u-lectures сопромат

381

а	б

Рис. 13.11

Расчеты на устойчивость по коэффициенту уменьшения допускаемых напряжений

При расчете сжатых стержней на прочность требовалось выполнение условия

σ =	F	≤ [σ]	(13.27)
	A

При потере устойчивости сжатого стержня напряжения в его поперечных сечениях становятся равными критическим. Поэтому необходимо ввести в

расчет коэффициент запаса устойчивости К по отношению к критическим напряжениям, тогда условие устойчивости таково:

σ =	F	≤	σcr	.	(13.28)
	A
			K

Коэффициент запаса устойчивости принимается несколько большим коэффициента запаса прочности. Это объясняется невозможностью точного учета случайных факторов, снижающих величину критической силы (эксцентриситеты, начальная кривизна стержня).

Возьмем отношение правых частей выражений (13.27) и (13.28) и обозначим через ϕ:

ϕ = Kσ[crσ].

Отсюда

σcr	= ϕ [σ].	(13.29)
K

382

Тогда с учетом (13.29) условие устойчивости при расчете по методу предельных состояний таково:

σ =	F	≤ ϕ R γc .	(13.30)
	A

где ϕ – коэффициент, уменьшающий расчетное сопротивление материала сжатию R и называемый коэффициентом продольного изгиба. Он всегда меньше единицы и зависит от материала и гибкости стержня. Значения ϕ приводятся в виде таблиц в нормах проектирования (СНиП). В табл. 13.1 приведены значения коэффициента ϕ для стали.

Условие (13.30) позволяет производить три вида расчета аналогичные расчетам на прочность:

1. П

роверка устойчивости выполняется непосредственно по формуле (13.30) при известных величинах сжимающей нагрузки, расчетного сопротивления материала R, площади сечения А, длины стержня l и способах его закрепления, благодаря чему определяется гибкость λ и, по табл. 13.1, коэффициент ϕ.

2. О

пределение несущей способности проводится по известным размерам сечения стержня, его длине, способам закрепления и расчетному сопротивлению материала:

F ≤ ϕ R γc A.	(13.31)
3.	П

одбор сечения осуществляется по заданной нагрузке, расчетному сопротивлению материала R, известной длине стержня, способам закрепления его концов и выбранной форме поперечного сечения:

A ≥	F	.	(13.32)
	ϕ R γc

В это неравенство входят две неизвестные А и ϕ, которые нельзя выразить одну через другую. Поэтому подбор выполняется методом последовательных приближений. При этом задаются величиной коэффициента φ.

Обычно в первом приближении принимают ϕ = 0,5 ÷0,6 и находят площадь

1

сечения А по формуле (13.32), затем радиус инерции i, гибкость стержня λ и

соответствующее ей действительное значение ϕ′ (по табл. 13.2). Если вели-

1

чины ϕ1 и ϕ1' существенно отличаются друг от друга, то существенно будут отличаться действительное напряжение в стойке σ = F A и допускаемое

383

R ϕ′ . Поэтому расчет нужно продолжить. Во втором приближении прини-

1

мают

	ϕ =	ϕ1 + ϕ1 '	.	(13.33)
		2
	2

Последующие приближения делают аналогично.

Сечение считают подобранным удовлетворительно, если σ и R ϕ′ отличаются не более, чем на 5%.

Если в состав сечения входит прокатный профиль, то сходимость обычно имеет место лишь на первых итерациях. Затем, в виду дискретности сортаментного набора, наступает этап скачкообразных изменений, поэтому на заключительных стадиях подбора сечения необходимо осуществить проверку устойчивости для некоторых ближайших прокатных профилей. В этом случае недонапряжение может оказаться и более 5%.

				Таблица 13.1
	Коэффициенты ϕ продольного изгиба центрально сжатых стержней
		по СНиП 11-23-81		Сталь с расчетным
Гибкость		Сталь с расчетным	Гибкость
		сопротивлением		сопротивлением
λ			λ
		R = 200 МПа		R = 200 МПа
10		0,988	120	0,479
20		0,967	130	0,425
30		0,939	140	0,376
40		0,906	150	0,328
50		0,869	160	0,290
60		0,827	170	0,259
70		0,782	180	0,233
80		0,734	190	0,210
90		0,665	200	0,191
100		0,599	210	0,174
110		0,537	220	0,160

Пример 13.3. Стальной стержень коробчатого сечения (рис. 13.12), имеющий длину l = 4,5 м, сжат продольной силой F = 200 кН. Определить размер b поперечного сечения стержня. Расчет вести с помощью коэффициента продольного изгиба ϕ. Расчетное сопротивление материала R = 210 МПа, коэффициент условий работы γc = 0,9.

384

Решение

Запишем условие устойчивости:

σ = FA ≤ ϕ R γc ,

откуда необходимая площадь поперечного сечения стержня равна

A ≥ ϕ RF γc .

В этой формуле две неизвестных величины – площадь сечения А и коэффициент продольного изгиба ϕ. Поэтому решать задачу будем методом последовательных приближений, задаваясь величиной коэффициента ϕ.

Порядок расчета

1. Выразим геометрические характеристики поперечного сечения и гибкость стержня через размер b.

A = b2 −(0,7b)2 = 0,51b2 ,	Рис. 13.12

тогда размер сечения b = A	.
	0,51

Момент инерции и радиус инерции относительно главных осей:

		J = b4			− (0,7b)4 = 0,063b4 ,
			12			12
	i	=		J X	=	0,063b4	= 0,35b .
				A		0,51b2
Гибкость стержня: λ =	μ l	=	0,5 450			= 643 .
	i		0,35 b			b

2. Необходимую площадь сечения А и размер b найдем путем последовательных приближений.

Первое приближение. Задаем ϕ1 = 0,5 , тогда

385

A ≥

F

=

200 103

= 21,2 см2

,

ϕ R γc

0,5 210 102

0,9

1

b =

A1

=

21,2 = 6,44 см.

1

0,51

0,51

При этом гибкость стержня такова:

λ1

=

643 =

643 =100.

b1

6,44

′

По табл. 13.1 для гибкости λ =100 найдем ϕ = 0,599 .

′

1

Коэффициенты ϕ и ϕ существенно отличаются друг от друга, следователь-

1

1

но, выбор неудачен. Действительно, расчетное напряжение в стержне:

σ =

F

=

200 103

= 94,3 МПа.

A

21,2 10−4

1

Допускаемое напряжение на устойчивость:

′

R γc = 0,599 210 0,9 =113,2 МПа.

ϕ1

Недогрузка составляет

113,2 −94,3	100% =16,7% > 5%, следовательно, нужно уменьшить площадь.
113,2
Второе приближение. Принимаем
		ϕ2		=	ϕ + ϕ′				=	0,5 + 0,599 = 0,55.
					1	1
						2
											2
Повторим расчет: A ≥					200 103						=19,24 см2 ;
	2	0,55			210 102					0,9
			b	=		A2		=		19,24 = 6,14 см.
		2				0,51				0,51
Гибкость стержня равна				λ2	=	643		=104,7.
						6,14

Используя линейную интерполяцию, по табл. 13.2 находим, что

386

′	−	0,599	−0,537	(104,7	−100)	= 0,569.
ϕ = 0,599		10
2

Проверим выполнение условия устойчивости:

	σ =	200 103	=104МПа < ϕ′2 R γc = 0,569 210 0,9 =107,5МПа.
		19,24 10−4

Условие устойчивости выполняется, недогрузка составляет 3,3%.

Ответ: окончательно принимаем площадь сечения A =19,24 см2 и размер b = 6,14 см.

Тема 13.3 Продольно-поперечный изгиб

Рассмотрим нагружение прямого стержня продольной силой и системой поперечных сил. Такой вид нагружения принято называть продольно-

поперечным изгибом.

При составлении дифференциального уравнения упругой линии изгибающий момент может рассматриваться как сумма момента поперечных сил M П и

момента продольной силы Py . При этом, поскольку прогибы считаются малыми, момент M П зависит в явном виде только от z и не зависит ни от y , ни от продольной силы P :

EJy′′ = −Py + M П .

(13.34)

Дифференциальное уравнение упругой линии имеет вид

	′′		2		M П
y		+ k		y = EJ ,			(13.35)

откуда

y = C1 sin kz +C2 coskz + y ,

где y – частное решение уравнения (13.35), зависящее от функции M П , т.е. от вида поперечной нагрузки.

387

Рис. 13.13

Например, для двухопорной равномерно загруженной балки (рис. 13.13) имеем

EJy′′ = ql2 z − qz22 − Py .

Тогда

y′′ + k

2

y =

q

(lz − z

2

) ,

y

=

q

2

+ lz − z

2

2EJ

2EJk 2

k 2

и, следовательно,

y = C1 sin kz + C2 cos kz + 2EJkq 2 k22 + lz − z2 .

Постоянные C1 и C2

подбираются с таким расчетом,

чтобы прогиб

z = 0 и z = l обращался в нуль.

В итоге

q

sin kz

k 2

2

y =

− (1 − cos kl)

+1

− cos kz +

(lz − z

) .

EJk

4

sin kl

2

Изгибающий момент

M = EJy′′ =

q

− cos kl)

sin kz

+ cos kz

(1

−1 .

k

2

sin kl

Наибольший изгибающий момент имеет место при z

=

l

:

q

1− cos(kl / 2) .

2

M max

=

k 2 cos(kl / 2)

y при

(13.36)

388

Контрольные вопросы к разделу 13

1.Дайте определение критического состояния системы.

2.Что такое потеря устойчивости системы?

3.Какие величины внешних сил называются критическими?

4.В чем заключается суть задачи Эйлера?

5.Какие закономерности обнаруживаются между различными формами потери устойчивости систем?

6.Зависит ли величина критических значений внешних сил от характера закрепления стержня?

7.От каких факторов зависит гибкость стержней?

8.Назовите пределы применимости формулы Эйлера.

9.В каких случаях используется формула Ясинского?

10.Поясните алгоритм расчета на устойчивость по коэффициенту уменьшения допускаемых напряжений.

11.Назовите основные принципы рационального проектирования сжатых стержней.

12.Какой вид нагружения называется продольно-поперечным изгибом?

389

Раздел 14 Осесимметричные задачи прочности

Тема 14.1 Расчет тонкостенных осесимметричных оболочек

Геометрия оболочек вращения

К категории оболочек относятся элементы конструкций, у которых один из размеров, их толщина, значительно меньше двух других. В виде оболочек изготавливают, например, емкости для хранения нефтепродуктов, ресиверы для сжатого воздуха и газов. Распространение оболочек в технике – широкое.

Обращаясь к расчетам оболочки, введем основные понятия:

1) Срединная поверхность – это геометрическое место точек, равноудаленных от внешней и внутренней поверхности. Для цилиндра радиус срединной поверхности R1 равен среднеарифметическому значению радиусов

внешней и внутренней поверхности: R1=(Rвнешн..+Rвнутр.)/2

2) Оболочки будем называть осесимметричными, если срединные поверхности являются поверхностями вращения. Примеры: параболическая (рис.14.1), сферическая, цилиндрическая и коническая оболочки.

dS1 dS2

Рис. 14.1. Парабалоид с указанием главных кривизн и дуг dS1 и dS2 на бесконечно малом участке

3) Радиусы главных кривизн – это два радиуса в двух ортогональных сечениях оболочки, когда один из них – максимальный, другой – минимальный. Для

цилиндра R1=R, R2=∞, а для среды R1= R2=R.

4) Два главных напряжения σ1 и σ2 будем называть окружным и меридиальным. Третьим главным напряжением, действующим по нормали к срединной поверхности, пренебрегаем, поскольку оно намного меньше двух других, по крайней мере, на порядок.

390

Универсальное уравнение для расчета напряжений

Точность инженерных расчетов напряжений достаточная, если положить, что толщина стенки оболочки много меньше радиусов кривизн, и стенка не работает на изгиб. Напряжения σ1 и σ2 не меняются по толщине оболочки. В задаче о напряжениях можно обойтись уравнениями равновесия.

Универсальным уравнением для оболочек различной конфигурации является уравнение в проекциях всех сил на нормальную ось Z, действующих на элементарном участке оболочки (рис. 14.2). Силы здесь подставлены как произведения внутреннего давления q, напряжений σ1, σ2 на соответствующую площадь поверхности. Итак,

ΣF=0, qdS1 dS2 – 2σ1hdS2sin

dα

– 2σ2dS1sin

dβ

=0.

(14.1)

2

2

Поскольку dS=R1dα, dS2=R1dα, sin

dα

≈

dα

,

sin

dβ

≈

dβ

, то уравнение

(14.1)

2

2

2

2

после преобразования приводится к виду

σ1

=

σ2

=

q

.

(14.2)

R

R

2

h

1

Это уравнение было предложено известным математиком и физиком Лапласом и носит его имя.

o1 hdS2	o2hdS1
	dS1	R1
		d
qdS1dS2	dS2
z	h	d
o2hdS1		o1hdS2	R 2

Рис. 14 2. Силы на элементарном участке оболочки

Перейдем к конкретным примерам расчета напряжений в оболочках.