u-lectures сопромат

371

Формула (13.11) впервые была получена в 1744 г. выдающимся математиком Леонардо Эйлером и называется формулой Эйлера.

Подставив (13.9) в (13.7), имеем

	v = C sin	nπ	z.	(13.12)
		l
а	б			в

Рис. 13.5

Таким образом, стержень изгибается по n полуволнам синусоиды (рис. 13.5), где С – амплитуда синусоиды (наибольший прогиб), которая оказывается неопределенной, что является следствием использования приближенного урав-

нения (13.2).

Критической силе ( n =1) соответствует синусоида с одной полуволной (рис. 13.5, а). Все формы равновесия (рис 13.5, б, в), кроме n =1, неустойчивы. Но они могут быть реализованы, если в точках перегиба упругой линии В и В’ поставлены дополнительные шарнирные опоры.

Влияние способов закрепления стержня на величину критической силы

Формула Эйлера (13.11) получена для стержня, шарнирно опертого по концам. Для других случаев закрепления концов необходимо проводить расчеты аналогично тому, как это было сделано выше. Результаты показывают, что во всех случаях (рис. 13.6) критическую силу можно определять по обобщенной формуле

F	=	π2 E J	,	(13.13)
cr		(μl)2

372

где μ – коэффициент приведения, зависящий от способа закрепления концов стержня; l – фактическая длина; l0 = μ l0 – приведенная длина стержня. Длина ( l0 = μ l) представляет собой длину полуволны между точками пере-

гиба В и В’ изогнутой оси стержня, в которых изгибающие моменты равны нулю.

Во всех случаях значение коэффициента приведения μ определяется путем простого сопоставления изогнутого стержня с длиной полуволны синусоиды при шарнирном закреплении (рис. 13.6, а).

• Консольный стержень длиной l (рис. 13.6, б) можно рассматривать как половину воображаемого шарнирно опертого по концам стержня длиной l0 = 2 l, т.е. μ = 2.

а

б

в

г

д

Рис. 13.6

•Для стержня (рис. 13.6, в) длина полуволны составляет l0 = 0,7 l, т.е.

μ= 0,7 .

•Для стержня с двумя защемлениями (рис. 13.6, г) длина полуволны между точками перегиба составляет половину длины стержня, т.е. l0 = 0,5 l,

иμ = 0,5. Заметим, что верхний конец стержня защемлен по отношению к из-

гибным деформациям, но свободно смещается в вертикальном направлении (скользит по направляющим).

Итак, коэффициент μ может быть найден исходя из геометрических аналогий.

Если концы стержня закреплены так, что приведенная длина l0 оказывается одинаковой для обеих главных плоскостей, то при вычислении Fcr следует брать наименьший момент инерции поперечного сечения (см. формулу 13.11).

373

Если же закрепление концов стержня в плоскостях xOz и yOz таково, что коэффициенты приведенной длины различны и равны μ1 и μ2 , то критическая

сила определяется как меньшая из двух возможных в главных плоскостях:

F	=	π2 E J y		и F	=	π2 E J	x .	(13.14)
		(μ1l)
1			2	2		(μ2l)2

Критическое напряжение. Гибкость стержня. Пределы применимости формулы Эйлера

Нормальное напряжение σcr в поперечном сечении сжатого стержня, вызы-

ваемое критической силой называется критическим напряжением. С учетом выражения (13.13)

				F	π2 EJ	=		π2 E	,	(13.15)
	σ		=	cr =
		cr			(μl)2 A			μl 2
				A
								i

где i = J A − радиус инерции поперечного сечения. Введем обозначение

	λ =	μ l	(13.16)
		i

где λ – гибкость стержня, безразмерная геометрическая характеристика, определяемая размерами стержня и способом его закрепления. Окончательно формула для критического напряжения выглядит так

σ	cr	=	π2 E .	(13.17)
			λ2

При выводе формулы Эйлера была использована зависимость (13.2), полученная на основе закона Гука. Отсюда следует, что формула Эйлера справед-

лива лишь в пределах применимости закона Гука, т.е. при условии, что крити-

ческое напряжение не превышает предела пропорциональности материала стержня:

σ	cr	=	π2 E	≤ σ	пц	.	(13.18)
			λ2

Отсюда значение гибкости, которое соответствует этому условию, составляет:

λ ≥ π E σпц .

(13.19)

374

Величину, стоящую в правой части этого неравенства, обозначим и назовем

предельной гибкостью:

λпред = π E σпц .

(13.20)

Предельная гибкость зависит только от механических свойств материала и имеет постоянное значение. Для стали марки ВСт3 при E = 2,06 105 МПа и σпц = 200 ÷ 210 МПа по формуле (13.20) находим по λпред ≈100 ; для древесины сосны и ели (при E =10 ГПа и σпц = 20 МПа) λпред =70.

Тогда условие применимости формулы Эйлера имеет вид

λ ≥ λпред ,

(13.21)

т.е. формула Эйлера применима только к упругим стержням, когда гибкость стержня больше или равна предельной гибкости для материала, из которого он изготовлен.

Стержни, для которых выполняется условие (13.21) называются стержнями большой гибкости.

Понятие о потери устойчивости при напряжениях, превышающих предел пропорциональности. Формула Ясинского

Формула Эйлера применима при λ ≥ λпред , т.е. только в случае упругих стержней. Для стержней с гибкостью меньше предельной λпред , она дает за-

вышенные значения критической силы. Поэтому использование формулы Эйлера для стержней, теряющих устойчивость за пределом упругости, является недопустимым.

Теоретическое решение задачи об устойчивости за пределом пропорциональности сложно, поэтому обычно пользуются эмпирическими формулами, полученными в результате обработки большого количества опытных данных.

Наиболее простой является линейная зависимость, предложенная в начале ХХ века немецким ученым Л. Тетмаером и независимо от него профессором Петербургского института инженеров путей сообщения Ф. С. Ясинским:

σcr = a −b λ

(13.22)

где a и b – эмпирические коэффициенты, зависящие от материала стержня и имеющие размерность напряжения. Например, для стали марки Ст3 их значения таковы: a = 310 МПа, b =1,14 МПа.

Для чугуна пользуются параболической зависимостью σcr = a −bλ + cλ2 .

375

Соответствующая критическая сила по формуле Ясинского находится так:

Fcr = A(a −b λ) .

(13.23)

Условие применимости формулы Ясинского

Формулой Ясинского (13.22) можно пользоваться при условии, что значение σcr , вычисленное по этой формуле, не превышает предела σт текучести для

пластичного материала и предел σВС прочности при сжатии для хрупкого материала. Обозначим в формуле (13.22) через λ0 значение гибкости, при котором σcr = σт для пластичного материала и σcr = σВС для хрупкого материала. Тогда условие применимости формулы Ясинского можно записать в виде

λ0 ≤ λ < λпред.

(13.24)

Стержни, для которых выполняется условие (13.24), называются стержнями средней гибкости. Для стали марки ВСт3 с параметрами σпц = 200 МПа,

σт = 240 МПа по формуле (13.22) получим λ0 ≈ 60 .

Стержни, у которых λ < λ0 , называются стержнями малой гибкости. Они мо-

гут разрушиться не в результате потери устойчивости, а при центральном сжатии. Для них критическое напряжение считается постоянным: σcr = σт ,

или σcr = σВС .

Диаграмма критических напряжений

Взависимости от гибкости сжатые стержни делятся на три категории:

1.Стержни большой гибкости (λ ≥ λпред ), для которых расчет ве-

дется по формуле Эйлера (см. формулы 13.13 и 13.17). В системе координат

σcr −λ зависимость σcr	=	π22E	может быть представлена гиперболической кри-
вой.		λ

2.Стержни средней гибкости ( λ0 ≤ λ ≤ λпред ) рассчитываются на ус-

тойчивость по эмпирической формуле Ясинского (13.22). Для них зависи-

мость линейна:

σcr = a −b λ.

3. Стержни малой гибкости ( λ < λ0 ) рассчитываются не на устойчивость, а на прочность. Для них значение σ cr постоянно ( σт или σВС ).

На рис. 13.7 показана диаграмма зависимости критических напряжений от гибкости сжатого стержня для стали Ст3, которая состоит из трех частей:

-гиперболы Эйлера АВ при λ ≥100 ;

-	наклонной прямой Ясинского ВС при 60 ≤ λ <100 ;

376

-горизонтальной прямой CD при λ0 < 60 .

σт

σпц

σт

Рис. 13.7

График показывает, что по мере возрастания гибкости критическое напряжение стремится к нулю. При гибкости λ >100 стержень теряет устойчивость в упругой стадии. Для значений λ <100 пунктирной линией показано продолжение гиперболы Эйлера в области ее неприменимости (за пределом упругости). Из графика видно, что для стержней средней и малой гибкости формула Эйлера дает сильно завышенные значения критических напряжений.

При гибкости 60 < λ <100 стержень теряет устойчивость в упруго-

пластической стадии (наклонная прямая ВС). Горизонтальная прямая CD соответствует напряжению, равному пределу текучести.

Применение формул Эйлера и Ясинского позволяет решать задачи устойчивости сжатых стержней на всем интервале значений гибкостей, которые встречаются на практике.

Тема 13.2 Расчёты на устойчивость

Расчёт стержней на продольный изгиб

Расчеты стержней на устойчивость рассмотрим на примерах.

Пример 13.1. Стальной стержень круглого трубчатого сечения D =10 см и d = 7 см при длине l = 3,2 м имеет шарнирно закрепленные концы (рис. 13.8). Определить величину допускаемого сжимающего усилия F, если требуемый коэффициент запаса устойчивости K = 3 . Материал стержня – сталь марки ВСт3 с пределом пропорциональности σпц = 210 МПа и модулем упру-

гости E = 2 105 МПа.

377

Решение.

Величину допускаемой силы F найдем исходя из условия устойчивости (13.1) F ≤ FKcr , предварительно вычислив

критическую силу Fcr , формулу для которой выберем в зависимости от гибкости стержня.

Порядок расчета

1. Определяем геометрические характеристики поперечного сечения стержня:

- площадь сечения:

А = πD2 (1 − α2 )= π 102		(1 − 0,7				2 )= 40 см2 , где α =			d	.
4	4								D
- осевой момент инерции сечения относительно любой оси
J =	πD4 (1 − α4 )=	π 104		(1 − 0,74 )= 373 см4 .
	64	64								Рис. 13.8
- радиус инерции сечения
		i =		J		=	373	= 3,05 см.
				A			40

2. Устанавливаем гибкость стержня и выбираем формулу для критической силы.

λ = μi l = 13,32005 =105 .

Предельная гибкость для материала стержня

λпред = π	E	= 3,14	2,1 105	=100.
			210
	σпц

Т. к. λ =105 > λпред =100, то следует взять формулу Эйлера.

3.Находим величину критической силы

	F	=	π2 E J	=	3,142 2,1	1011 373 10−8	= 754 кН.
			(μ l)2		(1	3,2)2
	cr

378

4.Вычисляем значение допускаемой силы:

F ≤ FКcr = 7543 = 251 кН.

Ответ: Допускаемое значение сжимающей силы F ≤ 251 кН.

Пример 13.2. Двутавровый стержень № 14, имеющий длину l =1,8 м, нагружен продольной сжимающей силой F = 200 кН. Один конец стержня оперт шарнирно, другой защемлен (рис. 13.9). Определить величину коэффициента

запаса устойчивости К. Материал		стержня − сталь; предельная гибкость
λпред =100 , коэффициенты a = 310 МПа, b =1,14 МПа.
					Решение
	Величину коэффициента					запаса устойчивости			най-
	дем, используя			условие		устойчивости F ≤		Fcr	по
								K
			Fcr
	формуле K =				, предварительно вычислив значе-
			F
	ние критической силы Fcr , формулу для которой вы-
	берем в зависимости от гибкости стержня.
					Порядок расчета
	1. Определим геометрические характеристики
	поперечного сечения.
	Из сортамента прокатной стали для двутавра № 14
	имеем: A =17,4 см2; ix = 5,73 см; iy =1,55 см.
Рис. 13.9	Очевидно, что потеря устойчивости произойдет в
	плоскости наименьшей жесткости,						поэтому при вы-
	числении гибкости следует взять imin						= iy .
Гибкость стержня:
	λ = μ l =	0,7 180 = 81,3.
	imin		1,55

2. Найдём критическую силу. Гибкость стержня λ =81,3 < λпред =100 , поэтому воспользуемся эмпирической формулой Ясинского:

Fcr = A(a − bλ)17,4 10−4 (310 −1,14 81,3) 106 = 378 кН.

3.Найдем величину коэффициента запаса устойчивости:

379

K = FFcr = 378200 =1,89.

Ответ: Коэффициент запаса устойчивости стержня K =1,89 , что находится в пределах рекомендуемых значений.

Принципы рационального проектирования сжатых стержней

В основе рационального проектирования сжатых стержней лежат два прин-

ципа: равноустойчивость и экономичность.

Для обеспечения равноустойчивости сжатого стержня необходимо, чтобы гибкости в главных плоскостях были равны, т.е.

λx = λy .

(13.25)

Для этого при проектировании сечений стержней нужно стремиться к равенству главных моментов инерции:

Jmax ≈ Jmin (или imax ≈ imin ).

Нерационально применять такие формы сечений, у которых максимальный и минимальный моменты инерции значительно отличаются друг от друга (например, прямоугольное, двутавровое). Однако, для стержней подобных сечений можно добиться равноустойчивости в главных плоскостях λx ≈ λy , если

их по-разному закрепить в этих плоскостях (рис. 13.10).

Исходя из условия (13.25) можно найти рациональное соотношение между радиусами инерции и размерами сечения

	i	x	=	μy	,	(13.26)
	iy			μx

где μx и μ y – коэффициенты приведения длины в плоскостях xOz и yOz. Например, для стойки (рис. 13.10)

	i	x	=	μy	=	2	= 2,86 .
	iy			μx		0,7

380

Рис. 13.10

Для прямоугольного сечения радиусы инерции

ix =

Jx

=

h

;

iy =

Jx

=

b

;

A

12

12

A

ix =

J

x

=

h

;

iy =

J y

=

b

.

A

12

A

12

	Поэтому	ix	= h	= 2,86, тогда рациональное соотношение между размерами
		iy
			b

таково: h = 2,86b .

С позиции затрат материала (экономический фактор) сечение тем опти-

мальнее, чем больше его минимальный момент инерции Jmin (или imin ) при

одной и той же площади А. Этого можно добиться концентрацией материала по периферии сечения, т.е. проектируя сечение полым. Указанным требованиям (равноустойчивости и экономичности) удовлетворяет тонкостенное трубчатое сечение, а также коробчатые тонкостенные сечения. Однако при проектировании необходимо предусмотреть постановку диафрагм (ребер жесткости), которые препятствуют короблению стенок.

Полые сечения рационально компоновать из прокатных профилей (рис. 13.11)

иполосовой стали, соединяемых по всей длине сваркой. В этих случаях хотя

ине удается в точности выдержать условие (13.25), тем не менее при рациональном расположении сечения добиваются более оптимального экономичного решения.