u-lectures сопромат

261

Напомним, что между поперечными силами Qx , Qy и изгибающими моментами Mx ,M y существует дифференциальная зависимость, которая для прямолинейных брусьев имеет вид

	dMx		=Q		,
	dz			y
							(7.38)
	dMy		=Q		,
	dz			x
а для криволинейных
				dMx		= Qy ,	(7.39)
				ds

где дифференциал дуги ds = R dϕ.

Рассмотренную методику часто называют расчётом по грузовым участкам.

Рис. 7.22. Схемы отсечённых частей пространственного бруса

262

Рис. 7.22 Окончание

Условия равновесия отсеченной части криволинейного стержня при пространственном нагружении нужно записывать по уравнениям (7.37). Они показывают, что в текущем сечении стержня должны возникать как изгибаю-

щий M x , так и крутящий Mk моменты (рис. 7.23, а). Но восприятие такого

пространственного изображения отсечённой части криволинейного стержня весьма затруднительно.

Можно получить более простую картину изображения этих моментов в виде плоского отображения, если представлять изгибающий M x и крутящий Mk

263

моменты вектор-моментами M x и Mk . Как известно, вектор-момент M –

это вектор, перпендикулярный плоскости M и направленный в ту сторону, откуда можно видеть вращение моментом M против движения часовой стрелки (рис. 7.23, б).

а

б

в

Рис. 7.23. Отсеченная часть криволинейного стержня при пространственном нагружении

Использование вектор-моментов дает возможность отсечённую часть изо-

бражать плоской картиной видом сверху, а моменты M x			и Mk	– в виде век-
r
торов Mx и Mk , направленных по осям x и	z согласно правилу направле-
ния вектор-момента. Получается, что вектор	M x	лежит на оси		x , а вектор
r
Mk – на оси z (рис. 7.23, в).
Теперь для вычисления значений моментов M x		и Mk	можно использовать
уравнения плоской системы сил
∑пр z = 0,
				(7.40)
∑пр x = 0,
∑mom 0 = 0.

Использование уравнений плоской системы значительно упрощает расчёт.

	264
В табл. 7.1 записаны выражения сил N и Qx , моментов M y , полученные по
уравнениям (7.40) для двух типов плоского нагружения, изображены также
эпюры этих усилий.		Таблица 7.1
	Плоское нагружение криволинейного стержня
Схема нагружения	Схема отсечённой части и	Эпюры N , Qx , M y
	внутренние усилия
0 ≤ ϕ≤π	N = −P cosϕ
	Qx = P sin ϕ
	M y = PR (1−cosϕ)
0 ≤ ϕ≤π	N = P sin ϕ
	Qx = P cosϕ
	M y = PR sin ϕ

265

Значения моментов определяются с учётом их знака, однако на прочность знак изгибающего момента решающего влияния не имеет. Поэтому на эпюрах

изгибающих моментов M x и M y , которые строят в плоскости их действия,

принято откладывать значения либо только со стороны сжатых, либо только со стороны растянутых волокон, при этом знак момента не ставят. Условимся строить эпюры со стороны растянутых волокон.

Эпюры поперечных сил Qx , Qy строят в плоскости их действия, и знаки ус-

ловились не ставить. Эпюры продольных сил N и крутящих моментов Mk можно откладывать как по оси x , так и по оси y (чаще по оси y ), исходя из соображений наибольшей наглядности чертежа. На эпюре N обязательно ставить знаки. На эпюрах Mk знаки можно не ставить.

Подбор размеров поперечных сечений. Проверка на прочность

Эпюры ВУ позволяют констатировать вид сопротивления стержней. Стержни могут находится в состоянии косого изгиба, испытывать растяжение-сжатие, кручение и поперечный изгиб в двух плоскостях. Каждое усилие вызывает появление напряжений, показанных для круглого сечения в табл. 7.2, т.е. в стержнях могут действовать напряжения от всех шести силовых факторов. В этом случае необходимо оценить влияние на прочность как нормальных, так и касательных напряжений. Это возможно лишь с помощью теорий (или гипотез) прочности. Общеизвестно, что для стального бруса, как бруса из пластичного материала, рекомендуют пользоваться третьей или четвёртой теориями прочности; для выполнения расчётов составлена таблица 7.3, в которой представлен обзорный материал по этим теориям.

Напомним, что рассуждения верны в пределах упругих деформаций, при которых справедлив принцип суперпозиции, то есть напряжения и деформации, возникающие от ряда внутренних усилий равны алгебраической сумме напряжений и деформаций от каждого усилия в отдельности. Поэтому использование векторной алгебры для касательных и нормальных напряжений, занесённых в табл. 7.2, позволило получить указанные в табл. 7.3 формулы касательных и нормальных напряжений.

При неизвестных размерах сечения неизвестны и площадь, и моменты инерции, которые входят в формулы этих напряжений (см. табл. 7.3). В результате получаем громоздкие записи для эквивалентных напряжений по теориям

прочности σэквIII и σэквIV , не позволяющим получить удобно решаемое условие.

Кроме того, при неизвестных размерах сечения нет возможности сравнить нормальные напряжения, возникающие отдельно от продольных сил N и изгибающих моментов M x , M y , и также касательные напряжения τ от попе-

речных сил Qx и Qy и крутящих моментов Mk .

266

Таблица 7.2

Напряжения от внутренних усилий

Вид внутреннего усилия

Напряжения

Эпюры напряжений

σ =

N

N – продольная сила

F

σ =

Mx

y

Jx

M x – изгибающий момент

σ =

M y

x

J y

M y – изгибающий момент

τ =

Mк

r

Mk – крутящий момент

Jρ

Q

S

отс

τ =

y

x

Qy – поперечная сила

by Jx

Q

S

отс

τ =

x

y

b J

y

x

Qx – поперечная сила

267

Таблица 7.3

Формулы для пластичного материала по III и IV

теориям прочности

Вид напряжённого состояния (НС) в сечениях рамы при наличии всех ВУ

Рабочее НС (напряжения от ВУ

НС в главных площадках

в точках поперечного сечения)

τ=τQ

+τQ

+τM ,

x

y

k

σ=σN

+σM

+σM ,

x

y

τ= (τQx )

2

+(τQy )

2

+(τMk

)

2

σ2 = 0

,

σ = σ ± 1 σ2 +4τ2

M y

N

M

x y

x

1,3

2

2

σ =

+

+

F

J y

J x

III

теория

Критерий

τmax =

σ1 −σ3 ≤ [σ]

прочности,

прочности

теория наибольших

Условие проч-

2

2

касательных

σIII

=

σ2 +4τ2

≤[σ]

напряжений

ности

экв

IV теория

Критерий

2

2

2

+

1+μ 2

прочности,

прочности

uф =

1+μ σ1 +σ2

+σ3

теория потенциальной

+σ σ +σ σ +σ σ

≤

3E

σ

3E

энергии изменения

1

2

3

2

1

3

формы

Условие проч-

≤[σ]

σэквIV

=

σ2 +3τ2

ности

Эти трудности в расчётной практике пространственных рам преодолевают

следующим образом: используют методику расчётов на прочность, которая

основана на том факте, что в большинстве рам нормальное напряжение от

действия продольной силы и касательные напряжения от действия попереч-

ных сил значительно меньше, чем от изгибающих и крутящих моментов со-

ответственно. Тогда при подборе размеров круглого сечения будем учитывать

только три силовых фактора: M x ,

M y и Mk ,

распределение напряжений от

которых представлено в табл. 7.4. Это даёт возможность записать с учётом

Wx =Wy следующие напряжения в опасной точке К опасного сечения

268

σ = σM x ,M y =

M

x

+

M y

=

M x + M y

, τ = τMк =

M

к

=

M

к

.

Wy

Wx

Wx

Wρ

2 Wx

Подставив эти выражения σ и τ в эквивалентные напряжения по теориям прочности σэквIII и σэквIV , указанные в табл. 7.3, получим более простые условия

прочности, которые представлены в табл. 7.4. Эти условия и служат для подбора размеров круглых сечений пространственного бруса.

Таблица 7.4

Расчётные формулы для круглого бруса

Mисум – изгибающий суммарный момент в опасном сечении круглого стерж-

ня, Mисум = Mx2 + M y2 ,

Mk – крутящий момент в том же сечении стержня

Эпюры нормальных и касательных напряжений в опасном сечении круглого стержня:

σ =

M y

x +

M

x

y , τ =

Mk

ρ

Wρ

J y

Jx

Вид НС в опасной точке К,

σ = σ

max

=

M

x

+

M y

=

Mx

+ M y

Wx

Wy

Wx

τ = τ

max

=

Mk

=

Mk

Wρ

2

Wx

Условие прочности по III теории проч-

M III

M x2 + M y2 + M л2

ности для круглого стержня

σэквIII

=

экв

=

≤ [σ]

W

W

Условие прочности по IV теории проч-

MIV

Mx2 +My2 +0,75 Mk2

ности для круглого стержня

σэквIV =

экв

=

≤[σ]

W

W

269

Далее после подбора размеров обязательна проверка прочности при учёте всех внутренних усилий, в том числе продольных и поперечных сил. Эта проверка наиболее актуальна для коротких элементов конструкций, в которых моменты, как правило, вызывают или меньшие напряжения, чем продольные и поперечные силы, или соизмеримые с ними.

Определение перемещений и построение деформированной оси бруса

Для определения линейных и угловых перемещений в любых плоских и пространственных системах, состоящих из шарнирно или жёстко соединенных прямых или кривых брусьев, универсальным способом является метод Мора (подробно см. тема 8.2). По этому методу для вычислений составляют специальное единичное состояние. Так, при определении линейного перемещения необходимо: освободить систему от заданных нагрузок и по направлению искомого перемещения приложить безразмерную единичную силу (силу, равную единице). А при определении углового перемещения в том сечении, поворот которого требуется найти, прикладывают в плоскости искомого поворота момент, равный безразмерной единице (единичный момент). Система, нагруженная силой, равной единице, или моментом равным единице, и есть единичное состояние. А система, нагруженная заданной нагрузкой, есть гру-

зовое состояние.

Искомое перемещение вычисляют по интегралу Мора, которое для рам имеет вид

= ∫	M p M			dz + ∫	Mkр Mk			dz, ,	(7.41)
l	EJ			l	EJρ

где M p , Mkр – функции грузовых изгибающих и крутящих моментов;

M , Mk – функции единичных изгибающих и крутящих моментов.

В случаях, когда ось бруса прямолинейна и жёсткость поперечного сечения в пределах отдельных участков постоянна, интеграл Мора целесообразно вычислять графо–аналитическим методом, применяя правило Верещагина, которое основано на том факте, что в прямолинейных стержнях единичные эпюры линейны.

По этому правилу значение интеграла Мора (7.41) для каждого участка вычисляется как произведение площади одной эпюры изгибающих моментов на значение момента из другой (обязательно линейной), которое взято под центром тяжести первой, делённое на жёсткость поперечного сечения данного участка. Таким образом, при применении правила Верещагина вычисление перемещения ведётся по формуле

270

	= ∑(ωEJi η)ci ,	(7.42)
	x i
где	ωi – площадь первой эпюры изгибающих моментов;
ηci	– значение момента, взятое из линейной эпюры изгибающих моментов и

соответствующее центру тяжести первой;

(EJ x )i – жесткость поперечного сечения данного участка бруса.

Очевидно, что в случаях, когда на данном участке обе эпюры линейны, совершенно безразлично, на какой из них брать площадь и на какой ординату. Произведение ωi ηci считается положительным, если часть эпюры, имеющая

площадь ωi , и соответствующая ордината ηci расположены по одну сторону

от оси бруса.

Вычисление перемещений по формуле (7.42) называют способом Верещагина, а вычисление произведения ωi ηci – перемножением эпюр.

Для кривого бруса, как известно, правило Верещагина неприменимо, так как ни одна из эпюр не будет линейной, поэтому в курсовом проекте для первого стержня перемещение определяем только интегралом Мора по (7.41), в кото-

ром ds = Rdϕ= l21 dϕ. При составлении выражений изгибающих моментов ис-

пользуем полярные координаты, фиксируя положение произвольного сечения углом ϕ.

Для прямолинейных стержней вычисление перемещений целесообразно выполнять способом Верещагина по (7.42), перемножая полученные ранее эпюры изгибающих и крутящих моментов от заданной нагрузки (грузовые) на со-

ответствующие единичные эпюры Mi , которые необходимо построить. Если

грузовые и единичные эпюры расположены с разных сторон от нулевой линии (от оси бруса), то при перемножении эпюр ставим знак минус. Отрицательное значение перемещения означает, что это сечение смещается по направлению, противоположному взятого единичного усилия. По найденным перемещениям строят деформированную ось брус.

Контрольные вопросы к разделу 7

1.Что такое сложное сопротивление?

2.Дайте определение косого изгиба.

3.Чем косой изгиб отличается от прямого изгиба?

4.Какой вид деформации называется внецентренным сжатием или растяжением?

5.Что такое ядро сечения? Поясните практическую значимость его нахождения.