u-lectures сопромат

271

6.Дайте определение нейтральной линии. Как проходит нейтральная линия при косом изгибе, внецентренном растяжении (сжатии)?

7.Что такое главные центральные оси сечения и главные плоскости изгиба?

8.Где находятся опасные точки в поперечном сечении балки при косом изгибе и при внецентральном сжатии или растяжении?

9.Какие гипотезы прочности используются при расчетах на изгиб с кручением?

10.Назовите внутренние силовые факторы, возникающие в сечении элемента конструкции в общем случае нагружения.

11.Как определяются напряжения от внутренних усилий в случае косого изгиба, внецентренного растяжения (сжатия), изгиба с кручением?

12.Поясните, как вычисляются перемещения в пространственных системах в случае общего нагружения.

272

Раздел	8	Энергетические	методы	определения
перемещений в упругих системах

Тема 8.1 Общие теоремы об упругих системах

Потенциальная энергия упругой деформации

Энергетический метод представляет собой универсальный способ определения перемещений упругих систем. Он основан на применении закона сохра-

нения энергии и принципа возможных перемещений.

К упругим системам относятся балки, рамы, фермы и т.п., которые соответствуют следующим условиям:

-линейно-деформируемые системы (материал подчиняется закону Гука);

-материал идеально упругий;

-наибольшие напряжения в системах не превышают предела пропорциональности σmax < σпц ;

-применимость принципа начальных размеров;

-применимость принципа независимости действия сил.

Будем рассматривать только статическое нагружение упругих систем, при котором нагрузка возрастает постепенно и таким образом, что ускорениями элементов системы можно пренебречь.

При нагружении деформируемых систем имеет место преобразование потенциальной энергии одного вида в другой.

Обозначим величину накопленной потенциальной энергии деформации через U, а потенциальную энергию внешних нагрузок через U F . Закон сохранения

потенциальной энергии имеет вид

U F =U .

(8.1)

Мерой энергии, превратившейся в другой вид, является величина работы, произведенной силами, действующими на конструкцию. Тогда величина UF измеряется положительной работой этих нагрузок. Накоплению потенциальной энергии деформации U соответствует отрицательная работа внутренних сил упругого сопротивления (если учесть их направление по отношению к деформации, вызванной внешними силами).

Заменив в формуле (8.1) величины U и U F численно равными им значениями работ (−W ) и WF , получим иную формулировку этого закона WF = −W , или

W F +W =0 .

(8.2)

273

Из равенства (8.2) следует, что при перемещениях точек системы без нарушения равновесия сумма работ всех сил, приложенных к точкам тела, равна нулю.

Обобщенные силы и обобщенные перемещения

Каждому виду нагрузки соответствует свое перемещение, на котором она производит работу. Сосредоточенной силе соответствует линейное перемещение, сосредоточенному моменту – угловое перемещение. Чтобы наши рассуждения и выводы носили общий характер, введем понятие обобщенной силы. Под обобщенной силой F понимается любое силовое воздействие. Перемещение , на котором она совершает работу, называют обобщенным перемещением. Условимся обобщенные перемещения (как линейные, так и угловые) обозначать символом с двумя индексами – iF :

-первый (буква или номер) определяет точку или направление перемещения;

-второй – причину, вызвавшую его.

Для обозначения полного перемещения, вызванного несколькими усилиями, при знаке сохраняется только первый индекс. Например, перемещение F

точки приложения силы F по направлению ее линии действия (рис. 8.1), вы-

званное этой же силой FF , силой Q -	FQ и парой сил m - Fm , запишется в
виде суммы этих перемещений
F = FF +	Fm + FQ.

Перемещение, вызванное единичной силой F =1 или единичным моментом

M =1, будем обозначать символом δ. При обозначении единичных нагрузок

принято вводить черту над соответствующей буквой. Единичные нагрузки считаются безразмерными величинами.

Рис. 8.1

Если единичная сила F =1 (рис. 8.2, а) вызвала перемещение δ11 , то на осно-

вании принципа независимости действия сил полное перемещение, вызванное силой F (рис. 8.2, б):

F = F δ11 .

(8.3)

274

Рис. 8.2

Если нагрузка обозначается с числовыми индексами, то буквенные индексы при и δ заменяются соответствующими числами ( 11 , 12 , ...).

Работа внешних сил

Перемещение сечения по направлению действия силы, вызванное самой си-

лой, называется действительным перемещением.

Вычислим работу обобщенной силы F, статически возрастающей до своего конечного значения (рис. 8.3, а), на действительном перемещении . График зависимости между силой F и перемещением представляет собой наклонную прямую (рис. 8.3, б).

Рис. 8.3

Работа силы F численно равна площади заштрихованного треугольника (рис. 8.3, б):

W =	1 F .	(8.4)
	2

Таким образом, действительная работа при статическом действии обоб-

щенной силы на упругую систему равна половине произведения конечного значения силы на конечное значение обобщенного перемещения по ее направлению (теорема Клайперона).

Работа совокупности статически приложенных сил вычисляется по формуле

	1	n
W =		∑Fi i .	(8.5)
	2 i =1

Работа внутренних сил на действительных перемещениях

275

Двумя смежными сечениями выделим из стержня элемент длиной dz (рис. 8.4, а). В случае плоского изгиба действие удаленных частей стержня на оставленный элемент заменяется тремя внутренними усилиями: изгибающим моментом М, продольной силой N и поперечной силой Q . Воспользуемся

принципом независимости действия сил и вычислим раздельно элементарную работу каждого внутреннего усилия.

Рис. 8.4

Продольные силы вызывают взаимные осевые перемещения сечений (рис. 8.4, б), величина которых равна удлинению (укорочению) элемента:

dz = NE dzA .

Элементарная работа продольной силы на перемещении dz (8.4) запишется в виде:

dW = −	1	N dz = −	N 2dz	.
N	2		2E A

Изгибающие моменты вызывают взаимный поворот поперечных сечений элемента на угол dθ (рис. 8.4, в):

dθ = dzρ = ME dzJ ,

где dz – длина нейтрального слоя; ρ1 = EMJ – кривизна оси стержня.

Элементарная работа изгибающего момента на угловом перемещении dθ

равна:

	dW	= −	1	M dθ = −	M 2dz	.
			2		2EJ
		M

276

Поперечные силы вызывают взаимный сдвиг поперечных сечений элемента.

Элементарная работа поперечной силы при деформациях сдвига:

= ηQ2dz dWQ 2GA ,

где G – модуль упругости материала при сдвиге; η − безразмерный коэффи-

циент, который отражает неравномерность распределения касательных напряжений по высоте поперечного сечения и зависит от его формы. Например, для прямоугольного сечения он равен 65, для круглого – 109 .

Таким образом, элементарная работа внутренних сил при деформациях бес-

конечно малого элемента стержня равна

dW = dW

+ dW

+ dW

= −

M 2dz

−

N 2dz

−η

Q2dz

.

M

N

2EJ

2EA

2GA

Q

Интегрируя это выражение по длине каждого стержня и производя суммирование по всем стержням, получим формулу для определения полной работы внутренних сил на действительных перемещениях:

W = −∑∫l M2EJ2dz −∑∫l	N 2dz	−∑∫lη Q2GA2dz .	(8.6)
	2EA

Работа сил на возможных перемещениях

Перемещения по направлению силы, не зависящие от ее величины, называют

возможными перемещениями.

Работа сил при возможных перемещениях называется возможной, или вир-

туальной.

Рассмотрим два состояния балки при последовательном нагружении ее двумя силами (рис. 8.5):

- при первом на балку действует сила F1 (рис. 8.5, а);

- при втором на балку, нагруженную силой F1 , начинает действовать сила F2 , при увеличении которой сила F1 остается постоянной (рис. 8.5, б). Линейные перемещения точки приложения F1 по направлению линии ее дей-

ствия обозначим так:

11 – действительное перемещение сечения по направлению линии действия силы F1 от действия самой силы F1 ;

		277
12	– возможное перемещение того же сечения по направлению линии дейст-
вия	F	от действия силы F .
	1	2

Рис. 8.5

График зависимости между силой F1 и возможным перемещением 12 пред-

ставляет собой горизонтальную прямую (рис. 8.5, в). Площадь заштрихованного прямоугольника численно равна возможной работе силы F1 при пере-

мещении, вызванном силой F2 :

W12 = F1 12 .

(8.7)

По формуле (8.7) вычисляется возможная работа сил первого состояния на перемещениях, вызванных силами второго состояния. В формуле (8.7) отсут-

ствует множитель 12 , присутствовавший в формуле (8.4) для расчета дейст-

вительной работы.

В случае действия нескольких обобщенных сил

Win = ∑Fi in ,

(8.8)

где Win – возможная работа сил i −го состояния на перемещениях, вызванных силами состояния n.

Возможная работа внутренних сил

Рассмотрим два состояния элемента стержня длиной dz под действием продольных сил (рис. 8.6):

-первое состояние - на элемент действуют силы N1 (рис. 8.6, а);

-второе - элемент действуют силы N2 (рис. 8.6, б).

278

Рис.8.6

Продольные силы N2 второго состояния (рис. 8.6, б) вызывают удлинение элемента

(	d z)2 =	N2 d z	.
		E A

Возможная работа сил N1 первого состояния при этом перемещении, см. формулу (8.7), равна

	dW = −N (		dz) = −	N 1 N 2 dz
				E A
	N1	1	2

Рассмотрим два состояния элемента dz под действием изгибающих момен-

тов (рис. 8.7):

- при первом на элемент действуют моменты M 1 (рис. 8.7, а); - при втором на элемент действуют моменты M 2 (рис. 8.7, б).

Рис. 8.7

Взаимный угол поворота граней элемента, вызванного моментами M 2 (рис. 8.7, б):

M d z

(dθ)2 = E2 J .

Возможная работа изгибающего момента M 1 при этом перемещении:

279

dW = −M (dθ)2		= −	M 1 M 2 d z	.
M1	1		E J

Рассуждая аналогично, запишем возможную работу поперечной силы Q1 первого состояния при деформациях сдвига, вызванных силами Q2 :

dW = −ηQ1 Q2 dz . Q1 GA

Таким образом, возможная работа внутренних сил при деформациях бесконечно малого элемента равна

dW12 = dWM		+ dWN		+ dWQ	= −	M 1 M 2 d z	−	N1 N 2 d z	−η	Q1 Q2 dz	.
						E J		E A
	1		1	1						GA

Интегрируя это выражение по длине каждого стержня, произведя суммирование по всем стержням, получим формулу для полной возможной работы внутренних сил:

Win = −∑∫Mi Mnd z	− ∑∫	Ni Nnd z	−∑∫η Qi Qn dz.		(8.9)
l E J	l E A		l	GA

По формуле (8.9) вычисляется полная возможная работа внутренних сил i −го состояния на перемещениях, вызванных силами состояния n.

Принцип возможных перемещений

Известный из механики принцип возможных перемещений применительно к упругим системам формулируется следующим образом.

Если система находится в равновесии под действием приложенной нагрузки, то сумма работ внешних и внутренних сил на возможных бесконечно малых перемещениях точек системы равна нулю, т.е.

∑Fi in +Win = 0, или ∑Fi in = −Win ,

(8.10)

где ∑Fi in − возможная работа внешних сил; Win – возможная работа внут-

ренних сил.

Подставив в уравнение (8.10) выражения для возможной работы внутренних сил (8.9), получим

280

∑Fi in = ∑∫	Mi M ndz	+∑∫	Ni Nnd z	+ ∑∫η	Qi Qn dz	.	(8.11)
l E J		l E A		l	GA

Уравнение (8.11) выражает принцип возможных перемещений для плоской стержневой системы.

Теоремы о взаимности перемещений и работ

Рассмотрим балку в двух состояниях. В первом балка нагружена обобщенной силой F1 (рис. 8.8, а). Внутренние усилия в сечениях обозначим M 1 , N1 , Q1 ,

перемещения точек – 11 , 21 , … , i1 .
Во втором состоянии балка нагружена силой	F1 (рис. 8.8, б). Внутренние
усилия M 2 , N 2 , Q2 ; перемещения точек 12 ,	22 , … , i 2 .

Рис. 8.8

В качестве возможного перемещения для первого состояния возьмем 12 , для второго – 21 . Применим принцип возможных перемещений. На основании формулы (8.11) получим соответственно для первого и второго состояния

F1	12 = ∑∫ME1M	J2dz +∑∫	N1N2dz			+ ∑∫QG1Q 2Adz ,
				E A
	l	l					l
F2	21 = ∑∫ME2MJ1dz + ∑∫			N2 N	1dz		+ ∑∫QG1Q2Adz .
				E	A
	l	l					l

Так как правые части полученных выражений равны, то равны и левые части:

F1 12 = F2 21 .

(8.12)