18. Ряды Фурье. Преобразование Фурье. Интеграл Фурье

Ортонормированная система функций

Опр. Функции f и g из L₂ называются ортогональными, если

Опр. Функция f из L₂ называется нормированной, если .

Опр. Система функции называетсяортонормированной, если все функции нормированы и попарно ортогональны: ||e_k|| = 1 , (e_n, e_m) =

Любую функцию можно нормировать:

- множество функций f:,т.е.L^2 – множество суммируемых квадратов функций. E-евклидово пространство.

Ряд Фурье

Пусть дано: система {e_k}- ортонормированная , если

Находим приk = m. c_m = (f, e_m).

- счетная система ортогональных функций, .

c_m = (f, e_m) – называют коэффициентами Фурье.

- ряд Фурье для функции f по ортонормированной системе E_k.

Опр. Если ряд (!) сходится и f его сумма, то считается, что f разлагается в ряд Фурье. Частным случаем является:

Тригонометрический ряд Фурье

- из этих формул вино ортогональность.

- можно заменить.

Все функции периодические с и сумма ряда периодическая.

Рассмотрим функцию от .

Разложение в тригонометрический ряд Фурье функции с периодом

(Теорема Дирихле)

Теорема: пусть периодическая функция f(x) c периодом на удовлетворяет условиям:

1. f(x) – кусочно-непрерывная (непрерывная или имеет конечное число точек разрыва 1-го рода);

2. f(x) – кусочно-монотонная (монотонна на всем отрезке или его можно разбить на конечное число частей, на каждой из которых она монотонна).

Тогда соответствующий ряд Фурье сходится и в точках непрерывности его сумма совпадает с f(x).

- в каждой точке разрыва,

на концах отрезка: .

=>

(*) умножим на cosmx:

=> =>

(*) умножим на sinmx:

=>

Замечание: Если функция удовлетворяет условиям теоремы на , то при вычислении коэффициентов, пределы интегрирования меняются: – π0, π2π. Все остальное в формулах также.

Замечание: Теорема Дирихле дает достаточное условие разложимости в ряд Фурье, но не необходимое.

Разложение в ряд Фурье четных и нечетных функций

(сами функции пока явл. периодич. с )

Пусть f(x) – четная.

Пусть f(x) – нечетная.

Ряды (!) и (!!) называются неполными рядами Фурье по cos и sin-м соответственно.

Разложение в ряд Фурье функций произвольного периода

Пусть функция f(x) – периодическая с периодом T=2l, будем разлагать в ряд Фурье на [-l, l]. f(x) удовлетворяет условиям теоремы Дирихле на отрезке [-l, l]. Делаем подстановку: должна быть определена на.

проверим, что она с периодом

тогда она определена на , имеети удовлетворяет условиям теоремы на.

Разлагаем в ряд Фурье:

(**) – ряд Фурье для f с периодом 2l.

Если f(x) – четная на отрезке [-l, l], то ряд имеет вид:

Если f(x) – нечетная:

Представление непериодической функции ряда Фурье

Пусть y = f(x) – определена на всей числовой оси она не периодическая.

Замечание: Т.к. f(x) - непериодическая, то ее нельзя разложить в ряд Фурье на всей числовой оси, т.к. сумма тригонометрического ряда Фурье является периодической.

Замечание: Непериодическую функцию можно представить в виде ряда Фурье на любом конечном промежутке, на котором она удовлетворяет условиям Дирихле.

1. Начало координат помещают в середину [a, b].

2. [-l, l] и является периодической с периодом 2l.

3. Для строится тригонометрический ряд Фурье.

4. На [a, b] сумма полученного ряда совпадает с функцией f(x) (кроме точек разрыва).

Замечание: Вне отрезка [a, b] сумма ряда и f(x) абсолютно различные функции.

Разложение непериодической функции на отрезке [0, l]:

функция f(x) доопределяем на отрезке [-l, 0] и получаем функцию , раскладываем в ряд на [-l, l], тогда верен 4 пункт для отрезка [0, l].

Замечание: Функцию f(x) доопределяют по четности или нечетности, для облегчения разложения в ряд.