8.5 Определение необходимого числа измерений

Определив доверительный интервал, мы тем самым определяем точность, с которой выборочное среднее совпадает с генеральным среднимМ_у. Можно поставить и обратную задачу: найти такой объем выборки n_р, чтобы вероятность р отклонения выборочного среднего от генерального среднегоМ_у на величину, большую Δ, была достаточно мала. Надежность полученного таким образом результата (уровень достоверности) будет равна:

p = 1-q (8.16)

Например, мы хотим, чтобы вероятность отклонения выборочного среднего от генерального среднегоМ_у = 36,6 с (см. пример из предыдущего пункта) на величину, большую Δ = 3 с, была равна 0,01. Отклонение выборочного среднего от действительного на величину больше 3 с при этих условиях наблюдалось бы только в одном случае из 100. Спрашивается, сколько наблюдений и мы должны произвести, чтобы это условие выполнялось?

Выборка, которая с достаточной точностью представляет параметры генеральной совокупности, называется представительной, или репрезентативной.

Для определения объема репрезентативной выборки предварительно ставится серия наблюдений объемом n. Число n опытов предварительной серии наблюдений определяется априорной информацией о степени изменчивости изучаемой величин (при исследовании оперативно-тактических действий число n рекомендуется брать порядка 50-150).

По результатам серии предварительных опытов необходимо:

Вычислить выборочное среднее и выборочную дисперсиюS²;

Найти объем n_р репрезентативной выборки по формуле:

(8.17)

Величина Δ представляет собой абсолютную допускаемую ошибку определения среднего значения выборки. Относительно допускаемая ошибка ε будет равна

(8.18)

Если при определении объема репрезентативной выборки требуется учитывать относительную ошибку, то следует использовать формулу

(8.19)

где υ- коэффициент вариации.

Формулы (8.17) и (8.18) справедливы и в том случае, если объем n серии предварительных опытов невелик (n< 120).

Чтобы проверить, является ли выборка из n_р наблюдений действительно репрезентативной, нужно найти доверительный интервал для выборочного среднего , полученного из этой выборки.

8.6 Порядок оценки основных параметров статистической совокупности

• Принять длину h интервалов статистического ряда в нашем примере равной 100 (табл. 8.2)

определить, их количество к по формуле:

(8.20)

где y_min - наименьшее значение случайной величины;

y_max - ее наибольшее значение.

При этом значение y_min берется на 100 единиц меньше минимального оцифрованного значения шкалы, а y_max - на 100 единиц больше максимального оцифрованного значения шкалы.

• По образцу табл. 8.2 подготовить рабочую таблицу. В первый столбец этой таблицы заносят номера i = 1, 2...,к интервалов, на которые разбит весь диапазон изменения случайной величины. Во втором столбце указаны нижние у_iн и верхние у_iв- границы этих интервалов. В третий столбец таблицы заносят срединное значение у_i* каждого i-го интервала:

(8.21)

Рабочая таблица облегчает построение статистического ряда. Она заполняется непосредственно во время проведения эксперимента. Случайная величина, попавшая в какой-либо интервал, отмечается в четвёртом столбце таблицы точкой. Таким образом, каждая точка соответствует одному значению случайной величины, попавшей в данный интервал. По окончании эксперимента количество точек в каждом интервале суммируют и определяют частоту р_i, попадания случайной величины в каждый i-й интервал.

Для удобства подсчета числа попаданий в интервал ис­пользуют метод точкования. В соответствии с этим методом первые 4 попадания случайной величины в интервал последовательно отмечаются точками, расположенными в вершинах квадрата . Следующие 4 попадания отмечают черточками, образующими стороны квадрата и, наконец, 9-е и 10-е попадания отмечаются черточками, образующими диагонали квадрата . Полученная в результате фигура соответствует десяти попаданиям вi-й интервал.

Таблица 8.2

Номер интервала, i	Граница интервала yiн ...yiв			Середина интервала yi*		Точки	Частота попаданий pi = mi/n
1	2			3		4	5
1	300 ...400			350			4
2	400 ...500			450			12
…	…			…		…	…
10	1100 ...1200			1150		:	2

Если случайная величина попадает на границу двух интервалов, включить ее в интервал с большим номером.

• Подготовить таблицу по образцу табл. 8.3.

• Заполнить третий столбец табл. 8.3, воспользовавшись для этого

данными последнего столбца рабочей таблицы.

• Для каждого i-го интервала найти произведение частоты попадания

случайной величины в данный интервал на середину этого интервала.

• Воспользовавшись данными 4-го столбца табл. 8.3, рассчитать

значение выборочного среднего (оценки математического ожидания) :

(8.22)

• Заполнить 5-й и 6-й столбцы табл. 8.3. Определить выборочную

дисперсию (оценку дисперсии)S²:

(8.23)

• Найти число n опытов, при котором отклонение ошибки ε. определения выборочнoгo среднего будет равно 5 % при q = 0,08.

Таблица 8.3

Номер интервала	Середина интервала	Частота попаданий mi,
1	2	3	4	5	6
1		m1
2		m2
…	…	…	…	…	…
10		m10
Сумма	ˉ			ˉ

По данным выборки выполнить следующие пункты:

• Построить гистограмму;

• Рассчитать оценку среднего квадратичного отклонения

и найти коэффициент вариации

Отметить на гистограмме значение среднего квадратичного отклонения.

• Найти доверительный интервал для математического ожидания

(генерального среднего) Му.