u-lectures сопромат

311

Рис. 9.16

Заметим, что коэффициенты, один индекс которых принадлежит симметричному, а другой – кососимметричному фактору, обращаются в нуль:

δ13 = δ31 = 0, δ23 = δ32 = 0,					3F = 0.
Тогда канонические уравнения (9.10) примут вид:
		X 1	+ δ12 X 2 + 1F = 0;
δ11
δ	21 X 1		+ δ22 X 2 +	2 F	= 0;	(9.11)
		X	= 0 → X	= 0.
δ	33
		3	3

Таким образом, для симметричной системы при действии симметричной нагрузки кососимметричные неизвестные в плоскости симметрии равны нулю

( X 3 = 0 ).

Рассмотрим раму с кососимметричной нагрузкой (рис. 9.15, б). Эпюры представлены на рис. 9.17.

Рис. 9.17

При перемножении эпюр обращаются в нуль следующие коэффициенты:

δ13 = δ31 = 0; δ23 = δ32 = 0; 1F = 0;

2F = 0.

312

Система уравнений (9.10) принимает вид:

		X 1	+ δ12 X 2 = 0;
δ11
δ	21	X	+ δ	X	= 0;	(9.12)
		1	22	2
δ	33	X	+	= 0.
		3	3F

Из первых двух уравнений имеем X 1 = 0 ; X 2 = 0.

Итак, для симметричной системы при действии кососимметричной нагрузки симметричные неизвестные в плоскости симметрии равны нулю ( X 1 = 0 ;

X 2 = 0).

Таким образом, при расчете рамы c симметричной нагрузкой нужно соста-

вить и решить систему двух уравнений (9.11), рамы с кососимметричной на-

грузкой – одно уравнение (9.12) с одним неизвестным.

Метод перемещений

При расчете методом сил за лишние неизвестные принимаются усилия в лишних связях (силы, моменты). После определения лишних неизвестных легко могут быть найдены внутренние усилия в произвольном сечении и перемещения (прогибы и углы поворота) в любой точке конструкции. Следовательно, при расчете методом сил сначала находят усилия, а потом уже перемещения. Задачу можно решить другим способом. Сначала найти перемещения, а потом установить соответствующие им распределения усилий. Именно так поступают при расчете статически неопределимых систем методом перемещений. За неизвестные при расчете методом перемещений принимаются углы поворота узлов и их линейные перемещения. Первоначально необходимо установить общее число неизвестных величин, подлежащих определению. Общее число неизвестных n будет равно сумме неизвестных углов поворота узлов nу и неизвестных линейных перемещений узлов nл:

n = ny + nл .

(9.13)

Число неизвестных углов поворота равно числу «жестких» узлов. «Жестким» считается такой узел, в котором концы двух из сходящихся в нем стержней жестко связаны между собой. При подсчете жестких узлов не включаются узлы, угловые перемещения которых заданы, то есть жесткие закрепления (заделка).

313

При определении числа линейных неизвестных смещений необходимо заменить схему данной статически неопределимой системы шарнирной схемой путем введения полных шарниров во все узлы и опорные закрепления. Перемещения всех узлов такой системы не являются независимыми, так как смещения одного из них может вызвать смещения ряда других узлов. Необходимо выделить из них независимые перемещения. Число независимых линейных смещений узлов системы равно числу стержней, которое необходимо ввести в шарнирную схему сооружения, чтобы превратить ее в геометрически неизменяемую.

При расчете методом перемещений система расчленяется на ряд однопролетных статически неопределимых балок. Это достигается введением в нее дополнительных связей. Получаемая в результате этого система называется ос-

новной системой метода перемещений. Сравним основные системы метода перемещений и метода сил (рис. 9.18, а).

Для определения основной системы методом сил проведем разрез по шарниру, этим удалив две связи. Основная система метода сил получается в виде двух балок (одной прямой и одной ломаной), заделанных одним концом. Эта система статически определима (рис. 9.18, б). Основная система метода перемещений получаем следующим образом. Вводим в систему две дополнительные связи: одну, препятствующую повороту жесткого узла, а другую препятствующую линейным смещениям узлов 1 и 2 (рис. 9.19).

Рис. 9.18

Рис. 9.19

Основную систему метода перемещений, представляющую собой заданную систему с наложенными на нее связями, препятствующими повороту и смещению узлов, можно назвать кинематически определимой. Общее число неизвестных метода перемещений называют степенью кинематической неопределимости заданной системы.

В статическом отношении основная система метода перемещений отличается от заданной тем, что в ней возможно появление реактивных моментов во введенных заделках и реактивных усилий в добавленных стержнях.

Для получения основной системы метода перемещений необходимо:

314

1.во все жесткие узлы заданной системы ввести заделки, препятствующие повороту узлов;

2.ввести в заданную систему стержни, препятствующие линейным смещениям узлов.

Перейдем к детальному изучению элементов, из которых состоит основная система метода перемещений, т.е. к изучению однопролетной статически неопределимой балки.

Рассмотрим построение методом сил эпюр изгибающих моментов в балке по-

стоянной жесткости с одним защемленным и другим шарнирно опертым кон-

цом (рис. 9.20, а) для нескольких характерных случаев внешнего воздействия.

Рис. 9.20

В качестве основной системы метода сил возьмем консольную (рис. 9.20, б) балку (с одним защемленным и другим свободным концом). Лишним неизвестным будет реакция подвижной опоры X1 = RB .

При любом внешнем воздействии m значение X1 можно найти из уравнения

X1 δ11 +

1m = 0 .

(9.14)

Умножением эпюры

M1

(рис. 9.20, в) на эпюру же

M1

найдем величину δ11,

не зависящую от внешнего воздействия:

δ =

1 1

l l

2

l

=

l3

.

EJ 2

11

3

3EJ

Рассмотрим различные случаи внешнего воздействия на эту балку (рис. 9.21,

а, 9.22, а).

315

Рис. 9.21

Рис. 9.22

1. Балка нагружена равномерно распределенной нагрузкой q (рис. 9.21, а). Умножив эпюру Mq (рис. 9.21, б) на M1 (рис. 9.21, в), определим 1q :

1

1

− ql2

3

ql4

1q

=

l

l

= −

.

EJ

3

2

4

8EJ

Решив уравнение (9.14), найдем

X1

=

−

1q

=

3ql

= RB .

δ

8

11

Реакция опоры A

RA = ql− RB = 58ql .

Опорный момент в заделке A балки AB получим, просуммировав момент в этом сечении от нагрузки с моментом от X1 (рис. 9.21, в):

M A = − q2l2 + X1 l = − q8l2 .

2. Балка нагружена сосредоточенной силой P (рис. 9.22, а). Перемещение

1p получим, умножив M p (рис. 9.22, б) на эпюру M1 (рис. 9.22, в):

		P u2l2	2				Pu2l3	(3 −u).
	1p = −		l		u + v	= −
		2EJ		3			6EJ

316

Решив уравнение (9.14), найдем реакцию опоры B :

X1 = RB = Pu2 2 (3−u).

Реакция опоры A

RA = P − RB = Pv2 (3 − v2 ).

Опорный момент

M A = −Pul +

Pu2l

(3 − u)= −

Plv

(1 − v2 ) .

2

2

3. Перемещение заделки на величину

по направлению, перпендикулярному

к оси стержня

AB . Эпюры изгибающих моментов в основной системе от

смещения не

будет, но перемещения по

направлению X1 будет равно

1 = .

Из уравнения (9.14) найдем

X1 = −

1 = −

3EJ

.

δ11

l3

Опорные реакции и опорный момент будут:

RB = X1

= −

3EJ

;

l3

RA = −X1 =

3EJ

;

l3

= −3EJ M A l2 .

4. Поворот заделки на угол ϕ. Перемещение по направлению X1 от поворота заделки в основной системе

1ϕ = −ϕ l.

Из уравнения (9.14) найдем

317

= 3EJϕ

x1 l2 .

Опорные реакции и опорный момент будут равны:

	RB = X1	=	3EJϕ	; RA = −X1		= −	3EJϕ	;
			l2				l2
					3EJϕ .
			M A =
					l

Канонические уравнения метода перемещений

Первоначально установим общие положения, на основании которых можно составить систему уравнений, необходимую для определения неизвестных углов поворота и линейных перемещений узлов. Для этого сопоставим заданную систему с основной системой метода перемещений (рис. 9.23, а, б).

Рис. 9.23

Основная отличается от заданной наличием дополнительных связей, препятствующих угловым и линейным перемещениям узлов, и появлением реактивных моментов во введенных заделках и реактивных сил в добавленных стержнях. Реактивные моменты и силы можно обратить в нуль, если повернуть заделки на углы, равные действительным поворотам узлов, и сместить узлы так, чтобы линейные перемещения также были равны действительным, т.е. возникающим в заданной системе. После этого деформация основной системы и усилия в ней будут равны деформациям и усилиям заданной системы.

Отрицание реактивных усилий (сил или моментов) во введенных заделках и стержнях основной системы, т.е. отрицание реактивных усилий по направ-

318

лениям неизвестных перемещений, лежит в основе уравнений метода перемещений.

Коротко уравнения метода перемещений можно представить так:

R1 = 0 , R2 = 0 , R3 = 0 , ……, Rn = 0 .

Здесь R1 , R2 , R3 , …, Rn – реактивные моменты во введенных заделках и ре-

активные усилия в добавленных стержнях (в основной системе), возникающих от действия нагрузки, поворотов узлов и их линейных смещений. Индексы у реакций соответствуют индексам неизвестных. Число уравнений всегда равняется числу введенных заделок и стержней, а следовательно, и числу неизвестных перемещений. Уравнения метода перемещений – статические, это уравнения равновесия.

Представим в развернутой форме первое уравнение метода перемещений ( R1 = 0 ) для основной системы (рис. 9.23, б).

Для этого реактивный момент R1 заменим суммой R1 = R1P + R11 + R12 .

Второй индекс у обозначений реакций указывает на то воздействие, которое является причиной появления реакции.

R1P – реактивный момент введенной заделки от действия внешних нагрузок.

Второй индекс указывает на то воздействие, которое является причиной появления реакции.

R11 – реактивный момент в заделке от поворота этой же заделки на угол z1. R12 – реактивный момент в заделке от линейного смещения узлов 1 и 2 на ве-

личину z2 .

Два последних момента можно заменить следующими выражениями:

R11 = z1 r11

R12 = z2 r12

r11 – реактивный момент в заделке от поворота этой же заделки на угол z1 =1. r12 – реактивный момент во введенной заделке от смещения по горизонтали узла второго на величину z2 =1.

После замены:

z1 r11 + z2 r12 + R1P = 0;

z1 r21 + z2 r22 + R2P = 0.

Для определения коэффициентов и свободных членов системы канонических уравнений метода перемещений необходимо предварительно построить эпюры изгибающих моментов в основной системе от нагрузки и от единичных неизвестных перемещений (по направлениям введенных закреплений). Построение их производится с помощью данных приведенных в таблице 9.1.

319

		Таблица 9.1
Схема	Величина момента	Величина реакции

	M A =		− Pl		v(1− v2 )	RA =	Pv (3 − v2 )
			2
							2
	MC =	Pl		u2v(3 − u)		R =	Pu2	(3 − u)
			2			B	2

		− ql2	RA =	5ql
	M A =			8
		8	RB =	3ql
				8

M		=	3EJ	R		= −R = − 3EJ
	A		l		A	B	l2

M		= − 3EJ	R		= −R = 3EJ
	A	l2		A	B	l3

		Продолжение таблицы 9.1
Схема	Величина момента		Величина реакции

320

	M A = uv2Pl	RA = v2	(1+ 2u)P
	M B = u2vPl
		R = u2	(1+ 2v)P
	MC = 2u2v2Pl	B

	M A = −M B =	− ql2	RA = RB =	ql
		12
			2

	M A =	4EJ		− 6EJ
		l	RA = −RB =
	M B =	2EJ		l2
		l

M		= M		= − 6EJ	R		= −R = 12EJ
	A		B	l2		A	B	l3

Многопролетные неразрезные балки. Уравнения 3-х моментов

Многопролетной балкой называется балка, опирающаяся на такое количество опор, которое превышает число независимых уравнений статического равновесия (рис. 9.24, а). Такие балки не имеют промежуточных шарниров, при удалении которых балка разъединилась бы на отдельные части. За лишние неизвестные выбираются изгибающие моменты в сечениях неразрезной балки над опорами (опорные моменты).

Уравнение деформаций, служащее для отыскания опорных моментов, называется уравнением трех моментов. Теоретически это уравнение основывается