u-lectures сопромат

321

на методе сил, который модифицируется врезанием шарниров над опорами и состоит в определении изгибающих моментов. Строится грузовая эпюра и эпюра единичных изгибающих моментов над врезанными шарнирами. По эпюрам определялись перемещения и трансформировались в уравнение трёх моментов. Балка должна быть постоянного сечения.

Рассмотрим неразрезную балку постоянного сечения, все опоры которой расположены на одном уровне (рис. 9.24, а).

Рис. 9.24

Освободим балку от внутренних связей путем постановки шарниров в сечениях балки над промежуточными опорами. Основная система будет представлять собой ряд самостоятельных статически определимых балок на двух шарнирных опорах с опорными изгибающими моментами и внешними нагрузками в пролетах. Возникающие в местах разреза поперечные силы в расчет не принимаются, т. к. воспринимаются опорами, над которыми сделан разрез. Лишними неизвестными являются изгибающие моменты над промежуточными опорами. Запишем каноническое уравнение, выражающее условие равенства нулю перемещения по направлению неизвестных моментов Mi

(рис. 9.24, б):

322

K+ M i−1 δi,i−1 + Mi δi,i + Mi+1 δi,i+1 +K+ ip = 0 .

(9.15)

Каждое уравнение содержит независимо от степени статической неопределимости системы не более трех неизвестных моментов и распространяется в пределах двух прилегающих пролетов.

Определим коэффициенты уравнения (9.15), используя способ Верещагина и пользуясь построенными эпюрами единичных и грузового изгибающих моментов (рис. 9.24, в):

δi,i −1

=

1

1

li

1

1

=

li

;

3

EJi

2

6EJi

δi,i =

1

1

li

2

1

+

1

1

li +1

2

1

=

2li

+

2li +1

;

3

6EJi

6EJi +1

EJi

2

EJi +1

2 3

δi,i+1

=

1

1

li+1

1

1

=

li+1

;

EJi+1

2

3

6EJi+1

ip =

1

ωi yi +

1

ωi+1 yi+1;

EJi

EJi+1

где yi =

ai

,

yi+1 =

bi+1

.

li

li+1

Окончательно получаем уравнения (9.15) в виде:

li

li+1

6ωi ai

6ωi+1bi+1

li

li+1

M i−1

+ 2Mi

+

+ M i+1

= −

−

.

Ji

Ji

Ji+1

li Ji

li+1Ji+1

Ji+1

Порядок расчета.

1.Определяется степень статической неопределимости балки.

2.Составляется расчетная схема неразрезной балки. Основную систему образуют врезанием в балку шарниров над промежуточными опорами. Если ка- кой-либо конец балки защемлен, то со стороны этого конца к балке добавляется пролет длиной равной нулю.

3.Нумеруют опоры и пролеты так, чтобы номер пролета совпадал с номером правой опоры (при нумерации слева направо).

4.Для каждого пролета балки (как для простой балки на двух опорах) строится эпюра изгибающих моментов от заданной внешней нагрузки.

323

5.Составляется уравнение трех моментов для каждой промежуточной опоры балки.

6.Путем совместного решения уравнений трех моментов определяются значения опорных моментов.

7.Для каждого пролета балки строятся эпюры Q и M как для однопролетной балки, загруженной заданной нагрузкой и опорными моментами:

M = M 0 + Mi −1 + Mi −liMi −1 x ,

Q = Q0 + Mi − Mi −1 , li

где M 0 , Q0 – соответственно изгибающий момент и поперечная сила в се-

чении, вычисленные только от действия нагрузки на данном пролете. 8. Определяются опорные реакции неразрезной балки Di = Qi,i +1 − Qi,i .

Опорная реакция равна разности поперечных сил, действующих в сечениях, расположенных справа и слева от опоры.

Тема 9.3 Особенности применения метода сил

Раскрытие статической неопределимости в шарнирно-стержневых системах

Задачу раскрытия статической неопределимости в шарнирно-стержневых системах рассмотрим на конкретном примере.

Пример 9.2. Абсолютно жесткий брус ВD закреплен с помощью шарнирной опоры и двух стальных стержней (тяг) одинаковой длины, см. рис. 3.25, а. Определить усилия в стержнях для двух вариантов:

1)	площади поперечных сечений стержней одинаковы, т.е.
A1 = A2 = A;
2)	площадь сечения первого стержня в два раза больше, чем второго,

т.е. A2 = A , A1 = 2A2 .

Рис. 9.25

324

Решение

Для 1-го варианта

1.Определяем степень статической неопределимости: S = 4 − 3 =1. Система один раз статически неопределима.

2.Выбираем основную и эквивалентную системы (рис. 9.25, б, в).

Основную систему получаем, разорвав первый стержень у нижнего конца, в точке Н (стержень не «отбрасываем»). За лишнюю неизвестную принимаем внутреннее усилие в стержне X 1 , которое является взаимным.

3. Записываем каноническое уравнение метода сил:

δ11 X	1	+ 1F = 0,	(9.16)
где X 1 − усилие в первом стержне; δ	11	− взаимное смещение конца стержня и

бруса от X 1=1; 1F − взаимное смещение конца стержня и бруса от заданной

нагрузки.

Смысл записанного уравнения в том, что взаимное смещение разорванного стержня относительно жесткого бруса равно нулю.

4. Определяем коэффициенты канонического уравнения. Для этого рассматриваем основную систему, нагруженную заданной силой F, затем − единичным неизвестным усилием X 1=1, рис. 9.26.

Рис. 9.26

При расчете усилия во втором стержне уравнения равновесия для бруса ВD примут вид:

- для грузового состояния, см. рис. 9.26, а, –

∑mD = 0; F 3a − N 2F a = 0; N 2F = 3F (растяжение); - для единичного состояния, см. рис. 9.26, б, –

325

∑mD = 0; − X 1

2a −

2 a = 0;

2 = −2

(сжатие).

N

N

Строим эпюры продольных сил для стержней N F

и

1

(рис. 9.26, а, б). Вы-

N

числяем коэффициенты δ11 и

1F

перемножением эпюр.

Эпюру

1

умножаем «саму на себя»:

N

δ

11

= l 1 1

+ l ( −2 ) ( −2 ) =

5l .

EA

EA

EA

Эпюру

1

умножаем на эпюру N F .

N

1F

= l 3F ( −2 ) = −6 Fl .

EA

EA

5. Решаем каноническое уравнение (9.16) относительно X 1 :

		X		= −		iF		= 6 Fl =1,2F .
			1
					δ11			5l
Усилие во втором стержне найдем исходя из равенства
N 2 =		2 X 1 + N 2F ;					N 2 = (−2) 1,2F + 3F = 0,6F .
	N
Ответ: стержни работают на						растяжение, и усилия в них N 1 =1,2F ,
N 2 = 0,6F .

Для 2-го варианта

Если жесткость первого стержня увеличить в два раза, то изменится коэффициент δ11 :

δ			1	1 l 1			1	(2	l 2)=	9l	.
	11	=				+
							EA			2AE
		2AE

Тогда

X		= −	iF	= 6Fl 2EA =1,33F;
	1
			δ11	EA 9l
N 2		=( −2 ) 1,33 F + 3 F =0 ,33 F

326

Ответ: Усилия в стержнях N 1 =1,33F ; N 2 = 0,33F .

Сравнив значения усилий, найденные в обоих вариантах, замечаем, что при увеличении жесткости первого стержня усилие в нем растет, а усилие во втором стержне уменьшается.

Таким образом, первая особенность статически неопределимых систем со-

стоит в том, что чем выше жесткость элемента, тем большую часть прилагаемой нагрузки он способен воспринять. Эта особенность позволяет регули-

ровать усилия в статически неопределимых системах, изменяя жесткость стержней конструкции.

Расчет статически неопределимых систем при температурном воздействии

При нагревании на t o стержня, заделанного одним концом (рис. 9.27, а), в

нем не возникнут напряжения, т.к. правый конец стержня свободно перемещается на величину

lt =α t l ,

(9.17)

где α − коэффициент температурного расширения материала.

Рис. 9.27

Если стержень заделан обоими концами в неподатливые стены (рис. 9.27, б), то при повышении температуры он удлиняется и оказывает давление на заделки, в которых возникнут реакции. При этом стержень будет испытывать сжатие.

Пример 9.3. Определить усилия и напряжения в стержнях системы (рис. 9.28, а), возникающие за счет повышения температуры на to С.

327

Рис. 9.28

Решение Усилия в стержнях до нагревания равны нулю, т.к. нагрузка отсутствовала.

При росте температуры стержни не могут свободно удлиняться, т.к. связаны с брусом. В них возникают усилия N1t и N2t . Система один раз статически не-

определима: S = 4 − 3 =1.

На рис. 9.28, б показана основная система. Каноническое уравнение метода сил

δ11 X 1 + 1t = 0 ,

(9.18)

где X 1 − продольное усилие, возникающее в первом стержне за счет повы-

шения температуры на to	С; δ		− взаимное смещение конца первого
			11
стержня и жесткого бруса в		1=1;	1t − взаимное смещение конца первого
	X

стержня и жесткого бруса за счет повышения температуры.

Коэффициент δ11 определяем, умножая эпюру N1 «саму на себя» по способу Верещагина (рис. 9.28, в):

δ11 = EA1 [(1 l ) 1 +( −2l ) ( −2 )]= 5EAl .

Площади единичной эпюры продольных сил (рис. 9.28, в) обозначим

ω1 =l 1, ω2 = −l 2 или ωi =l Ni .

Формулу для расчета температурного перемещения 1t выведем, используя

интеграл Мора, который преобразуем в конечную сумму, т.к. продольная сила по длине каждого стержня постоянна. Для грузового перемещения

N l

iF = ∑ EAF Ni .

328

Первый множитель является удлинением стержня l от силового (температурного) воздействия. Заменим его температурным удлинением, согласно формуле (9.17), тогда последнее уравнение примет вид

		it = ∑(α t l N	i	)= ∑α t ω				,	(9.19)
					Ni
где ω – площадь единичной эпюры продольных сил. Окончательно
	N	i
				it = α t ∑ω			.		(3.20)
					Ni
Для данного примера:
		1t =α t (ω1 +ω2 )=α t (l − 2l )= −α t l .

Подставляя полученное значение

1t в уравнение (9.18) и решая его, находим

усилие:

X 1 = N1t = −

1t

= α

t l EA

=0,2α

t EA (стержень «1» растянут),

5l

δ11

N2t =

2 X 1 = (−2)X 1 = −0,4α t EA (стержень «2» сжат).

N

Соответствующие температурные напряжения в стержнях:

σ

=

N1t

= 0,2α t E ; σ

2t

=

N2t

= −0,4α t E .

1t

A

A

Вторая особенность статически неопределимых систем состоит в том, что

усилия в их элементах зависят от температуры. Изменение температуры всей системы или отдельных стержней приводит к появлению так называе-

мых температурных напряжений.

Примечание. В случае одновременного силового и температурного воздействия задачу можно решить путем наложения обоих независимых решений. Действительно, каноническое уравнение имеет вид

δ11 X 1 + 1F + 1t = 0;

откуда

X 1 = −	+	1t	= −(X 1F	+ X1t ) .
	1F
	δ11

329

Влияние неточности изготовления элементов конструкций на усилия в них

При изготовлении сооружений нельзя обеспечить абсолютно точного соблюдения размеров их частей и элементов. Если мы имеем дело со статически определимой системой, то такие неточности не вызовут никаких напряжений в ней. Например, если стержень ВС (рис. 9.29, а) будет сделан немного короче, чем предполагается по чертежу, то это приведет при сборке к легкому искажению треугольника ВСD. При отсутствии нагрузки усилия в стержнях будут равны нулю.

Рис. 9.29

Иначе поведет себя статически неопределимая конструкция, состоящая из трех стержней (рис. 9.29, б), при сборке которой было обнаружено, что средний стержень короче, чем положено по норме, на СС0 = . После принудительного соединения стержней в точке С1 в стержнях появятся усилия: растягивающее – в среднем; сжимающие – в крайних. Напряжения, возникающие при сборке, называют начальными, или монтажными.

Если после сборки к узлу С (рис. 9.29, б) приложить силу F вертикально вниз, то сжатые стержни будут разгружаться, а средний дополнительно растянется.

Искусственное создание напряжений, противоположных по знаку напряжениям от внешней нагрузки, позволяет собирать экономичные конструкции. Этот прием, носящий название предварительного напряжения, широко используется при возведении металлических и железобетонных конструкций.

Пример 9.4. В системе (рис. 9.30, а) длина первого стержня меньше проектной длины на величину . Определить усилия в стержнях после сборки конструкции.

330

Рис. 9.30

Решение

После принудительной сборки в стержнях появятся усилия, а система станет один раз статически неопределимой, см. рис. 9.30, б: S = 4 − 3 =1.

Основная система и лишняя неизвестная X 1 изображены на рис. 9.30, в, а единичная эпюра N 1 , соответствующая X 1 =1 – на рис. 9.30, г. Каноническое уравнение имеет вид

δ11 X 1 = ,

(9.21)

где X 1 – усилие, возникающее в первом стержне, при сборке.

Смысл уравнения (9.21) заключается в том, что для соединения первого стержня с брусом перемещение, вызванное лишней неизвестной X 1 по на-

правлению самой неизвестной X 1 , должно быть равно величине зазора . Для определения δ11 умножаем эпюру N1 (рис. 9.30, г) на N1 :

δ	11	= l 1 1	+ l ( −2 ) ( −2 )	=	5l .
		EA	EA		EA

Из уравнения (9.21) находим, что