13. Исследование оперативно-тактических действий с помощью экспериментальных планов 2-го порядка.
Планами 2-го порядка называются такие планы многофакторного эксперимента, с помощью которых можно получить математическое описание объектов в виде полинома 2-го порядка. Для двух факторов соответствующее уравнение регрессии записывается в виде
(13.1)
В общем случае, когда число варьируемых факторов равно k, модель имеет вид
(13.2)
Число коэффициентов регрессии такого плана равно
(13.3)
В отличие от моделей, получаемых по результатам ПФП и ДФП, уравнение (13.2) позволяет оценить коэффициенты регрессии bii при квадратичных членах xi2. Такая модель дает более детальное описание объекта, поэтому планы 2-го порядка часто используют на заключительном этапе экспериментального исследования. В эксперименте, проводимом с целью построения плана 2-го порядка, уже недостаточно иметь 2 уровня варьирования для каждого фактора, как это было в ПФП и ДФП. Действительно, модель (13.2) описывает зависимость выходной величины от каждого фактора в виде параболы, для построения которой нужно три точки. Поэтому в любом плане 2-го порядка каждый фактор варьируется не менее чем на трех уровнях. Ниже рассматривается два типа планов 2-го порядка: В-планы (планы Бокса) и униформ-ротатабельные планы УРП.
13.1 В-план 2-го порядка
В-планы синтезированы математиками, исходя из требований наибольшей точности оценок коэффициентов регрессии, В планах каждый фактор варьируется на трех уровнях: -1, 0, +1 в нормализованных обозначениях.
В-планы обладают следующим свойством, называемым композиционностью. Составной частью В-плана является полный факторный план ПФП. Это свойство полезно в тех случаях, когда по результатам поставленного ПФП и ДФП получилась неадекватная модель. Тогда есть возможность дополнительно поставить некоторое число опытов, так что все опыты в целом образуют В-план 2-го порядка, а их обработка позволит получить соответствующую модель.
Назовем звездной точкой В-плана условия опыта, в котором один из факторов принимает нормализованное значение: +1 или -1, а остальные фиксируются на основном уровне - ноль в нормализованных обозначениях. Вот, например, звездные точки для трех факторов (в нормализованных обозначениях):
Очевидно, что при числе факторов k имеется 2k различных звездных точек.
В-план состоит из точек ПФП, к которым добавлено 2k звездных точек. Общее число опытов В-плана, таким образом, равно
N = 2k + 2k (13.4)
В табл. 13.1 приведен В-план для двух варьируемых факторов, а в; табл. 13.2 В-план для трех варьируемых факторов (в нормализованных обозначениях).
Полезно иметь в виду, что для числа факторов, равного 5 и более, можно построить разновидность В-плана, в которой в качестве составной части вместо полного факторного плана 2к содержится полуреплика 2к. Общее число опытов для таких планов равно
N=2k - 1 + 2k (13.5)
Связь нормализованных и натуральных обозначений факторов в В-плане задается теми же формулами, что и для планов ПФП и ДФП (см. формулу (11.4).
Таблица 13.1
В-план для k = 2
|
Номер опыта |
x1 |
x2 |
y |
|
1 |
-1 |
-1 |
y1 |
|
2 |
+1 |
-1 |
y2 |
|
3 |
-1 |
+1 |
y3 |
|
4 |
+1 |
+1 |
y4 |
|
5 |
-1 |
0 |
y5 |
|
6 |
+1 |
0 |
y6 |
|
7 |
0 |
-1 |
y7 |
|
8 |
0 |
+1 |
y8 |
Таблица 13.2
В-план для k = 3
|
Номер опыта |
x1 |
x2 |
x3 |
y |
|
1 |
-1 |
-1 |
-1 |
y1 |
|
2 |
+1 |
-1 |
-1 |
y2 |
|
3 |
-1 |
+1 |
-1 |
y3 |
|
4 |
+1 |
+1 |
-1 |
y4 |
|
5 |
-1 |
-1 |
+1 |
y5 |
|
6 |
+1 |
-1 |
+1 |
y6 |
|
7 |
-1 |
+1 |
+1 |
y7 |
|
8 |
+1 |
+1 |
+1 |
y8 |
|
9 |
-1 |
0 |
0 |
y9 |
|
10 |
+1 .. |
0 |
0 |
y10 |
|
11 |
0 |
-1 |
0 |
y11 |
|
12 |
0 |
+1 |
0 |
y12 |
|
13 |
0 |
0 |
-1 |
y13 |
|
14 |
0 |
0 |
+1 |
y14 |