u-lectures сопромат

391

Примеры расчета напряжений в оболочках

Сферическая оболочка

Радиусы главных кривизн в этом случае – одинаковые и равны радиусу кривизны сферы: R1=R2=R. Также очевидно, что равны между собой напряжения σ1 и σ2. Уравнение Лапласа приобретает вид

	σ1	+	σ1	=		q		(14.3)
	R		R			h
Отсюда					qR
	σ1	= σ2		=				(14.4)
						2h

Имея в виду, что третье главное напряжение σ3=0, запишем условие прочности по гипотезе наибольших касательных напряжений:

	σэкв.= σ1 – σ2 =	qR	≤ [σ]	(14.5)
		2h

По энергетической гипотезе тот же результат:

σ	экв.	=	1[(σ − σ		2	)2	+ (σ	2	− σ	3	)2	+ (σ	3	− σ )2	] =	qR	≤ [σ].	(14.6)
			2	1										1		2h

Цилиндрическая оболочка

Подстановка значений радиусов главных кривизн (R1=R, R2=∞) в уравнение Лапласа (14.2) приводит к выражению:

σ1	+	σ2 =			q	.	(14.7)
R		∞			h
Отсюда			qR
σ =				,			(14.8)
	1		h

поскольку σ2/∞ = 0.

Для поиска второго главного напряжения σ2 составим дополнительное уравнение равновесия для отсеченной части оболочки (рис. 14.3).

392

R1

h

	q	o2
o	1	o	1
		o2

o q

2

Рис. 14.3. Геометрия и напряжения в цилиндрической оболочке

Напрашивается уравнение в проекциях всех сил на продольную ось оболочки:

–qπR2 + σ2h · 2πR = 0,

(14.9)

где первая величина – сила, действующая на днище, а πR2 - площадь днища; вторая величина – сила, соответствующая напряжению σ2 , а h·2πR – площадь поперечного сечения.

Из уравнения (14.9) следует:

	σ2	=	qR	(14.10)
			2h

Условие прочности по гипотезе наибольших касательных напряжений имеет вид

	σэкв.= σ1 – σ3 =	qR	≤ [σ],	(14.11)
		h

где σ3 = 0.

По энергетической гипотезе получаем другой результат:

σ		=	1[(σ − σ			)2	+ (σ		− σ	)2 + (σ		− σ )2	] =	3qR	≤ [σ]	(14.12)
	экв.				2			2			3
			2	1					3			1		2h

R1

l

2

393

o2	z sin2	o2
	q	q

z

Рис. 14.4. Геометрия и напряжения в конической оболочке

Значения σ1 и σ2 зависимы от удаления сечения от вершины конуса. Вводя координату Z сечения, находим

	R1 =ztg	γ	, R2 =∞.	(14.13)
		2

Подготовка R1 и R2 в уравнение Лапласа приводит к выражению:

σ1		+	σ2	= q .	(14.14)
	γ		∞
Rtg				h
	2

Опять же, имея в виду, что σ2/∞ =0, получаем:

			qRtg	γ
	σ1	=		2	.	(14.15)
			h

Для поиска σ2 необходимо дополнительное уравнение равновесия. Напрашивается уравнение в проекциях всех сил на ось конуса:

	γ 2		γ		γ
–q·π(zsin		) +σ2h·2πz·sin		cos		=0,	(14.16)
	2		2		2

394

где первая величина – вертикальная составляющая силы от давления q, а

zsin

γ

– радиус круга в поперечном сечении; а 2πzsin

γ

– длина окружности в

2

2

сечении с координатой z. Выражаем σ2 из уравнения (14.16) :

qztg

γ

σ2=

2

.

(14.17)

2h

Опасная зона располагается в сечении при z=l:

qltg

γ

qltg

γ

2

σ1,max =

, σ2,max=

2

.

(14.18)

h

h

Условие прочности по гипотезе наибольших касательных напряжений имеет вид: (при σ3=0)

qltg

γ

σэкв = σ1–σ3

=

2

≤ [σ].

(14.19)

h

По энергетической теории гипотезе:

1

3qltg

γ

σэкв=

[(σ1 − σ2 )

2

+ (σ2 − σ3 )

2

+ (σ3

− σ1)

2

]

=

2

(14.20)

2

2h

Результаты вычислений σэкв по двум популярным гипотезам для цилиндрической и конической оболочек отличаются на 30%.

Прогибы оболочек

Расчет прогиба рассмотрим на примере цилиндрической оболочки. Обратимся к рис. 14.5, где сплошной прерывистой линией показаны сечения срединной поверхности в исходном и деформированном состоянии. Через w обозначен прогиб; а соответствующая ему деформация волокон в окружном направлении может быть найдена как отношение приращения длины к первоначальной длине:

395

ε1=	2π( R + w ) − 2πR	= w .	(14.21)
	2πR	R
		R
	q
			w

Рис. 14.5. Поперечные сечения срединной поверхности цилиндрической оболочки в исходном и деформированном состоянии

С другой стороны ε1 связана с напряжениями σ1 и σ2. Пусть оболочка закреплена между двумя неподвижными стенками, тогда σ=0, а σ1–Еε1. Отсюда

ε1=	σ1	=	qR	.	(14.22)
	Е
			Eh

Приравнивая правые части формул (14.20) и (14.22), получаем:

w=	qR2
		.	(14.23)
	Eh

w R

1

Рис. 14.6. Продольный разрез срединной поверхности цилиндрической оболочки в исходном и деформированном состоянии

396

В защемленных торцах оболочки (рис. 14.6) w=0 и полную картину деформированного состояния раскрывает только моментная теория, которую не рассматриваем. Надо сказать, что использование приближенных формул для σ1, σ2 и w, полученных ранее, в практических расчетах, как правило, не вносит существенных напряженностей, поскольку только в узких зонах краевого эффекта типа 1 (рис. 14.6) могут развиваться пластические деформации. Оболочка в целом не теряет несущей способности. Вдали от этих зон вполне правомерны формулы для σ1,σ2 и w, получены по безмоментной теории.

Тема 14.2 Расчет толстостенных цилиндров

Основные уравнения толстенных цилиндров

Цилиндр с радиусами R1 и R2 внутренней и внешней поверхностей подвергается воздействию внутреннего и внешнего давления q1, q2 (рис.14.7). Задача о напряжениях в окрестности точки А с координатой r- статически неопределимая и начнем с уравнения деформаций. Перемещения пограничных точек А и В бесконечно малого отрезка АВ длиной dr, ориентированного в радиальном направлении (рис.14.7), составляют u и u+du. Новая длина отрезка

А1В1=(dr-u)+(u+du)=dr+du

(14.24)

Деформация εr есть отношение

εr=	А1В1 − АВ	=	(dr + du) − dr	или εr=	du	(14.25)
	АВ		dr		dr

	R1	R2
	q1

q2

	u
	d
+
u
u		B
A		1
		B
	1
r	A	r
		d

Рис.14.7. Толстостенный цилиндр и схема перемещений

397

Деформация в окружном направлении εt определяется через разность длин окружностей, проведенных через точки А и А1:

	εt=	2π(r +u) −2πr				=	u .	(14.26)
				2πr			r
Учитывая, что rεt=u, получаем:
	d( rεt )			= du , или	d( rεt ) − εr=0.			(14.27)
	dr
				dr		dr

Здесь две неизвестные величины, поэтому составим второе уравнение в проекциях всех сил, действующих на бесконечно малый элемент трубы, на ось x (рис. 14.8):

(σr+dσr)(r+dr)dα·dz – σrrdαdz – 2σtdr·dzsin d2α = 0

		o	z	or +dor
o	t			x
d				dz
o
	r			o
	o			t
			r
	z
		d
r

Рис.14.8. Силы, действующие на малый элемент цилиндра.

Поскольку sin d2α ≈ d2α , то после преобразований получаем:

d(rσr ) − σt =0 dr

Подстановка εr, εt в уравнение (14.27) по формулам закона Гука

εr=	σr μ	σt – μ	σz , εt=	σt −μ	σr –μ	σz
	E	E	E	E	E	E

приводит к выражению

(14.28)

(14.29)

398

d(rσt )

– μ

d(rσr )

− μ

d(rσz )

− σr

+ μσt + μσz = 0.

(14.30)

dr

dr

dr

Принимая во внимание, что

d(rσr )

=σt

, σz=const,

dt

преобразуем уравнение (14.30):

d(rσt )

– σr=0.

(14.31)

dr

Складывая и вычитая почленно уравнения (14.28) и (14.31), получаем:

d[r(σr + σt )]

− (σr + σt ) = 0,

d[(r(σr − σt )]

+(σr – σt)=0

(14.32)

dr

dr

Поскольку

d[r(σr + σt )]

=(σr + σt)+r

(σr + σt )

,

d[r(σr − σt )]

=(σr – σt)+r

d(σr − σt )

, (14.33)

dr

dt

dr

dt

то вместо (14.32) будут:

d(σr + σt )

=0,

d(σr − σt )

= –

2(σr − σt ).

(14.24)

dr

dr

r

После интегрирования имеем:

σr+σt=2A, σr–σt=

2В

,

(14.25)

r 2

где 2А и 2В – постоянные интегрирования. Из системы двух уравнений (14.25) следует:

σr=А+	В	,	σt=A–	В	.	(14.26)
	r 2
				r 2

399

Постоянные А и В надлежит искать из граничных условий.

Далее находим перемещение u из уравнения (14.26), подставив туда значение εt из уравнения (14.29), а напряжения – из формул (14.26):

	u =	1	[A(1−μ)r − B(1+μ)	1	−μσz r] .	(14.27)
		E		r

Расчет напряжений и перемещений в толстостенном цилиндре

Цилиндр под воздействием внутреннего давления.

Одна из важнейших для практики задач сводится к расчету гидроцилиндров в приводах машин. Здесь q1=q, q2=0, σz=0. Граничные условия:

1) при r=R1, σr=-q, 2) при r=R2 σr=0.

Отсюда

	А+	В	= –q,	А+	В	=0.	(14.28)
		R2			R2
		1			2

Неизвестные А и В определяются по формулам:

А=		qR2			, В= –			qR2 R2
			1						1	2
		R2	− R2					R2	− R2
		2		1			2			1
Итак,						qR2				R
				σr= –					[(
							1			2
						R2	− R2			r
						2	1
σt=	qR2			[(	R	) 2 +1]
		1			2
	R2	− R2
					r
	2		1

	o
	t,max
R 2	o
	q
o	R1
r q

(14.29)

) 2 –1]

(14.30)

t

Рис.14.9. Эпюры напряжений для цилиндра при внутреннем давлении

400

Эпюры σr и σt показаны на рис. 14.9. Окружное напряжение σt максимальное значение при r =R1:

q(R2 + R2 )

σt,max= 2 1 .

R22 − R12

приобретает

(14.31)

Формулы для перемещений можно получить подстановкой А и В в выражение

(14.27):

	u=	qR2		[(1 − μ)r = (1 + μ)	R2	]	(14.32)
			1		2
		E(R2	− R2 )		r
		2	1

В заключение обратимся к условию прочности. Надо сказать, что σ1=σt,max., σ2=0, σ3= – q. При этом по гипотезе наибольших касательных напряжений

σэ=σ1–σ3=			q(R2		+ R2 )			+q.	(14.33)
				2		1
				(R2	− R2 )
				2		1
Таким образом,		2qR2
σэ=						≤[σ].			(14.34)
				2
	R2			− R2
		2			1

Цилиндр под действием внешнего давления

В этом случае q1=0, q2=q, σz=0. В отличие от предыдущей задачи надо поменять местами R1 и R2 в граничных условиях для определения постоянных интегрирования А и В: 1) при r=R1 σr=0, 2) при r=R2 σr= – q. Нетрудно понять, что при этом поменяются местами R1 и R2 в конечных формулах для напряжений и перемещений:

							qR2						R
			σr= –					2			[1– (		1	)2	];
					R			− R2
							2						r
							2		1
	σt= –		qR2						R		2						(14.35)
				2			[1+(		1 )			],
			R2 − R2
									r
			2		1
	u= –		qR2					[(1 − μ)r + (1 +							μ)	R2	]
				2												1
		Е(R2		− R2 )												r
			2		1