u-lectures сопромат

301

Канонические уравнения метода сил

Вычисление усилий в статически неопределимой системе связано с необхо-

димостью составления дополнительных уравнений – уравнений перемещений системы.

Смысл этих уравнений заключается в том, что суммарные перемещения в эк-

вивалентной системе, вызванные внешней нагрузкой и «лишними» неизвестными усилиями Xi , должны быть равны нулю по каждому из направлений

Xi .

Например, для эквивалентной системы (рис. 9.8, в) нужно приравнять нулю полное перемещение точки В по первому X 1 и второму X 2 направлениям:

1	= 0,	2	= 0	(9.2)
	1		2

					Рис. 9.8
Перемещение точки В по направлению X 1									согласно принципу независимости
действия сил складывается из перемещений по первому направлению от X 1 –
1X1	, от	X 2 – 1X 2	и от нагрузки –				1F . Перемещение точки В по направле-
нию X 2		находится аналогично.
Тогда условия (9.2) можно записать так:
				=	1X1		+	1X 2	+	= 0;
				1						1F	(9.3)
				2 =			+		+	2 F = 0.
					2 X			2 X
						1			2

Перемещения от X 1 и X 2 удобно представить в виде

1X1	= δ11 X 1 ;	1X 2	= δ12 X 2 ;
2 X1	= δ21 X 1 ;	2 X 2	= δ22 X 2 ,

302

где δ11 , δ12 – перемещения в основной системе по направлению X 1 ; δ21 , δ22 – перемещения в основной системе по направлению X 2 , вызванные единич-

ными значениями неизвестных			X	1 =1 и					=1 (рис. 9.9, а, б).
							X
Итак, система (9.3) запишется						2
δ	11	X		+δ	X	+			= 0;
		1			12	2			1F	(9.4)
		X		+δ	X	+			= 0.
δ	21
		1			22	2			2 F

Рис. 9.9

Система линейных алгебраических уравнений (9.4) носит название системы канонических уравнений метода сил (уравнения записываются по одному правилу, или канону). Число уравнений совпадает со степенью статической неопределимости системы.

Для системы 1 раз статически неопределимой каноническое уравнение имеет вид

δ11 X 1 + 1F = 0 .

(9.5)

Для системы n раз статически неопределимой канонические уравнения имеют следующий вид:

δ11 X 1 + δ12 X 2 +L+ δ1n X n + 1F

δ21	X 1	+ δ22 X 2 +L+ δ2n X n +	2 F
δn1	X 1	+ δn 2 X 2 +L+ δnn X n +	nF

= 0;
= 0;	(9.6)
= 0.

В тех случаях, когда кроме внешних нагрузок нужно учесть влияние температуры, порядок расчета остается прежним. Свободные члены канонических уравнений при этом представляют собой перемещения в основной системе не только от заданных нагрузок, но и от изменения температуры:

303

δ11 X 1 + δ12 X 2 +L+ δin X n + i F + i t = 0,

(9.7)

где it − перемещение в основной системе, вызванное изменением температуры и направленное в сторону действия силы Xi .

Единичные перемещения, имеющие одинаковые индексы ( δii ), называют главными коэффициентами, а единичные перемещения, имеющие разные индексы (δik ), побочными. Свободный член уравнения i F представляет собой

перемещение под влиянием внешних нагрузок (грузовое перемещение). Пер-

вый индекс означает направление перемещения, второй − дает указание на

причину, вызвавшую его.

Перемещения δik и i F определяют по методу Мора или способу Верещаги-

на. При этом для балок и рам строят эпюры изгибающих моментов от единичных неизвестных и нагрузок в основной статически определимой системе. Для шарнирно-стержневых систем, в которых стержни воспринимают осевую нагрузку, строят эпюры продольных сил.

На основании теоремы о взаимности перемещений имеем

δik = δki .

(9.8)

Решая канонические уравнения (9.6), находят значения неизвестных усилий X 1 , X 2 , ..., X n . По ним и величинам внешних нагрузок строят эпюры внут-

ренних силовых факторов в элементах системы. Процесс вычисления Xi на-

зывают раскрытием статической неопределимости.

Порядок расчета статически неопределимых систем по методу сил

1.Устанавливают степень статической неопределимости, т.е. число «лишних» связей.

2.Выбирают основную систему. Удалив «лишние» связи, заменяют исходную систему статически определимой (без внешних нагрузок).

3.Составляют эквивалентную систему. Нагружают основную систему заданной нагрузкой и «лишними» неизвестными, заменяющими действие удаленных связей.

4.Составляют систему канонических уравнений. Число уравнений равно степени статической неопределимости. Каждое уравнение выражает условие, в соответствии с которым полные перемещения точек основной системы, возникающие в направлениях неизвестных усилий X 1 , X 2 , ..., X n под воздейст-

вием их и заданной нагрузки, равны нулю.

304

5. Строят единичные и грузовые эпюры изгибающих моментов. Для этого основную систему поочередно нагружают единичными неизвестными

( X 1 =1, X 2 =1,…, X n =1) и от каждого из них строят единичные эпюры моментов ( M 1 , M 2 ,…, M n ). Затем основную систему нагружают заданной нагрузкой и строят грузовую эпюру M F .

6. Вычисляют коэффициенты канонических уравнений. Перемножением единичных эпюр находят все коэффициенты δik , имея в виду (9.8). Перемноже-

нием единичных эпюр и грузовой эпюры вычисляют значения грузовых членов i F уравнений.

7.Решают систему канонических уравнений и устанавливают значения неизвестных X 1 , X 2 , ..., X n .

8.Строят окончательную (суммарную) эпюру изгибающих моментов М и других внутренних силовых факторов. Построение эпюр можно вести двумя способами:

- обычным способом для основной статически определимой системы, нагруженной внешней нагрузкой и найденными усилиями X 1 , X 2 , ..., X n ;

- методом сложения эпюры M F с эпюрами M 1 , M 2 ,…, M n , предварительно умноженными на значения X 1 , X 2 , ..., X n :

M= M 1 X 1 + M2 X 2 +L+ M F .

9.Проверяют статическим или деформационным способами правильность построения эпюр. Статическая проверка заключается в исследовании равновесия системы в целом, ее узлов и отдельных частей. Сущность деформаци-

онной проверки основана на том, что суммарное перемещение в направлении любой жесткой связи должно быть равно нулю.

Пример 9.1. Для рамы (рис. 9.10, а) раскрыть статическую неопределимость и построить эпюры внутренних усилий, если высота рамы – 2а, а длина ригеля

– а.

Рис. 9.10

305

Решение

1. Определяем степень статической неопределимости по формуле (9.1):

S = 5 + 3 0 − 0 − 3 = 2 .

Рама два раза статически неопределима.

2.Выбираем основную систему путем удаления опоры В (рис. 9.10, б).

3.Загрузив основную систему нагрузкой « q » и «лишними» неизвестными X 1

и X 2 , переходим к эквивалентной системе (рис. 9.10, в).

4.Составляем систему канонических уравнений метода сил (9.4).

5.Строим единичные и грузовые эпюры изгибающих моментов. Для этого

основную систему поочередно нагружаем единичными силами								1	=1 и
							X
		2 =1, затем – заданной нагрузкой. Далее строим эпюры		1 ,		2			и M F
	X		M		M
(рис. 9.11, а-в).

Рис. 9.11

6. Вычисляем коэффициенты канонических уравнений перемножением эпюр по правилу Верещагина.

Для вычисления δ11 умножаем эпюру M 1 на M 1 (саму на себя):

δ11 =

1

1

2a 2a

2

2a

=

8a3

.

EJ

2

3

3EJ

Для вычисления δ22

умножаем эпюру

на

2 :

M

2

M

1

1

2

7a3

δ

=

a

a

a + a 2a a =

.

22

3

3EJ

EJ 2

Для вычисления δ21

и δ21

умножаем эпюру

1

на

2 :

M

M

306

			1	1			2a3
δ12	= δ21	=			2a 2a a	=	EJ	.
			EJ 2

Свободные члены уравнений найдем поочередным перемножением эпюры M F на M 1 и M 2 соответственно:

						1		1						qa	2		qa4
			= −					2		2a 2a				2		= −	EJ		;
		1F				EJ
		1		1			qa		2		3			qa2						9qa4
2 F	= −				a							a	+			2a a		= −			.
				3				2			4			2						8EJ
		EJ

7. Подставляем найденные коэффициенты в канонические уравнения (9.4) и

решаем их относительно неизвестных X 1

и X 2 :

8a3

X

+

2a3

X

−

qa4

= 0 ;

EJ

EJ

(9.4, а)

3EJ

1

2

2a3

X

+

7a3

X

−

9qa4

= 0.

3EJ

8EJ

EJ

1

2

Упрощаем систему уравнений (9.4, а), сократив ее на a3 :

EJ

8X	1	+6X	= 3qa ;
			2		(9.4, б)
		+56X		= 27qa.
48X
		1	2

Решив систему уравнений (9.4, б), находим значения X 1 и X 2 :

X 1 = 0,0375qa ; X 2 = 0,45qa .

8. Для основной системы, нагруженной внешней нагрузкой и найденными усилиями X 1 и X 2 (рис. 3.15 а), вычисляем опорные реакции:

H A =0,0375 qa, VA =0,55 qa, mA =0,025 qa2 .

Далее строим эпюры N, Q и М (рис. 9.12, б-г) обычным способом.

307

Рис. 9.12

Окончательную (суммарную) эпюру моментов М (рис. 9.12, г) можно построить, умножив ординаты единичных эпюр M 1 , M 2 на найденные значения X 1

и X 2 и сложив полученные результаты в характерных точках с грузовой эпюрой M F , т.е. исходя из равенства

M =

1 X 1 +

2 X 2

+ M F .

(9.9)

M

M

Например, момент в сечении С – середина ригеля (рис. 3.15 а):

M

= 0 X + a

X −

qa2

= 0 + a 0,45 qa −

qa2

= 0,1 qa2 .

C

1

2

2

8

2

8

Аналогично вычислим изгибающий момент для других точек рамы. 9. Проведем проверку решения СНС

Статическая проверка

Проверим условия равновесия всей рамы в целом, ее узлов и отдельных, произвольно выделенных частей. Все условия равновесия должны тождественно соблюдаться.

Составим уравнение равновесия рамы (рис. 9.13, а):

∑m D = −0,025 qa2 + 0,0375 qa a − 0,5 qa2 + 0,375 qa a + 0,45 qa a = 0 .

Вырежем узел Е (рис. 9.13, б). Действие отброшенных частей рамы заменим внутренними силовыми факторами, величины которых возьмем непосредственно из окончательных эпюр (рис. 9.13, в-д).

308

Рис. 9.13

Условия равновесия узла Е:

∑X = 0,0375 qa − 0,0375 qa = 0;

∑Y = 0,45 qa − 0,45 qa = 0;

∑M = 0,05 qa2 − 0,05 qa2 = 0.

Таким образом, все условия равновесия удовлетворяются. Но статическая проверка не гарантирует правильности решения задачи, т.к. условия равновесия могут удовлетворяться и при неверно найденных значениях неизвестных.

Деформационная проверка

Эта проверка является обобщающей, т.е. по ней можно сделать заключение о правильности решения СНС.

При деформационной проверке вычисляют перемещения в определенных точках системы, значения перемещений которых известны, например, равны нулю.

Т.к. в заданной СНС перемещение по направлению любой «лишней» связи рав-

но нулю, то произведение окончательной эпюры изгибающих моментов М на эпюру моментов любого i-го состояния основной системы должно равняться нулю.

В качестве основной системы i-го состояния лучше всего выбрать отличную от принятой при расчете.

309

Проведем деформационную проверку для рамы (рис. 9.14, а). Окончательная эпюра моментов М показана на рис. 9.14, б. Основная система i-го состояния показана на рис. 9.14, в.

Рис. 9.14

Вычислим угол поворота в точке А; он должен равняться нулю, т.к. в заданной раме (рис. 9. 14, а) в точке А жесткая заделка.

Определив опорные реакции, построим единичную эпюру моментов M от единичного момента M =1, действующего по направлению искомого перемещения (рис. 9.14, г). Перемножив эту эпюру с окончательной эпюрой М (рис. 9.14, б) получим следующий результат:

θA =

1

a (0,05 qa2 − 4 0,5 0,1 qa2 )+

2a (− 0,025 qa2 +

EJ 6

6

2

2

)]=

1

1,5

qa3

0,075 qa3

+ 4 0,0125 qa

+

0,05 qa

−

+,

=

EJ

6

3

=

qa3

1,5

+

1,5

= 0.

EJ

−

6

6

Деформационная проверка удовлетворяется. Следовательно, задача решена верно.

Использование прямой и обратной симметрии в рамах для раскрытия статической неопределимости

Рассмотрим симметричную в геометрическом отношении раму (рис. 9.15). Ее правая часть может рассматриваться как зеркальное отображение левой относительно оси симметрии. При расчете таких рам можно упростить решение задачи и уменьшить число неизвестных X 1 , X 2 , ..., X n .

310

Симметричной называется нагрузка, при которой все внешние силы, приложенные к правой части рамы, являются зеркальным отображением сил, приложенных к левой части (рис. 9.15, а).

Кососимметричной называется нагрузка, при которой силы, приложенные к правой части, также являются зеркальным отображением сил, приложенных к левой половине, но противоположны им по знаку (рис. 9.15, б). Аналогично классифицируются и внутренние силовые факторы, см. рис. 9.15, в: X 1 и X 2

– симметричные; X 3 – кососимметричные.

Рамы (рис. 9.15, а, б) три раза статически неопределимы. Основную систему выбираем путем рассечения рамы по оси симметрии (рис. 9.15, в).

Рис. 9.15

Канонические уравнения метода сил:

δ

11

X

1

+δ

12

X

2

+δ

13

X

3

+

1F

21 X 1

+δ22 X 2

+δ23 X 3 + 2F

δ

X

+δ

X

+δ

X

+

δ

31

1

32

2

33

3

3F

=0;
=0;	(9.10)
=0.

Физический смысл первого уравнения состоит в том, что горизонтальное смещение концов разрезанного ригеля рамы в результате всех воздействий равно нулю; второго уравнения – в том, что взаимный угол поворота концов ригеля отсутствует; третьего – в том, что вертикальное смещение концов ригеля равно нулю.

Рассмотрим раму с симметричной нагрузкой (рис. 9.15, а).

Для определения коэффициентов канонических уравнений построим эпюры изгибающих моментов (рис. 9.16).