u-lectures сопромат

331

X

= N

=

=

EA

(стержень «1» растянут);

1

1

δ

11

5l

2 EA

N

X

= −

(стержень «2» сжат).

2

= N

2

1

5l

Таким образом, в результате принудительной сборки первый стержень будет

растянут, а второй − сжат.

Особенности статически неопределимых систем

Статически неопределимые системы (СНС) обладают определенными преимуществами по сравнению со статически определимыми системами (СОС),

см. рис. 9.31.

Сравнив значения наибольших прогибов и изгибающих моментов в статически определимой (рис. 9.31, а) и статически неопределимой балке (рис. 9.31, б), можно сделать следующие выводы:

1)СНС обладают большей жесткостью;

2)их несущая способность значительно выше;

3)в СОС распределение усилий не зависит от жесткости ее элементов.

Рис. 9.31

Повышение жесткости отдельных элементов СНС всегда приводит к увеличению усилий в них и обычно к уменьшению усилий в остальных элементах;

332

зная законы распределения усилий, можно облегчить собственный вес балки в пролете, перемещая материал к опорам;

4)наличие «лишних» связей в СНС повышает их надежность;

5)усилия в элементах СОС возникают только от действия внешней нагрузки

(включая собственный вес конструкции); в элементах же СНС усилия могут возникать и при отсутствии внешней нагрузки (в результате изменения тем-

пературы, смещения опорных закреплений, неточности изготовления отдельных элементов конструкций).

Следует обратить внимание на то, что статическая неопределимость есть свойство самой системы, не зависящее от нагрузки.

Контрольные вопросы к разделу 9

1.Какие системы называются статически неопределимыми?

2.Что понимают под степенью статической неопределимости?

3.Сколько раз статически неопределим замкнутый контур?

4.Что называется основной системой?

5.Что называется эквивалентной системой?

6.Какой вид имеют канонические уравнения метода сил?

7.Чем определяется число уравнений, записываемых для заданной системы?

8.В чем заключается геометрический смысл коэффициентов при неизвестных в каноническом уравнении?

9.Каким образом определяют коэффициенты при неизвестном и свободный член канонических уравнений?

10.Какие существуют способы построения суммарной (окончательной) эпюры изгибающих моментов?

11.В каком порядке производится расчет статически неопределимых систем?

12.Как, используя свойства симметрии, можно облегчить решение задачи при раскрытии статической неопределимости?

13.Какие неизвестные внутренние силовые факторы называются симметричными, а какие кососимметричными?

14.Как производится деформационная (кинематическая) проверка окончательной (суммарной) эпюры изгибающих моментов?

15.Как производится определение перемещений в статически неопределимых системах?

333

Модуль 4 Расчеты при динамических воздействиях

Раздел 10 Расчет движущихся с ускорением элементов конструкций

Понятие о динамическом нагружении

В предыдущих разделах были рассмотрены расчеты стержней на действие статических нагрузок.

Статические нагрузки постоянны во времени или изменяются настолько медленно, что возникающие при этом силы инерции малы и ими можно пренебречь.

Динамические нагрузки характеризуются большой скоростью их приложения, в результате чего элементы конструкции получают значительные ускорения. Возникающие при этом силы инерции необходимо учитывать в расчете.

К динамическим относятся следующие нагрузки: возникающие при движении тела с ускорением (силы инерции); ударные; вибрационные; повторно-переменные.

Динамический расчет

Расчет конструкций с учетом сил инерции называют динамическим. Он осно-

ван на использовании известного из теоретической механики принципа Даламбера, согласно которому всякое движущееся тело можно считать находящимся в состоянии мгновенного равновесия, если к действующим на него внешним силам добавить силу инерции.

Величина силы инерции Fi равна произведению массы m тела на его ускорение а и направлена в сторону, противоположную ускорению:

		= −m a.	(10.1)
	Fi

Спомощью принципа Даламбера любая динамическая задача по форме решения сводится к статической − составлению уравнений равновесия.

Ссилами инерции в свою очередь связаны дополнительные напряжения и де-

формации. В общем случае динамическая нагрузка представляет собой очень сложное воздействие на сооружение. В курсе сопротивления материалов рассматривают лишь простейшие задачи, применяя ряд вспомогательных гипотез, упрощающих расчет.

При решении задач влияние динамической нагрузки Fd учитывают с помо-

щью динамического коэффициента Kd . Динамические напряжения и пере-

334

мещения находят путем умножения статических напряжений и перемещений, от действия статических нагрузок Fst , на динамический коэффициент:

σd = K d σst ; d = K d st ; Fd = K d Fst .

(10.2)

Величина коэффициента K d зависит от вида нагрузки, размеров, массы, же-

сткости сооружения и ряда других факторов.

Условие прочности при динамическом нагружении имеет вид

σd = Kd σst ≤ R γc .

(10.3)

При этом коэффициент Kd должен быть предварительно найден в итоге решения соответствующей задачи, примеры которых рассмотрены ниже.

Учет сил инерции. Динамический коэффициент

Осевая инерционная нагрузка

Рассмотрим определение динамических усилий, возникающих в тросе при подъеме груза весом G с ускорением а (рис. 10.1, а).

Если груз неподвижен, то в произвольном сечении троса z возникает статическое усилие от веса груза и троса, определяемое исходя из условия равновесия нижней отсеченной части:

N st = G + q z,

(10.4)

где q =γ A – погонный вес троса; γ – объемный вес материала; А – площадь

сечения троса.

При подъеме груза с ускорением а к отсеченной части, по принципу Даламбера, должна быть приложена сила инерции Fi , направленная вдоль оси троса

(рис. 10.1, б) в сторону, противоположную ускорению. Суммарная сила инерции на основании формулы (10.1) равна

Fi = G + q z a, g

где g − ускорение силы тяжести.

335

а б

Рис. 10.1

Значение динамического усилия определяется равенством

G + q z

a

N

d

= (G + q z) +

a =

(G + q z) 1

+

,

g

g

или с учетом формулы (10.4)

a

N

d

= N

1

+

.

st

g

Выражение в скобках характеризует отличие динамического усилия в тросе от статического, т.е. динамический коэффициент находится так:

	Kd =	Nd	=1 +	a	.
		N st		g

Отношение динамического значения усилия, напряжения или перемещения к соответствующему его статическому значению называется динамическим коэффициентом.

Тогда динамическое усилие и напряжение в тросе определяются так:

	Nd = Kd N st ;	σd =	Nd	= Kd σst .	(10.5)
			A

Величина динамического коэффициента при поступательном движении тро-

са с ускорением определяется выражением:

336

Kd	=1 +	a	.	(10.6)
		g

Таким образом, при подъеме груза с ускорением динамическое напряжение в тросе может в несколько раз превысить статическое.

Если груз опускать с ускорением а, то в формуле (10.6) надо поставить знак «минус». При свободном падении груза a = −g ; поэтому натяжение в тросе

равно нулю. Трос следует за падающим грузом без натяжения.

Поперечная инерционная нагрузка

Рассмотрим определение динамических усилий и напряжений, возникающих в балке при подъеме ее с ускорением а (рис. 10.2).

Рис. 10.2

До начала подъема в сечении В балки, подвешенной на стропах, возникает наибольший по величине статический изгибающий момент

M st = qst18l2 ,

где qst (Н/м) – интенсивность распределения веса балки по ее длине.

При подъеме с ускорением возникают равномерно распределенные по длине балки инерционные силы, направленные противоположно ускорению

qi = qgst a.

337

Тогда динамическая нагрузка qd равна сумме статической и инерционных нагрузок:

q

= q

+ q

a

q

= K

q

d

st

i

= 1

+

st

d

st

.

g

Таким образом, в случае поперечной инерционной нагрузки величина динамического коэффициента также определяется выражением (10.6). С учетом этого наибольшие значения динамического изгибающего момента и динамического напряжения могут быть найдены по формулам

M d = K d M st ; σd =	M d	= K d	M st	= K d σst ,	(10.7)
	W		W

где W – момент сопротивления поперечного сечения балки.

Следовательно, при поступательном движении стержня с ускорением определение напряжений и перемещений сводится к установлению статических напряжений и перемещений, вычислению динамического коэффициента.

Расчет обода маховика

При первом приближении обод маховика можно рассматривать как тонкое кольцо, вращающееся равномерно вокруг неподвижной оси с угловой скоро-

стью ω= const . Точки кольца движутся с ускорением an = ω2 r , которое на-

правлено к центру вращения. В этом случае кольцо (рис. 10.3, а) нагружено равномерно распределенной по окружности инерционной радиальной нагрузкой.

а

б

Рис. 10.3

Если кольцо в поперечном сечении имеет площадь А, удельный вес материала равен γ, то вес единицы длины кольца равен γ A, а интенсивность соответствующей центробежной силы инерции составляет

338

q			γ A	ω2 r		γ A		υ2
	i	=			=				,
			g	0		g		r0

где υ = ω r0 – окружная скорость точек осевой линии кольца.

Вырежем двумя радиальными сечениями под углом dθ элемент кольца (рис. 10.3, б). Равнодействующая инерционной нагрузки, распределенной по дуге элемента такова:

dFi = qi r0 dθ.

Влияние отброшенной части кольца заменим усилием Nd = σd A, допуская

в силу тонкости кольца, что напряжения равномерно распределены по сечению.

Запишем уравнение равновесия для отсеченной части – сумму проекций всех сил на центральный радиус:

qi r0 dθ − 2σd A sin d2θ = 0.

Подставив выражение интенсивности qi и учтя, что угол dθ2 бесконечно мал, получим уравнение

γ A		υ2					dθ
			r	dθ − 2σ	d	A		= 0.
g		0					2
		r0

После упрощений найдём динамическое напряжение и запишем условие прочности:

σd	=	γυ	2	≤ [σ].	(10.8)
		g

Таким образом, можно установить допускаемую окружную скорость для различных материалов, из которых изготавливаются маховики, шкивы, барабаны и другие вращающиеся детали:

υ ≤	g[σ]	.
	γ

Детали машин и механизмов рассчитывают на прочность по значениям допускаемого напряжения [σ].

339

Пример 10.1. Стальная балка квадратного поперечного сечения площадью 1×1 см2, несущая на концах С и В грузы весом G = 60 Н, опускается на тросе с постоянной скоростью υ = 2,4 м/с (рис. 10.4, а). В результате торможения

скорость опускания в течение 0,5 с. равномерно уменьшилась в три раза. Требуется определить напряжение в тросе, наибольшее напряжение в балке, прогибы концов балки.

а

б

в

Рис. 10.4

Решение

Определяем динамический коэффициент.

Трос и балка движутся равнозамедленно с ускорением

a = 2,4 − 0,8 = 3,2 м/с2 . 0,5

Вектор ускорения направлен противоположно движению, т.е. вверх, а возникшие силы инерции Fi направлены вниз.

Динамический коэффициент согласно формуле (10.6) таков:

	Kd =1 +		a	=1 +	3,2		=1,326.
			g		9,8
	Определение напряжения в тросе.
	Площадь сечения A = πd 2 =	3,14 22				= 3,14 мм2 , статическое усилие
	4			4

N st = 2G .

340

Динамическое напряжение в тросе согласно формуле (10.5):

	σd = K d σst = K d	N st	=1,326		2 60		= 50,7 МПа.
		A			3,14 10	−6

Находим напряжения в балке.

Построим эпюру изгибающих моментов (10.4, б). Наибольший по величине статический изгибающий момент M st = G 0,25 =15 Н м.

Динамическое напряжение в балке согласно формуле (10.7):

	σd = Kd σst = Kd	M st	=1,326			15		6	=119,3 МПа.
		W			13		10−6

Устанавливаем прогибы.

Концы балки С и В относительно точки присоединения троса прогнутся вниз, то есть каждая половина балки представляет собой консоль. Построим единичную эпюруM (рис. 10.4, в) и перемножим ее с грузовой эпюрой M x по

правилу Верещагина. Статический прогиб:

yst =

1

1

15 0,25

2

0,25

=

0,3125 12

= 0,188 см.

E

2

3

2 1011

10−8

14

J

Динамический прогиб концов балки:

yd

= K d yst

=1,326 0,188 = 0,249

см.

Ответ: Наибольшие

напряжения

в

тросе

σd = 50,7 МПа, в балке

σd =119,3 МПа; прогибы концов балки yd = 0,249 см.

Контрольные вопросы к разделу 10

1.Дайте определения предмета статической и динамической теории механических систем.

2.Перечислите примеры динамических нагрузок.

3.В чем состоит принцип Даламбера?

4.Объясните особенности расчетов при динамическом нагружения по сравнению со статическим.