u-lectures сопромат

281

Выражение (8.12) носит название теоремы о взаимности работ (теоремы Бетти): возможная работа сил состояния 1 при перемещениях состояния 2 равна работе сил состояния 2 на перемещениях состояния 1.

Пусть в обоих состояниях балки (рис. 8.8) приложено по одной единичной

силе		=1 и					Обозначим перемещения, вызванные единичными на-
	F1		F2 =1 .
грузками, δ12 и δ 21 . На основании теоремы Бетти получим
							δ12 =			(8.13)
					F1			F2 δ 21 или δ12 =δ 21 .

В общем случае действия любых единичных сил

δin = δni .

Равенство (8.13) носит название теоремы о взаимности перемещений (тео-

ремы Максвелла): перемещение по направлению первой единичной силы, вызванное второй единичной силой, равно перемещению по направлению второй силы, вызванному действием первой силы.

Потенциальная энергия деформации в общем случае нагружения

Рассмотрим общий случай нагружения бруса, когда в поперечных сечениях могут возникать одновременно нормальные и поперечные силы, изгибающие и крутящие моменты. Кроме того, полагаем, что брус может быть не только прямым, но может иметь малую кривизну. Решение поставленной задачи необходимо не только для выяснения величины самих перемещений и оценки жесткости конструкции. На основе определения перемещений создаются общие методы определения внутренних силовых факторов в статически неопределимых системах.

Наиболее просто находятся перемещения при помощи энергетических соотношений на основе общего выражения потенциальной энергии деформации нагруженного бруса.

Определение потенциальной энергии предшествует анализ внутренних силовых факторов, возникающих в брусе. Этот анализ производится при помощи метода сечений и завершается построением эпюр M x , M у, M к и N , Qx , Qy .

В общем случае нагружения, потенциальная энергия элемента может рассматриваться как сумма независимых работ каждого из шести силовых факторов, т.е. как сумма энергий кручения, изгиба, растяжения и сдвига.

dU = dU M к + dU M x + dU M y + dU N + dUQx + dUQy

(8.14)

или

282

M 2dz

M 2dz

M y2dz

N 2dz

Q2dz

Qy2dz

dU =

к

+

x

+

+

+ kx

x

+ k y

(8.15)

2GJ ρ

2EJ x

2EJ y

2EF

2GF

2GF

Чтобы получить потенциальную энергию всего бруса, это выражение следует проинтегрировать по длине бруса.

Теорема Кастильяно

В основу определения перемещений бруса может быть положена теорема Кастильяно. Частная производная от потенциальной энергии деформации системы по силе равна перемещению точки приложения силы по направлению этой силы:

∂U	= δn .	(8.16)
∂Pn

Поясним эту формулировку. Перемещение точки приложения силы по направлению силы надо понимать как проекцию на направление силы полного перемещения этой точки (см.выше). Рассмотрим упругое тело, нагруженное произвольными силами. Пусть потенциальная энергия деформации равно U . Одной из сил Pn дадим приращение dPn . Тогда потенциальная энергия U

получит соответствующее приращение	∂U	dP и примет вид U +	∂U	dP .
		n		n
	∂Pn		∂Pn

Теперь приложим к упругому телу силу dPn . В точке приложения этой силы возникнет малое перемещение dδn . Работа этой силы 12 dPn dδn . Приложим

всю систему внешних сил. Потенциальная энергия изменится на величину дополнительной работы dPn δn . В итоге получим

U + dPn δn + 12 dPn dδn .

Рассматривая два этих случая:

δn = ∂U .

∂Pn

В этом выражении силу Pn можно рассматривать как некоторый силовой фактор или обобщенную силу. Тогда величина δn должна рассматриваться

283

как обобщенное перемещение, т.е. такой геометрический параметр, на котором обобщенная сила Pn совершает работу.

Рассмотрим применение теоремы Кастильяно на конкретных примерах. Пример 8.1 Определить при помощи теоремы Кастилиано угол поворота правого торца стержня (рис. 8.9), нагруженного моментом M .

l	M

Рис. 8.9

Внутренняя потенциальная энергия стержня при кручении, согласно выраже-

				l	M	2 dz
	нию (4.47), равна U	=		∫0		K	. Так как M K = M , а жесткость предполагается
					2GJ K
	неизменной, то U =		M 2l			. Дифференцируя по M , находим ϕ =		dU	=	M	,
			2GJ K					dM		GJ K

что совпадает с известным выражением для угла закручивания.

Пример 8.2. Определить прогиб консоли (рис. 8.10), нагруженной на конце силой P .

z

P

l

Рис. 8.10

l

M 2dz

Потенциальная энергия стержня при изгибе U = ∫

x

. На расстоянии z от

2EJ x

0

конца M x = −Pz . При постоянной жесткости EJ x

получаем U =

P2l3

. Пере-

6EJ x

мещение точки приложения силы Pδ =

∂U

Pl3

∂P

=

.

Это значение прогиба

3EJx

может быть получено методом интегрирования упругой линии стержня.

Тема 8.2 Общие методы определения перемещений

284

Формула Мора для вычисления перемещений

Дана произвольная плоская стержневая система, находящаяся под действием произвольных нагрузок (рис. 8.11, а). Пусть требуется определить перемещение в точке К по направлению (i–i). Обозначим это искомое, т.е. действительное, перемещение iF .

Рис. 8.11

Рассмотрим два состояния заданной системы.

В первом на нее действует заданная нагрузка (рис. 8.11, а). Назовем состояние системы под действием заданных нагрузок грузовым, или действительным. Внутренние усилия в сечениях грузового состояния обозначим M F ,

N F и QF

Введем единичное, или вспомогательное, состояние (рис. 8.11, б), представляющее собой заданную систему, нагруженную лишь одной единичной си-

лой		=1, в данной	точке К по направлению искомого перемещения iF .
	Fi
Внутренние усилия в			сечениях единичного состояния обозначим		,
				M		N	и Q		.

Применим принцип возможных перемещений для единичного состояния, принимая в качестве возможного действительное перемещение заданной сис-

темы iF

. На основании формулы (8.11)

получаем формулу для искомого

перемещения:

. iF

= ∑∫

M

iM F

dz + ∑∫

Ni N F

dz + ∑∫η

QiQF

dz .

(8.17)

G A

l

E J

l

E A

l

Формулу (8.17) называют формулой Максвелла – Мора, а вычисление перемещений по ней часто называют методом Мора. В этой формуле следующие обозначения:

Mi , Ni ,Qi – внутренние усилия от единичного момента или силы в произвольном сечении единичного состояния;

285

M F , N F , QF – внутренние усилия от заданных нагрузок в том же сечении

грузового состояния.

Отметим, что в общем случае нагружения системы формула (8.17) содержит 6 интегралов (по числу внутренних усилий в поперечных сечениях стержня). При расчете плоских систем, работающих в основном на изгиб (продольные и сдвиговые деформации малы), формула (8.17) принимает вид

				iM F
iF	= ∑∫	M			d z .	(8.18)
	l		E J

Для систем, стержни которых работают на растяжение или сжатие (например, для ферм), в формуле (8.17) сохраняется лишь член, содержащий продольные силы:

				i N F
iF	= ∑∫	N			d z .	(8.19)
	l		E A

Формула (8.19) носит название формулы Максвелла. Она была получена в 1864 г. английским физиком Дж. Максвеллом для ферм и независимо от него вновь получена и обобщена немецким ученым О. Мором в 1874 г.

Порядок вычисления перемещений по методу Мора

Вычисление перемещений по методу Мора для систем, работающих на изгиб, ведут в следующем порядке:

строят вспомогательную (единичную) систему, которую нагружают единич-

ной нагрузкой в точке, в которой требуется определить перемещение; при вычислении линейного перемещения в заданном направлении прикладывают

единичную силу, при вычислении углового – единичный момент;

для каждого участка системы записывают выражения внутренних моментов в произвольном сечении грузовой ( M F ) и единичной ( Mi ) систем;

найденные выражения моментов M F , Mi подставляют в правую часть формулы (8.18) и интегрированием по участкам в пределах всей системы опреде-

ляют искомое перемещение	iF ;
если iF положительно, то	перемещение совпадает с направлением единич-

ной силы, а если отрицательно, то оно противоположно этому направлению. Для систем, работающих на растяжение или сжатие, записывают выражение

продольных сил N F и Ni и подставляют его в формулу (8.19).

286

Пример 8.3. Определить прогиб концевого сечения В и угол поворота среднего сечения С консоли (рис. 8.12, а и рис. 8.13, а).

Решение. Определение прогиба. Строим единичную систему (рис. 8.12, б). К

балке, освобожденной от нагрузки, прикладываем в точке В по направлению искомого перемещения силу, равную единице. Составляем аналитические выражения изгибающих моментов от заданной и единичной нагрузки.

На участке АВ (0 ≤ z ≤ l )

от заданной нагрузки MF =−qz2 ; 2

от единичной нагрузки M1 =−1 z.

Рис. 8.12

Подставляем эти выражения в формулу (8.18) и находим прогиб сечения В:

l

l

M F M 1

1

2

1

3 dz =

ql 4

B

= ∫

d z =

∫( − qz

) ( −z )d z =

∫qz

.

E J

E J

l

E J

0

2

0

2

8E J

Положительное значение свидетельствует о том, что направление прогиба и единичной силы совпадают (прогиб – вниз).

Определение угла поворота. Строим единичную систему (рис. 8.13, б), прикладывая в точке С единичный момент. Разбиваем балку на два участка (8.13,

б ).

Составляем выражение изгибающих моментов от заданной нагрузки и единичного момента по участкам:

участок ВС ( 0 ≤ z ≤ l ):

		qz	2
	M = −			, M = 0;
		2
	F		2

участок СА ( 0 ≤ z ≤ l ):

		q(l	2 + z)2
	M F = −			, M 2 =1 .
			2

287

Рис. 8.13

Применив формулу (8.18) находим угол поворота сечения С:

M F

l

l

q (l

2 + z)

2

θC = ∑∫

M

2

1

2

qz2

2

d z =

∫

−

0 d z +

∫

−

E

J

E J

2

2

l

0

0

q

l 2

2

q

(

l

+ z)

3

l

2

= −

∫ (l

2

+ z)

d z

= −

2

=

2E

J

2E J

3

0

0

= −

q

(l 3

3 −l 3

24)= −

7ql

3

.

2E J

48E

J

		=
	1d z

Знак «минус» указывает на то, что поворот осуществляется в сторону, противоположную направлению момента, т.е. против хода часовой стрелки.

Способ Верещагина

Техника определения перемещений может быть значительно упрощена с помощью специального графоаналитического приема для вычисления интегралов, входящих в формулу Максвелла-Мора (8.17)

		iM F d z.
∫M			(8.20)
l

Метод был предложен в 1925 г. студентом Московского института инженеров железнодорожного транспорта А.К. Верещагиным и поэтому называется методом Верещагина (методом перемножения эпюр).

Вычислим интеграл (8.20) для случая, когда эпюра от действующих нагрузок (грузовая эпюра) имеет произвольное очертание (нелинейное), а эпюра от единичных факторов – линейное (рис. 8.14).

288

Рис. 8.14

Обозначим через ωF площадь грузовой эпюры M F ; через M C – ординату единичной эпюры под центром тяжести площади ωF .

Очевидно, что выражение	M F dz = dωF представляет собой малый эле-
мент площади эпюры M F ,	а ордината единичной эпюры в этом сечении

Mi = tg α z ,

где α – угол наклона эпюры к оси абсцисс. Тогда искомый интеграл можно представить так:

		iM F d z = ∫tgα z dωF	= tgα∫z dωF .
∫M				(8.21)
l		l	l

Интеграл в правой части равенства (8.21) представляет собой статический момент площади эпюры M F относительно оси О-О:

∫z dωF =ωF zC ,

l

где z C – абсцисса центра тяжести грузовой эпюры M F . В этом случае

∫MiM F d z =ωF zC tgα .

l

289

Так как z C tg α = M C , то окончательно искомый интеграл:

∫		iM F d z = wF		C .	(8.22)
	M		M
l

Таким образом, по способу Верещагина операция интегрирования заменяется перемножением площади эпюры произвольного очертания на расположенную под ее центром тяжести ординату линейной эпюры.

Тогда из формулы (8.18) получится математическое выражение способа Верещагина

		ωF		C
	= ∑		M		,	(8.23)
iF		E J
где iF – искомое перемещение (прогиб или угол поворота); ωF						– площадь

эпюры изгибающего момента от заданной нагрузки, M c − ордината эпюры из-

гибающего момента от единичной нагрузки под центром тяжести площади

ωF .

Применение способа Верещагина для вычисления перемещений

Вычисление перемещений по способу Верещагина производится в следующем порядке:

Строят эпюры изгибающих моментов: M F – для грузового состояния; Mi –

для единичного состояния.

Разбивают эпюры M F и Mi на участки так, чтобы единичная эпюра на каж-

дом участке была прямолинейна.

Вычисляют по участкам площади ωF грузовой эпюры M F .

Находят на единичной эпюре ординаты M C под центром тяжести соответствующей площади ωF .

Вычисляют на каждом участке произведение (ω F M C ) и, подставив его в формулу (8.23), находят искомое перемещение iF .

Если стержни работают на растяжение или сжатие, то строят эпюры продольных сил N F и N C . Расчетная формула в этом случае –

290

		ωF		C	.
	= ∑		N			(8.24)
iF
		E A

Рекомендации по применению способа Верещагина

ордината M C обязательно берется на прямолинейной эпюре;

если одна из эпюр криволинейна, а другая – ломаная, последнюю разбивают на участки, в пределах которых она линейна (рис. 8.13, а);

Рис. 8.15

если обе эпюры линейны, то безразлично, на которой из них брать площадь, а на которой – ординату, т.е. вместо (ωF M C ) можно взять (ω M FC ) , см.

рис. 8.15, б;

сложные эпюры изгибающих моментов могут быть разбиты на простейшие фигуры. Для некоторых из них в табл. 8.1 приведены значения площадей и координаты центров тяжести.

						Таблица 8.1
	Характер эпюры	Высота			Площадь		Коорди-
								ната
Вид нагружения	изгибающих
		эпюры			эпюры		центра тя-
	моментов
							жести
		h	=	m	ω = l		z	c	=	1
					h				2