u-lectures сопромат

291

h = Fl	ω = 1 hl	z = 2 l
	2	c	3

		ql 2		1		3
	h =		ω =	3 hl	zc =	4 l
		2
	h =	ql 2	ω =	2 hl	zc =	1 l
		8
				3		2

Формулы для перемножения эпюр

Используя прием разбиения сложных эпюр, можно получить формулы для их перемножения, т. е. для вычисления (ωF MC ).

Формула для перемножения прямолинейных трапеций. Если перемножаемые эпюры имеют вид линейных трапеций (рис. 8.16, а), то одну из них можно разбить на два треугольника.

Умножив площади каждого из треугольников на ординату под его центром тяжести из другой эпюры, получим

al 2c

d

bl c

2d

ω

M

=ω

M

+ω

M

=

+

+

+

3

3

3

.

F

C

1

C1

2

C

2

2

2

3

292

Рис. 8.16

	После преобразований выводим формулу
	ω					=	l	(2a c + 2b d + a d +bc),	(8.25)
		F	M		C
						6

где l – длина участка. В скобках формулы произведения ( a c ) левых ординат обеих эпюр и (b d ) правых ординат берутся с коэффициентом, равным двум, а произведения ( a d ) и (b c ) ординат, расположенных с разных сторон, – с коэффициентом, равным единице.

С помощью формулы (8.25) можно перемножать знакопеременные эпюры. Например, произведение эпюр, показанных на рис. 8.16, б, равно

ωF M C = l6 (2ac − 2bd + a d −bc).

Формула (8.25) применима и тогда, когда одна или обе перемножаемые эпюры имеют вид треугольника. В этих случаях треугольник рассматривается как трапеция с одной крайней ординатой, равной нулю.

Формула Симпсона. Если одна из эпюр (рис. 8.17, а) имеет вид параболической трапеции, то ее можно разбить на линейную трапецию и параболический сегмент (от равномерно распределенной нагрузки q). Результат перемножения эпюр таков:

	ω					=	l	(ac +bd + 4 f g ).	(8.26)
		F	M		C
						6

293

Рис. 8.17

В скобках формулы − сумма произведений крайних ординат обеих эпюр с учетверенным произведением средних ординат

			f =	a +b	+	g l 2	и g =	c + d	,
		2		2		8		2
где	gl		= h – средняя ордината параболического сегмента (см. табл. 8.1).
	8

Для случая, показанного на рис. 8.17, б, когда парабола обращена выпукло-

стью в другую сторону, при вычислении средней ординаты ( f = a +2 b − gl8 2 )

следует взять знак «минус». В заключение отметим:

-метод Верещагина целесообразно применять, если ось участка (балки или рамы) прямолинейна и жесткость поперечных сечений по длине участка постоянна;

-если жесткость непрерывно меняется по длине участка, то перемещение должно определяться непосредственным вычислением интеграла Мора (правило сохраняет силу при расчете бруса малой кривизны).

Пример 8.3. Определить прогиб концевого сечения консоли (рис. 8.18, а). Решение. Строим грузовую эпюру изгибающих моментов M F , (рис. 8.18, б.

Для получения единичной схемы прикладываем в точке В балки, освобожденной от нагрузки, единичную силу и строим эпюру M (рис. 8.18, в).

294

Рис. 8.18

Замечаем, что грузовая эпюра очерчена вогнутой квадратной параболой, а единичная – линейна на всем протяжении. Используя способ Верещагина, в расчет принимаем площадь эпюры M F , а ординату M C берем с эпюры M .

Согласно табл. 8.1, площадь эпюры составляет

ωF = 31 h l = 31 g 2l 2 l = g6l 3

Ордината единичной эпюры, соответствующая центру тяжести ωF −

M C = 43 l .

Искомое перемещение находим на основе формулы (8.23):

ω

ql 3

3

ql

4

=

F

M

C

=

l

=

.

B

l

E J

6

4

8E J

E J

Положительное значение указывает на то, что прогиб направлен в сторону действия единичной силы, т.е. вниз.

Пример 2.3. Определить прогиб сечения D консоли (рис. 8.19, а).

295

Рис. 8.19

Решение. Строим грузовую эпюру изгибающих моментов M F (рис. 8.18, б).

Для построения единичной схемы освобождаем консоль от нагрузки и в направлении искомого перемещения прикладываем в точке D единичную силу. Строим эпюру M (рис. 8.19, в). Анализируем эпюры M F и M по участкам.

На участке AD грузовая эпюра линейна, а единичная эпюра имеет нулевое значение. Следовательно, результат перемножения этих эпюр равен нулю. На участке DB обе эпюры линейны. Для перемножения этих эпюр воспользуемся формулой трапеций (8.25):

ωF M C = l6 (2 a c + 2 b d + a d + c b).

Левые ординаты эпюр: a =0,3 F l ; c =0 . Правые ординаты: b = −0,2 F l ; d = −0,5 l . В результате перемножения эпюр получим, что

ωF M C = 0,5l6 l (2 0,2F l 0,5l −0,3F l 0,5l )=0,0042F l 2 .

Искомый прогиб:

1

0,0042F l

2

D

=

ω

F

M

C

=

.

E J

E J

296

Положительное значение указывает на то, что прогиб направлен в сторону действия единичной силы, т.е. вниз.

Контрольные вопросы к разделу 8

1.Сформулируйте теорему Клапейрона.

2.В чем состоит принцип возможных перемещений для деформируемых систем?

3.Как определяются взаимные перемещения отдельных точек или сечений элементов конструкций?

4.Как определяется потенциальная энергия деформации в общем случае нагружения?

5.Приведите пример применения теоремы Кастильяно.

6.Что такое грузовое и единичное состояния?

7.В каких случаях по направлению искомого перемещения в системе прикладывается единичная сосредоточенная сила, в каких – сосредоточенный момент?

8.В чем состоит метод Мора?

9.Опишите порядок вычисления перемещений с использованием интеграла Мора.

10.В чем суть способа Верещагина для определения перемещений?

297

Раздел 9 Статически неопределимые системы

Тема 9.1 Основные понятия

Плоская система. Связи. Необходимые и лишние связи

К плоским системам относятся такие системы, у которых все стержни и действующая на них нагрузка лежат в одной плоскости. Отдельные элементы системы соединяются либо жестко, либо податливо (рис. 9.1).

Рис. 9.1

По кинематическим свойствам все стержневые системы делятся на кинема-

тически неизменяемые (неподвижные), кинематически изменяемые (подвижные) и мгновенно изменяемые.

По статическим свойствам системы делятся на статически определимые и статически неопределимые.

Опорные устройства и внутренние связи накладывают ограничения на перемещения системы и в зависимости от их количества и расположения определяют тип системы.

Кинематически неизменяемой называется система, в которой перемещение точек, или элементов, возможно только за счет деформации стержней (рис. 9.1, 9.2).

Рис. 9.2

298

Минимальное число связей, обеспечивающее кинематическую неизменяемость системы, называют необходимыми связями.

Для плоской системы, имеющей три степени свободы, необходимое число связей равно трем. Системы, в которых все усилия, возникающие при нагружении, можно определить используя только уравнения статического равнове-

сия, называются статически определимыми (рис. 9.1, 9.2).

Если число наложенных связей меньше необходимого (меньше трех), то система будет изменяемой (получит подвижность). При этом перемещение элементов происходит без деформации стержней. Такие системы называются

механизмами (рис. 9.3).

Рис. 9.3

Если необходимые связи наложены так, что линии их действия пересекаются в одной точке (рис. 9.4, а) или параллельны друг другу (рис. 9.4, б), такие сис-

темы называются мгновенно изменяемыми.

F

Рис. 9.4

Конструкции должны быть кинематически неизменяемыми, т.к. изменяемые системы не способны сопротивляться нагрузкам.

По различным соображениям на конструкцию могут быть наложены дополнительные, конструктивно оправданные связи, но в смысле обеспечения неподвижности системы они являются лишними.

«Лишняя» связь − это избыточная связь по отношению к связям необходимым для обеспечения кинематической неизменяемости.

299

Степень статической неопределимости. Замкнутый контур, учет врезанных шарниров

Стержневая система, на которую наложены «лишние» связи, называется

статически неопределимой системой (СНС). Степень статической неопределимости равна числу лишних связей.

На рис. 9.5 показаны статически неопределимые системы: балка, на которую наложена одна «лишняя» связь, показана на рис. 9.5, а; рама с тремя лишними связями – на рис 9.5, б. Рама в виде замкнутого контура (рис. 9.5, в), если судить по количеству внешних связей, статически определима. Однако если разрезать контур сплошным сечением, мы снимем шесть связей (рис. 9.5, г), только три из которых вычислим из трех уравнений равновесия. Следова-

тельно, замкнутый контур три раза статически неопределим внутренним образом.

Рис. 9.5

Таким образом, система может быть внешним (рис. 9.5, а, б) и внутренним (рис. 9.5, в) образом статически неопределимой.

Врезание шарнира на ось стержня (рис. 9.6, а) обращает в нуль изгибающий момент в данном сечении; следовательно, снижает степень статической неопределимости на единицу. Такой шарнир называется одиночным.

Рис.9.6

Шарнир, включенный в узел, в котором сходится n стержней (рис. 9.6, б), снижает степень статической неопределимости на величину ( n −1).

300

Для плоских конструкций степень статической неопределимости определяется по формуле

S = C + 3K − Ш − 3,

(9.1)

где S – степень статической неопределимости; С – число внешних связей, наложенных на систему; К – число замкнутых контуров; Ш – число одиночных шарниров;

3 – три уравнения равновесия для плоской системы.

Для рамы, изображенной на рис. 9.7, степень статической неопределимости равна 4-м: S = 6 + 3 1− 2 −3 = 4

Рис. 9.7

Тема 9.2 Методы расчета статически неопределимых систем

Метод сил

Для решения СНС необходимы дополнительные уравнения. В зависимости от подхода к их составлению существуют различные методы расчета СНС. Наиболее распространенным является метод сил.

Сущность его заключается в том, что заданная статически неопределимая система освобождается от «лишних» связей, а их действие заменяется неизвестными усилиями. Для вновь полученной системы составляются уравнения

совместности деформаций, отражающие фактическое отсутствие переме-

щений в направлении «отброшенных» связей. Неизвестными в полученных уравнениях являются усилия, отражающие воздействие «лишних» связей. Отсюда и название: «метод сил».

Независимо от вида деформации уравнения перемещений имеют одинаковую структуру, удобную для применения ЭВМ. С помощью этого метода решаются задачи, требующие учета, наряду с силовыми воздействиями, влияния изменения температуры и отклонений в размерах конструкций при их изготовлении.