u-lectures сопромат

361

является для заданного коэффициента асимметрии – предельным. Предель-

ным циклом называется такой, у которого максимальное напряжение равно пределу выносливости.

σт

σ т

σв

Рис. 12.12

Максимальное напряжение этого цикла, определяемое как сумма абсциссы и ординаты точки М, равно пределу выносливости:

σR = σmaxM = σmM + σaM .

Аналогично для заданного цикла (точка N):

σmaxN = σmN + σaN .

Считая, что заданный цикл и предельный подобны, находим значение коэффициента K R запаса усталостной прочности:

σM

K R = max . (12.16)

σmaxN

Для деталей из пластичных материалов является опасным не только усталостное разрушение, но и переход за предел текучести σт . Поэтому из диа-

граммы надо исключить ту область, где σmax > σт. Для этого надо провести под углом 45º прямую LD, отсекающую на осях координат отрезки, равные

362

пределу текучести σт . Тогда циклы, безопасные как в отношении усталост-

ного разрушения, так и в отношении возникновения текучести, изображаются точками области ОАDL, где

σmax < σR и σmax < σт .

σт

σ т

σв

Рис. 12.13

Опытное построение диаграммы предельных амплитуд представляет собой довольно трудоемкую задачу, в связи с чем часто идут по пути ее схематизации. Например, диаграмма Серенсена-Кинасошвили (рис. 12.13) строится по опытным данным для симметричного цикла σ−1 и для постоянных во време-

ни σт и σв. За диаграмму предельных амплитуд принимается ломаная АСL.

Серенсен С.В. и Кинасошвили Р.С. предложили вычислять коэффициент запаса прочности по следующей зависимости:

nσ = Kσaσ+−1ψσm ,

где ψ – коэффициент влияния асимметрии цикла на предельную амплитуду.

Запас выносливости при совместном кручении и изгибе

Рассмотрим напряженное состояние возникающее в стержне, например при совместном действии изгиба и кручения при растяжении (сжатии) и кручения. Пусть напряжения σ и τ изменяются по симметричному циклу синфазно и синхронно (т.е. с одинаковой фазой и частотой). Для получения условий предельного состояния, как при статическом нагружении используется критерий прочности (текучести). Например, по критерию максимальных каса-

363

тельных напряжений эквивалентная амплитуда нормальных напряжений вычисляется:

σэкв = σ2ар + 4τ2ар = σ−1Д, (12.17)

где σэкв – амплитуда эквивалентного симметричного цикла при разрушении; σар и τар – предельные значения амплитуд нормальных и касательных на-

пряжений (по усталостному разрушению).

Для лучшего приближения к опытным данным используют уточненный критерий максимальных касательных напряжений:

	σэкв = σа2р + γ2 τа2р	= σ−1Д , γ =	σ-1Д	(12.18)
			τ-1Д

В случае пропорционального нагружения σар = nσa , τар = nτa . Тогда коэф-

фициент запаса прочности при одновременном действии нормальных и касательных напряжений находят из выражения

n =		σ−1Д					.	(12.19)
			σ	-1Д		2
	σ2	+				τ2
			τ
	a					a
				-1Д

Вводя отдельно коэффициенты запаса прочности отдельно по нормальным nσ = σ−1Д σa и касательным nτ = τ−1Д τa напряжениям, получим

	1		=	1		+	1
	n2			nσ2			nτ2
или			nσnτ
n =								.	(12.20)

nσ2 + nτ2

Формулы (12.17)-(12.20) распространяются также на случай асимметричных циклов и несинхронного и несинфазного изменения напряжений.

Модели усталостного и малоциклового разрушения

Различают две основные разновидности усталостного разрушения:

364

1.Малоцикловая усталость возникает при максимальных напряжениях, превышающих предел текучести материала, и сопровождается знакопеременным пластическим деформированием объема материала большего по сравнению с размерами структурных составляющих (зерен, пор, включений). Число циклов до образования заметной трещины (0,5-1 мм) зависит в основном от величины пластической деформации детали в каждом цикле и от способности ма-

териала сопротивляться малоцикловому разрушению; для стальных конструкций он не превышает 104. Явление малоцикловой усталости знакомо всем, кто ломал проволоку, пластически деформируя ее в разные стороны. Характер разрушения при этом виде усталости зависит от способности материала к накоплению пластических деформаций при циклическом деформировании.

2.Многоцикловая усталость имеет месть при напряжениях значительно ниже предела текучести ( σmax < 0,6σт ). В этом случае в макрообъеме материал де-

формируется упруго (его свойства с вполне удовлетворительной точностью описываются законом Гука σ = Eε). Однако большинство реальных материалов имеют сложную многокомпонентную структуру (зерна, поры, межзеренные прослойки, неметаллические включения в стали и т.п.). При упругом деформировании достаточно большого объема в микрообъемах происходит локальное знакопеременное пластическое деформирование, которое называют микропластическим. Его многократное повторение приводит к ослаблению сечения и затем к внезапному долому деталей. Продолжительность стадии многоцикловой усталости к моменту зарождения магистральной усталостной макротрещины для стальных конструкций превышает 105-106 циклов.

Граница между малоцикловой и многоцикловой усталостью не является четко выраженной. В тех случаях, когда пластическая деформация в макрообъеме отлична от нуля в каждом цикле, но малая по сравнению с упругой, условия зарождения трещины зависят и от упругой и от пластической деформации. Это – переходная зона между малоцикловой и многоцикловой усталостью.

Если остаточная деформация не меняется во всех циклах, то материал назы-

вают циклически стабильным.

Увеличение остаточных деформаций и рост суммарной пластической деформации характерны для циклически разупрочняющихся материалов. Циклически упрочняющимся материалам свойственны уменьшение остаточной деформации от цикла к циклу и стремление суммарной пластической деформации к некоторому пределу.

Проблема малоцикловой усталости весьма актуальна для строительных конструкций, поскольку в них почти всегда имеются концентраторы напряжений, способствующие развитию местных пластических деформаций. Одним из способов повышения сопротивления элементов конструкций малоцикловому усталостному разрушению является изготовление их из циклически упрочняющихся материалов.

Контрольные вопросы к разделу 12

365

1.Какие процессы называются усталостью?

2.Поясните свойство материалов называемое выносливостью.

3.Поясните суть коэффициента асимметрии цикла.

4.Какие нагрузки называются циклическими?

5.Перечислите основные факторы оказывающие влияние на усталостную прочность образцов.

6.Дайте определение коэффициента запаса усталостной прочности.

7.Зависит ли диаграмма усталостной прочности от вида напряженного состояния изделия?

8.Что вы понимаете под термином «коэффициент концентрации напряжений»?

9.Что вы понимаете под термином «коэффициент качества обработки поверхности изделия»?

10.Что Вы понимаете под термином «коэффициент масштабного фактора»?

366

Раздел 13 Устойчивость

Тема 13.1 Устойчивость центрально сжатого стержня

Понятие об устойчивости

При проектировании конструкций наряду с анализом прочности и жесткости проводится анализ их устойчивости.

Устойчивость конструкции − способность конструкции сохранять начальную форму упругого равновесия под нагрузкой.

Существует три вида равновесия тел: устойчивое, безразличное и неустойчи-

вое.

Равновесие называют устойчивым, если после малого отклонения от исходного положения тело возвращается в это положение при устранении воздействия; безразличным – когда тело, будучи отклонено, остается в равновесии и в новом положении, являющееся устойчивым; неустойчивым – когда тело при малом отклонении не возвращается в исходное положение, а удаляется от него.

Простейшая иллюстрация этих понятий изображена на рис. 13.1. Равновесие шарика, лежащего на дне вогнутой сферы (рис. 13.1, а), является устойчивым, на плоскости (рис. 13.1, б) – безразличным, на вершине выпуклой сферы (рис. 13.1, в) – неустойчивым.

а

б

в

Рис. 13.1

Рассмотренный пример об устойчивости положения шарика относится к задачам механики абсолютно твердого тела, в которых вид равновесия не зависит от значения действующих на тело сил.

В механике деформируемого твердого тела вид равновесия зависит от величины приложенной к телу нагрузки. При этом решается задача об устойчивости формы упругого равновесия.

Рассмотрим равновесие прямого гибкого стержня, нагруженного центрально приложенной сжимающей силой F (рис. 13.2). В зависимости от величины силы стержень может иметь прямолинейную или искривленную формы равновесия.

367

а

б

в

Рис. 13.2

Пока величина силы F меньше некоторого критического значения Fcr , стер-

жень сохраняет исходную прямолинейную форму равновесия (рис. 13.2, а). Если верхний конец слегка отклонить, а затем отпустить, то после ряда колебаний стержень возвратится в первоначальное прямолинейное состояние. Та-

ким образом, при F < Fcr прямолинейная форма равновесия стержня являет-

ся устойчивой.

Когда сила достигнет критического значения F = Fcr , стержень придет в со-

стояние безразличного равновесия. Если теперь слегка отклонить стержень, а затем отпустить его, то он останется в изогнутом состоянии (штриховая ли-

ния на рис. 13.2, б). Таким образом, при F = Fcr прямолинейная форма равно-

весия становится неустойчивой. Происходит раздвоение (бифуркация) форм равновесия, т.е. наряду с прямолинейной возможна промежуточная искрив-

ленная форма равновесия. При F > Fcr условие равновесия нарушается, что

приводит к потере устойчивости стержнем.

Наименьшее значение осевой сжимающей силы, при которой прямолинейная форма равновесия перестает быть устойчивой и заменяется другой (изгибной) формой равновесия, называется критической силой.

На практике неустойчивые формы равновесия существовать не могут из-за неизбежного наличия факторов, которые способствуют начальному нарушению равновесной формы тела (начальная кривизна, внецентренность положения нагрузки). Поэтому описанный эксперимент носит воображаемый характер.

Продольный изгиб. Потеря устойчивости

Приложение к стержню продольной силы, даже незначительно превышающей Fcr , приводит к потере устойчивости первоначальной прямолинейной формы

368

равновесия, а стержень изгибается. Это явление называется продольным изги-

бом (рис. 13.2, в).

Появление продольного изгиба опасно тем, что происходит очень быстрое нарастание прогиба, и стержень теряет устойчивость. Это приводит, как правило, к разрушению конструкции либо к появлению недопустимых пластических деформаций, что делает стержень непригодным к работе.

Опасность потери устойчивости особенно велика для тонкостенных элементов конструкций типа стержней, пластин и оболочек. Потеря устойчивости сжатых элементов − наиболее часто встречающаяся причина обрушений инженерных сооружений. Особенно опасный характер придает разрушениям их

внезапность.

В курсе сопротивления материалов рассматривается только одна задача об устойчивости прямолинейных сжатых стержней. Более сложные случаи рассматриваются в специальном курсе «Устойчивость».

Для обеспечения безопасности конструкций и сооружений необходимо, что-

бы удовлетворялось условие устойчивости:

	F ≤	Fcr	,	(13.1)
		K

где F – рабочая нагрузка, Fcr – критическая нагрузка, К – коэффициент запа-

са по устойчивости, который зависит от назначения стержня и его материала. Так, для стальных стержней принимают K = 1,5 ÷3 ; для чугунных K = 5 ; для деревянных K = 3 .

Таким образом, при расчете на устойчивость критическая нагрузка подобна разрушающей нагрузке при расчете на прочность. Важно подчеркнуть, что потеря устойчивости может произойти при напряжениях, значительно меньших тех, которые допустимы с точки зрения прочности конструкции.

На рис. 13.3 показаны случаи потери устойчивости различными упругими системами.

а
б	в

Рис. 13.3

369

На раму (рис. 13.3, а) действуют силы, которые вызывают центральное сжатие в стойках. Как только силы F превысят Fcr , рама мгновенно изогнется,

узлы сместятся в сторону, произойдет потеря устойчивости. Кольцо (рис. 13.3, б), находящееся под действием равномерного внешнего давления, при потере устойчивости превращается в эллипс.

Балка (рис. 13.3, в), работающая на изгиб в вертикальной плоскости, при потере устойчивости плоской формы изгиба испытывает дополнительный изгиб в горизонтальной плоскости и кручение.

Формула Эйлера для критической силы центрально сжатого стержня

Постановка задачи. Определить критическую силу для центрально сжатого стержня, шарнирно опертого по кон-

цам (рис. 13.4), при которой возможно равновесие стержня с изогнутой осью. Л. Эйлер рассмотрел эту за-

дачу при малых деформациях и при условии, что в стержне отсутствуют начальные несовершенства, т.е. его ось – прямая линия, а материал однородный.

Предположим, что напряжения изгиба в результате действия Fcr не превышают предела пропорциональности

σПЦ , т.е. материал следует закону Гука. При малых прогибах справедливо приближенное уравнение упругой линии

1	≈	d 2v	=	M	.	(13.2)
ρ		d z2
				E J		Рис. 13.4

Абсолютное значение изгибающего момента в произвольном сечении стержня M = F ν, тогда дифференциальное уравнение изогнутой оси стержня имеет вид

d 2v	= −	Fv	.	(13.3)
d z2
		E J

Знак «минус» поставлен потому, что независимо от выбора положительно-

го направления оси Оу знаки кривизны ρ1 и прогиба ν будут противопо-

ложны. Введя обозначение

	F	= k 2 ,	(13.4)
	E J

представим уравнение (13.3) в виде

370

v''+k 2v = 0.

(13.5)

Интеграл дифференциального уравнения (13.5) имеет вид

v=C sin kz+D cos kz .

(13.6)

Произвольные постоянные C и D определяются из граничных условий:

при z = 0 ,	ν = 0 ;
при z = l,	ν = 0 .

Из первого условия следует, что D = 0 . Тогда уравнение оси изогнутого стержня (13.6) примет вид

v = C sin kz.	(13.7)
Используя второе граничное условие, получим
C sin kl = 0.	(13.8)

Из этого равенства следует, что либо C = 0 , либо sin kl = 0 . В случае, если C = 0 , прогибы во всех сечениях стержня равны нулю, что противоречит исходному предположению задачи. Во втором случае из равенства sin kl = 0 получим

	kl = nπ, или k =	n π	,	(13.9)
		l

где n = 1, 2 , 3, ...

Тогда из выражения (13.4) с учетом (13.9) получим формулу для сжимающей силы:

F = n2π2 E J .	(13.10)
l2

Как видно из формулы 13.10, в зависимости от величины числа n сжимающая сила F, при которой возникает криволинейная форма равновесия стержня, может принимать целый ряд значений. Для инженерных расчетов практический интерес представляет наименьшее значение силы. Полагая, что, n =1 и

имея в виду, что продольный изгиб произойдет в плоскости наименьшей же-

сткости, получим формулу

F	=	π2 E Jmin	.	(13.11)
cr		l2