8.8 Проверка статистических гипотез

Выдвинутая статистическая гипотеза, как всякая гипотеза, нуждается в проверке. Проверка статистической гипотезы состоит в решении вопроса: будет ли гипотеза принята или ее надлежит отвергнуть (забраковать). В зависимости от типа статистической гипотезы существуют различные способы ее проверки. Рассмотрим вкратце идеи, лежащие в основе проверки нулевых статистических гипотез. Для этого вернемся к предыдущему примеру.

Если бы расхождение между величинами среднего времени спасательных работ обоих караулов было очень большим, нулевая гипотеза о равенстве двух выборочных средних ₁ и ₂ вряд ли оказалась справедливой. С другой стороны, если бы расхождение между ₁ и ₂ получилось незначительным, нулевая гипотеза представлялась бы нам вполне правдоподобной.

Сложнее обстоит дело, когда различие между выборочными средними не слишком велико и не слишком мало. В этом случае интуитивно определить правдоподобие нулевой гипотезы трудно. Допустим теперь, что при заданном различии (разности) между выборочными средними нам известна вероятность, с которой эта разность имеет место при условии справедливости нулевой гипотезы. Если эта вероятность мала, т. е. выборочные средние отличаются друг от друга больше, чем можно ожидать в связи со случайными колебаниями в частных совокупностях, логично отвергнуть (забраковать) нулевую гипотезу. Если вероятность оказывается достаточно высокой, нулевая гипотеза принимается.

Мерой отличия параметров совокупностей может служить их разность или отношение. Для ряда случаев вероятности отклонения сравниваемых характеристик случайных величин вычислены и введены в таблицы. Пользуясь этими таблицами по определенным правилам можно произвести проверку гипотезы, т. е. решить, верно или неверно наше предположение.

При проверке гипотез возможны ошибки двух родов. Ошибка первого рода состоит в том, что нулевая гипотеза отвергается, когда она на самом деле верна. Ошибка второго рода состоит в том, что нулевая гипотеза принимается, хотя она и неверна. Вероятность допустить ошибку 1-го рода, выраженная в процентах, называется уровнем значимости q. Таким образом, если гипотеза верна с уровнем значимости q, это означает, что с вероятностью (1 - q) гипотеза действительно верна. Обычно в технологических задачах берут 5%-ный уровень значимости, что соответствует вероятности ошибки q = 0,05.

8.9 Проверка однородности оценок дисперсий

Две выборочные дисперсии S₁² и S₂² называются однородными, если они являются оценками одной и той же дисперсии Таким образом, однородность выборочных дисперсий S₁² и S₂²означает, что между ними несущественного различия.

Проверка однородности оценок дисперсий служит, например, эффективным средством контроля получения навыков пожарными при работе с пожарным оборудованием. Если оценка дисперсии S₁² характеризует время выполнения развертывания S₁² одной группой пожарных, a S₂² - другой, то, доказав однородность оценок дисперсий S₁² и S₂², мы тем самым докажем, что подготовка пожарных различных групп одинакова.

Для проверки гипотезы об однородности двух выборочных дисперсий необходимо:

• Найти отношение F_pacч оценок дисперсий S₁² и S₂², полученных из опыта:

(8.24)

В числителе формулы (8.24) берется большая оценка дисперсии. F_pacч служит мерой различия между выборочными дисперсиями S₁² и S₂².Чем ближе это отношение к единице, тем более правдоподобна нулевая гипотеза.

• Определить число степеней свободы f₁ первой и f₂ второй выборки:

(8.25)

где n₁ и n₂ - число наблюдений в первой и второй выборках соответственно.

• Задаемся уровнем значимости q.

• По табл.1 Приложения для данного уровня значимости q и числа

степеней свободы f₁ и f₂ найти значение F_Taлб. F_Taлб показывает, каким может быть наибольшее отношение двух выборочных дисперсий при условии, что они однородны.

Если F_pacч<F_Taбл принимается гипотеза о том, что S₁² и S₂² есть оценки одной и той же дисперсии σ², то есть они однородны.

Изложенная процедура проверки гипотезы об однородности двух выборочных дисперсий называется проверкой по F-критерию Фишера.

Если требуется проверить однородность нескольких выборочных дисперсий S₁², S₂², …, S_m², причем все m выборок имеют одинаковое число наблюдений n₁ = n₂ = ... = n_m = n, то используется критерий Кохрена,

Для проверки гипотезы об однородности нескольких дисперсий по критерию Кохрена необходимо:

1) рассчитать величину G_pacч:

(8.26)

В формуле (8.26) в числителе стоит наибольшая из оценок дисперсий S₁², S₂², …, S_m²;

2) задаться уровнем значимости q;

3) найти число степеней свободы f = n - 1;

4) по табл.4 Приложения для данного значения числа сравниваемых дисперсий m, числа степеней свободы f и уровня значимости q найти величину G_табл. Если G_pacч<G_табл, гипотеза об однородности дисперсий принимается.