента. Повторим эксперимент n раз и обозначим через n_a число наступлений исхода А в этих n экспериментах. Отношение у_а =n_а/n называется относительной частотой события А.

Относительная частота обладает свойством статистической устойчивости. Статистическая устойчивость заключается в том, что при большом и относительная частота события А лишь слегка колеблется (при изменении n) около некоторого числа.

Если проделать несколько серий экспериментов, то относительные частоты, найденные по этим сериям, будут также близки между собой. Число, около которого колеблется относительная частота события А, называется вероятностью события А и обозначается р(А).

Предположим, что событие А заключается в том, что случайная величина у в результате эксперимента принимает одно из возможных значений у_i. Тогда можно определить вероятность p_i события А. Вероятность р_i,количественно характеризует объективную возможность появления данно­го значения случайной величины у_i.

Если известны вероятности значений случайной величины, то можно определить параметры генеральной статистической совокупности - ма­тематическое ожидание М_у и дисперсию σ².

Математическое ожидание М_у определяется по формуле:

(8.10)

Формула для определения дисперсии σ² имеет следующий вид:

(8.11)

Выборочное среднееи оценка дисперсииS² являются лишь приближенными оценками математического ожидания М_у и дисперсии σ²:

; . (8.12)

С увеличением числа опытов n, когда относительная частота γ_i, стремится к вероятности p_i, точность определения параметров генеральной совокупности по выборочным значениям этих параметров растет:

; (8.13)

. (8.14)

Всякий закон, устанавливающий связь между значениями случайной величины и соответствующими вероятностями, называется законом распределения случайной величины.

Функция, показывающая вероятность того, что случайная величина y будет меньше Y, называется функцией распределения случайной величины и обозначается F(y).

8.4 Определение доверительного интервала для параметров генеральной совокупности

Сплошное обследование всех элементов генеральной совокупности может потребовать больших затрат средств и времени. По этой причине исследователь всегда имеет дело с выборочной статистической совокупностью, то есть с частью общей генеральной совокупности.

Однако исследователя прежде всего интересуют свойства всей генеральной совокупности. Поэтому одна из важнейших задач математической статистики заключается в определении параметров всей генеральной совокупности на основании информации, которую можно извлечь из ограниченной выборки. Поясним сказанное примером. Пусть нас интересует среднее время развертывания насосно-рукавной системы для забора воды насосной установкой мобильного средства пожаротушения расчетом из двух человек какого либо гарнизона пожарной охраны. Мы, конечно, можем провести прием зачетов от исполнителей в каждом карауле всех пожарных частей этого гарнизона пожарной охраны и таким образом совершенно точно найти среднее время развертывания двумя исполнителями заранее оговоренных условиях – генеральное среднее M_y.

Однако такое сплошное обследование всей генеральной совокупности потребует больших затрат средств и времени. Поэтому в практике применяют выборочный метод, с помощью этого метода среднее время находят не по всем караулам - всей генеральной совокупности, а по их небольшой части - выборке.

Допустим, для простоты, что весь гарнизон состоит из девяти пожарных частей, которые при развертывания насосно-рукавной системы для забора воды из водоисточника показали следующие результаты 40, 32, 50, 46, 26, 30, 22, 36 и 48 с. Легко подсчитать, что генеральное среднее М_у этой статистической совокупности равно 36,6 с.

Проведем теперь выборочное измерение времени выполнения упражнения по трем произвольно взятым группам исполнителей. Для этого выберем какие-либо три результата (например, первые три) и найдем их среднее значение ₁:

Если бы мы возьмём следующие три измерения - 46, 26, 30, - то получили бы уже другое значение выборочного среднего: ₂= 34,0 с. В первом случае ошибка - разность между выборочным средним и действительным значением среднего времени - равнялась ₁ -М_у = 40,7- 36,6 = 4,1 с; во втором₂-М_у = 34,0 -36,6 = - 2,6 с.

Как видим, определение генерального среднего по выборочному производится с ошибкой. Каждое из возможных выборочных значений (в качестве обследуемых мы могли взять произвольным образом любые три измерения) находится как среднее арифметическое трех случайных величин. Соответственно выборочное среднее также является случайной величиной. Эта случайная величина в ту или иную сторону отклоняется от истинного среднего значения генеральной совокупности.

Точно так же и другие выборочные параметры (например, выборочная дисперсия) являются случайными величинами. Их отклонения от генеральной совокупности случайны. Следовательно, можно указать только вероятность того или иного отклонения и тем самым охарактеризовать численно надежность (достоверность) полученного результата. Вероятность р нахождения истинного значения параметра генеральной совокупности в некоторых пределах называется доверительной вероятностью. Пределы, соответствующие доверительной вероятности, называют доверительными границами, а образуемый ими интервал - доверительным интервалом.

Техника нахождения доверительного интервала для генерального среднего несложна. При выборке объема n < 120 закон распределения ошибки - разности между генеральным и выборочным средним - описывается известной функцией распределения, называемой t-распределением Стьюдента. Используя свойства этого распределения, можно всегда вычислить вероятность отклонения выборочного среднего от генерального на данную величину. Соответственно можно найти и доверительный интервал.

Для расчета доверительного интервала необходимо. Найти выборочное среднее у и оценку дисперсии s².Задаться уровнем значимости q. Уровнем значимости называют вероятность ошибки, которой допустимо пренебречь в данном исследовании. В нашем случае ошибка будет заключаться в том, что генеральное среднее М_у не будет лежать внутри найденного интервала. Поэтому q = 1 -р. Обычно в технологических расчетах величину доверительной вероятности р берут в пределах от 0,9 до 0,99.

Для данного уровня значимости q и числа степеней свободы f = n - 1 из Приложения 4 находят величину t_qf. Расчет доверительного интервала производится по формуле:

(8.15)

Пример. В результате серии экспериментов из n = 30 испытаний были получены следующие значения: = 28,2 с,S² = 36. Требуется определить доверительные границы для среднего значения, соответствующие 95%-ной доверительной вероятности.

Решение. Для доверительной вероятности р = 0,95 уровень значимости q = 1 - - 0,95 = 0,05. Число степеней свободы f= 30 - 1 = 29. Из Приложения находим для данных значений q и f значение t_qf = 2,04. Подставляя полученные результаты в формулу (8.15), получаем 28,2 - 2,041,09≤ М_y ≤ 28,2 + 2,041,09, или, окончательно, 26,02≤ M_y≤ 30,42.

Таким образом, с вероятностью 0,95 среднее значение заключено между 26,02 с и 30,42 с. То есть из 100 выполненных произвольных экспериментов 95 будут иметь среднее время, лежащее в найденном интервале.