u-lectures сопромат

341

Раздел 11 Удар

Тема 11.1 Основы теории удара

Ударное действие нагрузки

Под ударной понимается нагрузка, при которой скорости деформирования взаимодействующих тел, меняются за короткий промежуток времени.

Сила удара достигает большой величины, например, при действии кузнечного молота на кусок металла, ударе падающего груза при забивке свай, воздействии колеса локомотива на рельс при перекатывании через стык и др.

Время соударения измеряется в тысячных или миллионных долях секунды. Следовательно, телу, подверженному удару, со стороны ударяемого тела передается большое ускорение, направленное в сторону, обратную движению. Возникающее между телами силовое динамическое взаимодействие Gd (сила

удара) равно силе инерции ударяющего тела

Gd = Gg a,

где G – вес ударяющего тела; а – ускорение.

Однако, найти величину Gd по этой формуле практически невозможно, так

как время удара, в течение которого происходит падение скорости до нуля, и ускорение практически нельзя определить. Вообще, время контакта соударяющихся тел состоит из двух фаз: фаза сближения за счет местных контактных деформаций и фаза их упругого отталкивания, после которой может возникнуть отскок и вторичный удар падающего тела.

Научные основы теории удара связаны с изучением местных деформаций в окрестности контакта, с анализом волнового распространения деформаций в упругом теле и представляются достаточно сложной задачей. В инженерной практике используется приближенная теория удара, основанная на законе сохранения энергии. При этом принимается ряд упрощающих допущений.

В зависимости от вида деформации, которую испытывает стержневая конструкция различают: продольный удар (рис. 11.1, а), поперечный (рис. 11.1, б) и скручивающий удар на участке АВ (рис. 11.1, в). Ударное кручение чаще всего происходит при торможении быстродействующих валов, несущих маховики.

342

а

б

в

Рис. 11.1

Основные допущения технической теории удара

Для упрощения расчетов в приближенной теорию удара вводится ряд допу-

щений:

Предполагается, что в ударяемом теле (системе) возникают только упругие деформации и справедлив закон Гука.

Упругая система, воспринимающая удар, рассматривается как невесомая. Удар считается мгновенным и неупругим (после соударения груз не отскакивает от к ударяемой системы и при деформировании перемещается вместе с ней).

Работа силы тяжести ударяющего груза полностью переходит в потенциальную энергию деформации упругой системы, воспринимающей удар.

Формула для расчета динамического коэффициента

Рассмотрим продольный удар, когда груз весом G, падающий с высоты h, ударяет по упругому стержню (рис.11.2). При статическом приложении груза происходит сжатие на st . Если груз

падает с некоторой высоты, то, ударяя по стержню, создает в нем сжатие d > st .

Отличие деформации при ударном действии нагрузки по сравнению с деформацией при статическом приложении той же нагрузки может быть охарактеризовано динамическим коэффициентом

Рис. 11.2	d .
Kd =		(11.1)

st

Для линейно-деформируемой системы можно записать

343

Gd = d ,

Gst st

где Gst – статическая нагрузка, равная весу падающего груза G. Откуда

Gd = G	d	.	(11.2)
	st

Для определения Kd воспользуемся законом сохранения энергии. Пренебрегая потерями энергии можно записать

Т =U .

(11.3)

Изменение кинетической энергии Т падающего груза численно равно работе, совершенной им при падении и деформировании стержня (рис. 11.2):

Т = G (h + d ).

(11.4)

Потенциальную энергию деформации упругого стержня, накопленную за счет энергии, потерянной грузом, с учетом выражения (11.2) можно найти так:

U =	1	Gd		d =			1		G	2	.	(11.5)
										d
						2
2										st
На основании формул (11.4) и (11.5) получим
G (h + d )=			1	G		2			.
					d
			2
							st
Приведем это выражение к квадратному уравнению относительно												d :
2d − 2 d st − 2h							st = 0.
Решение этого квадратного уравнения дает значение d :

d	=	st	+	2
				st

+ 2h st .

(11.6)

Второй корень квадратного уравнения со знаком минус перед радикалом не соответствует физическому смыслу рассматриваемой задачи.

344

Выражение (11.6) можно представить в виде

				2h
d =		+ 1	+
	st 1				.
				st

и сопоставив с формулой (11.1) вывести выражение для динамического ко-

эффициента при ударном нагружении:

Kd =1 + 1 +	2h	,	(11.7)
	st

здесь h – высота падения груза, st – перемещение точки соударения от условной статической силы, равной весу падающего груза.

Если учесть, что скорость падения груза в момент подлета к балке υ = 2gh,

откуда h = υ2	2g	, то коэффициент динамичности можно записать и так:
			Kd =1 + 1 +	v2			.		(11.8)
				g
					st
Когда высота падения груза h значительно больше									st , то для определения
Kd можно пользоваться упрощенной формулой							2h
			Kd =					.	(11.9)
							st
			Если высота падения груза равна нулю h =0 , то
			Kd = 2 . Такое нагружение называется внезап-
			ным.
			Физически этот случай можно представить, ес-
			ли на нити подвесить груз, чтобы он касался
			балки (рис 11.3), но не давил на нее, и если нить
			мгновенно рассечь, то сила тяжести груза всей
Рис. 11.3			своей величиной внезапно передастся балке.

Тема 11.2 Расчеты на ударную нагрузку

Расчеты стержней при ударном действии нагрузки

Определение перемещений и напряжений при ударе сводится к определению перемещений и напряжений, вызванных статически приложенной силой,

345

равной весу падающего груза, и к вычислению динамического коэффициента (11.7). Расчетные формулы имеют вид

d = Kd st ; σd = Kd σst .

(11.20)

Все приведенные формулы верны как в случае продольного удара (сжимающего и растягивающего), так и при поперечном ударе (изгиб балки). Различие состоит лишь в зависимостях, используемых для вычисления статических напряжений и перемещений.

Изложенная приближенная теория расчета на удар имеет определенные пределы применения. Так, если

2h ≤100

st

то ошибка расчета не превышает 10%.

Если масса ударяемой конструкции значительна, то ею нельзя пренебречь. Ее учитывают с помощью безразмерного коэффициента β <1, называемого ко-

эффициентом приведения массы ударяемого тела к точке удара.

Величина динамического коэффициента упругой системы с приведенной массой определяется по формуле

	Kd =1 +	1 +		2h				,	(11.21)
			st	1 +	β	P
						G

где Р – вес ударяемой конструкции (вес приведенной массы − βР).

Из формулы (11.21) видно, что чем больше ударяемая масса, тем меньше динамический коэффициент.

Анализируя формулы (11.7) – (11.9) и (11.21) можно прийти к следующим выводам:

пренебрежение массой ударяемой конструкции при расчете повышает величину динамического коэффициента, т.е. идет в запас прочности;

динамический коэффициент тем меньше, чем больше статическое переме-

щение st в точке удара. Таким образом, K d снижается при уменьшении же-

сткости упругой системы. Поэтому для смягчения ударов устанавливаются резиновые прокладки между машиной и фундаментом, а также широко применяются различного типа пружины и рессоры, обладающие значительной податливостью (небольшой жесткостью). Величина осевой силы N, при которой происходит сжатие λ пружины на единицу длины, называется жестко-

стью пружины

346

c =	N	.	(11.22)
	λ

динамические напряжения тем меньше, чем больше объем ударяемого стержня, т.е. чем больше «энергоемкость» стержня.

Для стержня постоянного сечения в случае продольного удара напряжения равны

σd ≈ σst

2h

=

G2 2h E A

=

G E 2h

,

(11.23)

st

A2Gl

V

где σst =

G

;

st =

G l

; V = A l

− объем стержня.

A

E A

Формула (11.23) наглядно показывает влияние объема стержня на его прочность при ударе: чем больше объем, тем меньше напряжение.

Стержни с одинаковым поперечным сечением (рис. 11.3), равнопрочные при статическом нагружении, могут резко отличаться друг от друга по прочности при динамическом воздействии. При прочих равных условиях более длинный стержень (рис. 11.3, а), имеющий больший объем, будет прочнее короткого

(рис. 11.3, б).	а	б

Рис.	11.3
	Пример 11.1 Стальной ступенчатый стержень
	(рис. 11.4) подвергается действию удара при
па-	дении груза весом G = 4 кH с высоты	h = 6
мм.	Площадь сечения стержня A = 2 см2,	длина
	l = 5 м. Требуется:
оп-	ределить величину наибольшего нормального
на-	пряжения в стержне;

Рис. 11.4

347

найти наибольшие напряжения в стержне, если на кольцевой выступ В для смягчения удара поместить цилиндрическую винтовую пружину, жесткость

которой c = 2,5 103 кH/м.

Решение.

Проведём расчет при статическом нагружении.

Пусть груз G прикладывается в точке В статически. Наибольшие статические

напряжения σst

и статическое удлинение

st стержня равны соответственно:

σst =

G

=

4 103

= 20МПа,

A

2 10−4

st =

G l

2

+

G

l

2

=

3G l

=

3 4 10

3

5

= 0,375мм,

4

2 1011 2 10−4

E A

2 E A

4 E A

где модуль упругости E=2·1011 МПа.

Динамический расчет

1. Когда груз падает с высоты h, то динамический коэффициент Kd и наибольшее динамическое напряжение равны

Kd =1 + 1 +	2h	=1 +	1 +	2 6	= 6,74,
				0,375
	st

σd = Kd σst = 6,74 20 =135 МПа.

2.При наличии пружины между грузом и выступом статическая деформация

st упругой системы (стержня cst

и пружины λ = Gc )

	st =	cst	+ λ = 0,375 +				4 103			=1,975 мм.
						2,5 103
	В этом случае динамический коэффициент Kdn									и динамическое напряжение
	σdn таковы:
	Kdn =1 +		1 +	2 h	=1 +		1 +	2 6			= 3,66 ;
				st			1,975
	σdn	= Kdn σst = 3,66 20 = 73,2 МПа.

Как видим, включение пружины между выступом и грузом существенно (почти в 2 раза) снизило динамическое напряжение в стержне при падении

348

груза. В данном случае пружина явилась тем амортизатором, который часто применяют в технике для смягчения ударов, а, следовательно, и уменьшения динамических напряжений.

Контрольные вопросы к разделу 11

1.Какое явление называется ударом?

2.Какие допущения используются при решении практических задач и при определении динамического коэффициента при вертикальном ударе?

3.Запишите формулу коэффициента динамичности при ударе. Объясните влияние на коэффициент величины массы падающего тела и ударяемой системы.

349

Раздел 12 Расчет на прочность при циклически меняющихся во времени напряжениях

Тема 12.1 Усталость. Предел выносливости

Многие детали машин (вагонные оси, валы, рессоры, лопатки турбин и т.п.) и элементы конструкций (мосты, трубопроводы, каркасы промышленных зданий и т.д.) в процессе эксплуатации испытывают периодические многократно повторяющиеся нагрузки. Cуточные и сезонные изменения температуры, ветровые и снеговые нагрузки также приводят к периодическим изменениям усилий и напряжений. Несмотря на отсутствие значительных инерционных сил, такие нагрузки можно отнести к динамическим.

Переменные напряжения возникают при многократном изгибе стержня в одну и другую сторону (рис. 12.1). При этом волокна стержня оказываются попеременно то в растянутой, то в сжатой зоне. При определенном числе перегибов наступает разрушение. Опыты показывают, что переменные напряжения могут привести к разрушению конструкции при значениях, намного меньших, чем предел текучести и временное сопротивление материала. Такое разрушение принято называть усталостным.

Рис. 12.1

После разрушения на поверхности излома обнаруживаются обычно две ярко выраженные зоны (рис. 12.2). Одна – матовая, мелкозернистого характера, другая – с блестящей крупнозернистой структурой, носящей признаки хрупкого разрушения. В начале XIX в. зародилась гипотеза о том, что при действии многократных периодических нагрузок металл устает и становится более хрупким. Позднее было установлено, что изменение структуры и механических характеристик свойств материалов под действием переменных напряжений является одним из сопутствующих факторов, но термин усталость сохранился.

350

1

Рис. 12.2

Одной из причин усталостного разрушения принято считать образование и развитие трещин. Механизм процесса усталостного разрушения связан со структурной неоднородностью (случайные вариации размеров, очертаний отдельных зерен металла, различные включения, дефекты кристаллической решетки и т.п.). Вблизи различных дефектов зарождаются микротрещины, которые под действием переменных напряжений растут, соединяются и образуют макротрещины. В результате развития трещины сечение ослабляется и это приводит к внезапному хрупкому разрушению материала. До 80% всех поломок деталей машин происходит по причине усталости материалов.

Процесс постепенного накопления повреждений материала при действии переменных напряжений, приводящий к изменению его свойств, образованию и развитию трещин и разрушению, называют усталостью (согласно ГОСТ

23207-78). Свойство материала противостоять усталости называется выносли-

востью.

Виды циклов напряжений. Параметры цикла

Рассмотрим возникновение переменных напряжений на примере работы вращающейся оси вагона, см. рис. 12.3. Вес вагона (сила F ) вызывает прогиб оси. Эпюра изгибающих моментов изображена на рис. 12.3.

При вращении оси вагона точка К контура поперечного сечения (рис. 12.4) оказывается попеременно в зонах растяжения и сжатия. Закон изменения нормальных напряжений в точке К в зависимости от времени t выражается формулой

σ = MJ y = MrJ sin α .