11.6 Обработка результатов эксперимента при отсутствии дублированных опытов

В этом случае дисперсию, характеризующую ошибку эксперимента, часто оценивают с помощью специально проведенной серии из некоторого числа m дублированных опытов. Оценка дисперсии этой серии принимается за оценку дисперсии, характеризующей ошибку эксперимента

, (11.27)

, (11.28)

где f_y=m- 1.

Величина f_y является в данном случае числом степеней свободы, связанным с S²{у}.

Обработка результатов эксперимента при отсутствии дублированных опытов начинается с вычисления коэффициентов регрессии по формулам (11.9), (11.10), (11.19). Затем по формулам (11.27) и (11.28) вычисляется оценка дисперсии, характеризующей ошибку эксперимента S²{у}, и связанное с ней число степеней свободы f_y. Далее выполняются пункты изложенные в 11.5, При этом в формуле (11.25) необходимо принять n = 1.

11.7 Проверка адекватности математической модели

Результаты этой проверки позволяют ответить на вопрос: пригодна ли построенная модель для описания объекта исследования.

Проверку производят в следующей последовательности.

Вычисляют сумму квадратов, характеризующих адекватность модели S_ад. При равномерном дублировании она рассчитывается по формуле

, (11.29)

где ŷ_j - среднеарифметическое результатов j-й серии дублированных опытов (см. формулу (11.20));

ŷ_j - значение выходной величины в j-м опыте, предсказанное уравнением регрессии;

n - число дублированных опытов в каждой серии.

При отсутствии дублированных опытов

(11.30)

Вычисляют число степеней свободы f_aд, связанное с дисперсией адекватности. При равномерном дублировании и при отсутствии дублированных опытов оно равно

f_aд = N — р, (11.31)

где N - число основных опытов плана;

р - число оцениваемых коэффициентов регрессии (при N =р адекватность модели проверить невозможно).

Вычисляют дисперсию адекватности

(11.32)

С помощью F-критерия Фишера для уровня значимости q = 0,05 проверяют однородность дисперсии адекватности (с числом степеней свободыf_aд) и дисперсии, характеризующей ошибку эксперимента S²{у}, (с числом степеней свободы f_y ). ( В числителе расчетного F-отношения должно стоять ). Если эти дисперсии оказались однородными, то найденную модель объекта можно считать адекватной.

Рассмотренный метод проверки адекватности модели имеет вполне ясный физический смысл. В самом деле, в основе этой процедуры лежит проверка гипотезы об однородности дисперсии адекватности и дисперсии, характеризующей ошибку эксперимента. Заметим, что дисперсия адекватности характеризует расхождение между результатами эксперимента у_j, и значениями выходной величины ŷ_j, вычисленными по уравнению регрессии. Логично принять, что модель удовлетворительно описывает объект исследования, то есть является адекватной, если указанное расхождение вызвано только экспериментальными ошибками, а не связано, например, с неудачным выбором вида математической модели. Проверка гипотезы об однородности рассматриваемых оценок дисперсий по существу и выясняет "общность происхождения" экспериментальных ошибок и расхождения между у_j и _j.

Если модель оказалась неадекватной, то есть не пригодной для описания объекта, то можно принять одно из следующих решений:

- включить в модель новые взаимодействия факторов;

- перейти к плану 2-го порядка;

- уменьшить диапазоны варьирования факторов.