u-lectures сопромат

251

временно возникают наибольшие крутящий M z и изгибающий М моменты. В

рассматриваемом случае опасным будет сечение D под серединой шкива.

Вид напряженного состояния

Опасная точка. Рассмотрим сечение вала слева от точки D. Применив векторное изображение моментов, найдем положение силовой и нейтральной

линии (рис. 7.16, а) и построим эпюру нормальных напряжений σ= M y (рис.

Jx

7.16, б) от полного изгибающего момента М.

	Рис. 7.16	M z
	Касательные напряжения от кручения τ =		ρ распределены вдоль лю-
		J ρ

бого радиуса по линейному закону и достигают максимального значения в точках контура сечения (рис. 7.16, б), т.е. на поверхности вала.

Очевидно, опасными являются точки А и В пересечения контура сечения с силовой линией, в которых одновременно и нормальные напряжения от изгиба и касательные напряжения от кручения имеют наибольшие значения.

Для пластичного материала точки А и В равноопасны, для хрупкого наиболее опасна точка А, в которой возникает растяжение.

Напряженное состояние в опасной точке. На рис. 7.17 показан элемент, вы-

деленный в окрестности точки А, и возникающие на его гранях напряжения σ и τ, равные своим максимальным значениям

Рис. 7.17

252

σmax	=	M	=	M x2	+ M y2	; τmax =	M	z =	M	z	; (7.24)
		W		W					2W
							Wρ

где W = π32d 3 - осевой момент сопротивления сечения;

Wρ = πd3 = 2W - полярный момент сопротивления.

16

В опасной точке А имеет место плоское напряженное состояние (рис. 7.17).

Главные напряжения в опасной точке определяются по формуле

σ =	σz + σy	±	1	(σ		− σ	)	2	+ 4τ	2	.
					z
1,3	2		2			y

Подставляя σz = σ, σy = 0, находим

σ1	=	σ	+	1	σ 2 + 4τ2 ,
		2		2	(7.25)
		σ		1
σ3	=		−		σ 2 + 4τ2 .
		2		2

Условие прочности для круглого поперечного сечения. Использование теорий прочности

В строительных конструкциях используются низкоуглеродистые и низколегированные стали. Валы, как правило, изготовляют из среднеуглеродистой стали, механические свойства которой согласуются с III и IV теориями прочности. Для оценки прочности хрупких материалов используют теорию Мора. При проектировании валов машин и механизмов расчет ведется по допускаемым напряжениям от нормативных нагрузок. Условия прочности по различным теориям следующие:

σIIIэкв = σ1 − σ3 ≤[σ] ;

	σэквIV =	1	(σ1 − σ2 )2 + (σ2 − σ3 )2 + (σ3 − σ1 )2 ≤[σ] ;	(7.26)
		2

σМэкв = σ1 − μσ3 ≤ [σ]

Сучетом выражений (7.25) формулы (7.26) примут вид:

				253
σэквIII	=		σ2	+ 4 τ2		≤ [σ] ;
σэквIV	=		σ2	+ 3 τ2		≤ [σ] ;			(7.27)
σэквМ	=	1 −μ		σ +	1 + μ		σ2	+ 4 τ2	≤ [σ] .
			2
						2

Подставив в формулы (7.27) выражения для напряжений (7.24), получим условия прочности:

σэквIII

=

1

[

M 2

+ M z2 ]≤ [σ] ;

W

(7.28)

[

]≤ [σ] ;

1

σэквIV

=

M 2

+ 0,75 M z2

W

М

1 1 − μ

1

+ μ

2

2

≤ [σ] .

σэкв

=

2

M +

2

M

+ M z

(7.29)

W

Выражения в скобках называются приведенными моментами M пр . Тогда условия прочности (7.28) и (7.29) можно заменить одной формулой

σэкв	=	Мпр	= [σ]	(7.30)
		W

где приведенный момент M пр по различным теориям прочности определяется следующими выражениями:

МпрIII =		M x2	+ M y2	+ M z2 ;				(7.31)
M прIV =		M x2	+ M y2	+ 0,75M z2 ;				(7.32)
M прM =	1 − μ	M x2 + M y2 +			1 + μ	M x2	+ M y2	+ M z2 .
2				2

Из выражения (7.30) находят момент сопротивления сечения, а затем – диаметр круглого вала :

W ≥	M пр	; d ≥ 3	32M пр
				.	(7.33)
	[σ]		π[σ]

254

Приведенные формулы также применимы к валам кольцевого сечения.

Общий случай действия сил на брус круглого сечения. Расчет бруса с ломаной осью

Кручение с растяжением (сжатием). Во всех точках поперечного сечения возникают нормальные напряжения σ = NA . Напряженное состояние в опас-

ной точке соответствует случаю, представленному на рис. 7.17. Применив формулы (7.25) и (7.27), получим

			N 2				M	z		2
σIII	=				+ 4					≤[σ];	(7.34)
экв		A
							Wρ

IV

N 2

M

z

2

σ

экв

=

+ 3

≤ [σ].

(7.35)

A

Wρ

Изгиб с кручением и растяжением (сжатием). В этом случае наиболее опас-

ной является точка пересечения контура сечения с силовой линией, см. рис. 7.16 б, в которой знаки напряжений от изгиба и осевого растяжения (сжатия) совпадают. Напряженное состояние соответствует рис. 7.17. Исходные напряжения для опасной точки определяются из зависимостей

	σ =	N	+	M	;	τ =	M z .
		A		W
							Wρ

Применив теории прочности, например третью (7.25), получают условие прочности

N

M 2

M

z

2

σIII

=

+

+ 4

≤ [σ].

(7.36)

экв

A

W

Wρ

Ось бруса представляет собой ломаную линию, каждый участок которой можно рассматривать как стержень. Чтобы построить эпюры для бруса, нужно построить их для каждого стержня. В поперечных сечениях могут возникнуть шесть внутренних силовых факторов: N ,Qx ,Qy ,M x ,M y ,M z .

Сметодикой построения эпюр познакомимся на примере бруса (рис. 7.18, а).

1.Брус разбивают на участки (стержни): I, II, III.

255

2.На каждом из них показывают систему координат Оxyz. При этом ось z должна совпадать с продольной осью рассматриваемого стержня и быть направлена к свободному концу бруса; оси x и y совмещают с плоскостью сечения.

3.При переходе к следующему участку оси координат поворачивают вокруг той из них, которая перпендикулярна к плоскости, образуемой этими смежными участками.

4.На каждом участке показывают характерные сечения (начало и конец участка).

5.При определении моментов Мх, Му, Мz начало координат размещают

впервом характерном сечении, затем – во втором, перемещая его каждый раз от свободного конца в сторону защемления.

6.Для изгибающих моментов Мх и Му правило знаков не устанавливают, а эпюры изображают со стороны растянутых или сжатых волокон стерж-

ня в плоскости действия момента ( эпюру Мх – в плоскости yz; эпюру Му – в плоскости xz).

7.Для продольных сил N и крутящих моментов Mz сохраняют принятые ранее правила знаков. Эпюры N и Mz могут быть ориентированы как угодно, но ординаты откладывают по нормали к оси стержня.

8.Поперечные силы Qx и Qy в сечении считают положительными, если их направления совпадают с положительными направлениями осей x и y. При вычислении моментов следует иметь в виду, что:

- момент силы относительно оси равен нулю, если: а) сила параллельна оси; б) линия действия силы пересекает ось;

- если линия действия силы и ось скрещиваются под прямым углом, то момент равен произведению силы на кратчайшее расстояние между линией действия силы и осью.

Построение эпюр начинаем с участка АВ (рис.7.18). Проводя мысленно сечение, каждый раз будем «отбрасывать» часть бруса с защемлением. Решение

необходимо сопровождать краткими записями для всех участков. Для M x и M y полезно в скобках указывать растянутые волокна (верхние, правые, передние и т.п.). Знаки для M x и M y можно вводить произвольно; только в случае необходимости надо записать соответствующее уравнение.

Участок АВ: 0 ≤ z ≤ a
N = 0 ;		M x	=	q z 2		q a 2		;
				2	0;	2
Qx = 0;	M y	= 0;
Qy = -qz (0; -qa);	M z	= 0.

				256
Участок ВС:	0 ≤ z ≤ а
N = 0 ;	M x = qa z (0; qa2);
Qx = - F;	M y = F z (0; Fa);
Qy = -qa;		M z = −			q a2		.
				2
Участок CD:	0 ≤ z ≤ 2a
N = - qa;	M x = qa2;
Qx = - F;	M y =	qa2	+ 2Fz (			q a2		;	q a2	+ 2F a );
	2			2				2
Qy = 0;	M z = Fa.

По найденным значениям, см. рис. 7.18, построены эпюры внутренних усилий: продольной силы N; поперечной силы в двух плоскостях Qx и Qy; изгибающих моментов Mx и My, крутящего момента Mz, совмещенные на одном чертеже.

Пример 7.2. Для бруса круглого поперечного сечения (рис. 7.18, а) определить диаметр из условия прочности по III– й теории прочности при следующих данных:

F = 10 Kн; q = 30 Kн/м; [σ] = 160 МПа; a = 0,5 м.

Решение. Из эпюр внутренних усилий (рис. 7.18, б, в, г) следует, что опасным является сечение D в защемлении, где:

M x				= qa2		= 30 0,5 Kн м;
M y				=	q a2	+ 2F a =	30 0,52	+ 2 10 0,5 =13,75 Kн м;
				2		2
M z				= F a =10 0,5 = 5 Kн м;
	N		= q a = 30 0,5 =15 Kн.

Полный изгибающий момент в опасном сечении

M = M x2 + M y2 =15,66 Kн м.

257

Рис. 7.18

Приведенный момент по III теории

M	III	= M 2 + M z2 =16,44 Kн м.
	пр

По формуле (7.33) определяем диаметр круглого поперечного сечения :

d ≥ 3	32 M прIII		32 16 ,44	10 3	−1
		= 3	3,14 160	10 6 = 1,01 10		м	= 10 ,1 см .
	π [σ ]

258

Вычислим геометрические характеристики сечения:

A = πd 2	= 80,07 см2 ;	W	= πd 3		=101,1 см3 ;	W	= πd 3		= 202,2 см3 .
4		u		32		ρ		16

Сделаем проверочный расчет с учетом продольной силы. Согласно формуле (7.36) напряжение в опасной точке D

	III			15 10	3			3 2				5 10	3		2
σ	экв	=					+	15,66 10−6		+ 4						=164,4 МПa.
				80,07 10		−4						202,2 10		−6
								101,1 10

Сравнив расчетное σэквIII = 164,4 МПа и допускаемое [σ]= 160 МПа напряжения получаем, что

σ III	> [σ].
экв

Определим перенапряжение:

σIII

экв[ −]σ = 164 −160 100% = 2,74% < 3% ,

σ160

что допустимо.

Ответ: необходимый диаметр бруса d ≥ 10,1 см.

Тема 7.4 Расчет пространственного бруса в общем случае действия сил

Построение эпюр внутренних силовых факторов в прямолинейных и криволинейных элементах пространственного бруса

Рассмотрим некоторые этапы расчета на примере пространственного бруса, изображенного на рисунке 7.19. Внутренние усилия изменяются по грузовым участкам бруса, поэтому нужно «разбить» брус на участки. Для рассматриваемого бруса можно выделить четыре участка нагружения. Выполним нумерацию участков со стороны свободного конца, так как при наличии заделки вычисление внутренних усилий удобно начинать от свободного края.

Подробнее остановимся на выборе системы координат (рис. 7.20). Коротко данный вопрос уже был рассмотрен в теме 7.3. Ось z всегда направляем вдоль оси бруса, оси x и y совпадают с главными центральными осями рас-

259

сматриваемого сечения. Рекомендуется пользоваться правой системой координат, для которой существует правило направления осей: положительное направление осей xi и yi таково, что ось xi вращается до оси yi против ча-

совой стрелки при наблюдении с положительного направления оси zi ; ось yi до оси zi вращается против часовой стрелки при взгляде с оси xi и т. д. При

переходе с одного стержня на другой поворот систем координат происходит вокруг той оси, которая перпендикулярна плоскости этих стержней. Например, переход от 3-го стержня к 4-му совершается поворотом вокруг оси y3 .

Так как вычисление внутренних усилий будем вести от свободного края, начало системы координат на 1-м стержне помещаем на свободный край, на 2-м и последующих стержнях – в начало соответствующего стержня.

Рис. 7.19 Пространственный ломаный брус

Рис. 7.20 Система координат

Перейдём к составлению выражений внутренних силовых факторов (т.е. внутренних усилий, в дальнейшем будем писать коротко – ВУ) по участкам. При нахождении ВУ необходимо помнить их название и положительное направление (рис. 7.21). N – продольная сила, которая положительна, если вы-

зывает растяжение. Qx и Qy – поперечные силы, они положительны, если их вектора вращают отсечённую часть по часовой стрелке. M x и M y – изги-

бающие моменты, которые положительны, если увеличивают кривизну стержня. Mk – крутящий момент, который при положительном направлении

поворачивает поперечное сечение бруса по часовой стрелке (при взгляде на сечение).

260

Вычисление внутренних усилий производится известным универсальным методом сечений, который выполняется по правилу РОЗУ и применяется для любых конструкций (см. тема 1.1).

Использовать метод сечений можно по-разному. Это зависит от типа системы, вида нагружения и навыка расчётчика. Рассмотрим одну из методик применения данного метода. Она представляет собой непосредственное рассмотрение отсечённых частей целой системы, при котором пространственная система сохраняет свое пространственное изображение.

Рис. 7.21. Внутренние усилия в поперечном сечении бруса

В рассматриваемой раме, имеющей четыре грузовых участка, получим четыре отсечённые части. Так как рама консольного типа, то значения внутренних усилий здесь удобно определять, рассматривая равновесие той части, которая примыкает к свободному краю. Тогда получаем отсечённые части, представленные на рис. 7.22. Уравнения равновесия записываем как для пространственной системы в следующем виде:

∑пр x = 0,∑пр y = 0,∑пр z = 0,

∑mom x = 0,

∑mom y = 0 , (7.37)

∑mom z = 0.

Для удобства можно в сечении изображать только те ВУ, которые заведомо не равны нулю. Уравнения (7.37) определяют функции сил N , Qx и Qy , мо-

ментов M x , M y и Mk . По этим функциям вычисляют значения внутренних усилий в характерных сечениях. Эти значения используют для построения эпюр N , Qx , Qy , M x , M y и Mk . Необходимо помнить, что функции,

полученные по уравнениям (7.37), показывают законы изменения ВУ и предопределяют вид графика на эпюре этого усилия.