24. Численные методы в алгебре

Прямые методы решения с.л.а.у.

Совместная система- это система, которая имеет хотя бы одно решение.

Несовместная – не имеет решений.

Определенная - имеет единственное решение.

Неопределенная – имеет более одного решения.

Равносильные системы – когда множество их решений совпадает.

Ранг матрицы. Ранг матр. =0, т. и т. т. к., матрица ненулевая.

1. Строчный Гауссовский ранг (Число r – наз. рангом ненулевой матрицы, если в нем существует r - л.н.з. строк и любая r+1 строка л.з.)

2. Столбцовый Гауссовский ранг (Аналогично, только слово строка меняется на слово столбец).

3. Алгебраический ранг (Число r – наз. рангом ненулевой матрицы, если эта матрица имеет ненулевой минор этого порядка и все миноры r+1 порядка =0).

Система имеет единственное решение, если ранг матрицы = рангу расширенной матрицы.

Система имеет единственное решение, если ранг матрицы = кол-ву неизвестных n, - но много решений, если ранг <n.

Если матрица A – квадратная и её определитель 0, то она наз.невырожденной или неособенной.

Транспонированная матрица – которая получается перестановкой строк и столбцов (A^T).

Симметричная матрица, т.е. матрица. Которая равна транспонированной (A=A^T).

Матрица наз. ортогональной, если выполняется условие: A^T*A=E (т.е., если сумма квадратов элементов каждого столбца = 1, а сумма произведений соответствующих элементов 2-х различных столбцов = 0).

Прямые методы дают решение системы за конечное число арифметических действий или операций. Если все операции выполняются без ошибок округления, то решение системы получается точным.

К прямым методам относятся: метод Крамера, метод последовательного исключения неизвестных (метод Гаусса и его модификации (метод главного корня, метод отражений)), метод квадратного корня.

Прямые методы применяются на практике для решения систем с числами, коэффициенты порядка не выше 10³.

Будем рассматривать систему лин. алг. ур-ний:

(1)

Матричная форма записи: Ах = b.

Метод Крамера

Компоненты решения вычисляются независимо друг от друга, т.е. можно решать на параллельных компьютерах.

Недостатки: требуется большое кол-во арифметических операций.

Метод Гаусса

Под названием «метод Гаусса» фигурирует группа методов, объединенных идеей последовательного исключения неизвестных. Наиболее популярным является метод, основанный на так называемой схеме единственного деления.

Будем далее считать матрицу системы (1) невырожденной.

Суть метода Гаусса состоит в преобразовании системы (1) к равносильной ей системе с треугольной матрицей, из которой затем последовательно (обратным ходом) получаются значения всех неизвестных.

Подвергнем систему (1) следующему преобразованию. Считая, что (ведущий элемент), разделим накоэффициенты первого уравнения:

(2)

Пользуясь уравнением (2), легко исключить неизвестное из остальных уравнений системы (для этого достаточно из каждо­го уравнения вычесть уравнение (2), предварительно умножен­ное на соответствующий коэффициент при ).

Затем, оставив первое уравнение в покое, над остальными уравнениями системы совершим аналогичное преобразование: выберем из их числа уравнение с ведущим элементом и исключим с его помощью из остальных уравнений неизвестное . Повторяя этот процесс, вместо системы (2) получим равносильную ей систему с треугольной матрицей:

(3)

Из системы (3) последовательно находят значения неизвестных .

Таким образом, процесс решения системы (1) по методу Гаусса распадается на два этапа. Первый этап, состоящий в последовательном исключении неизвестных, называют прямым ходом. Вто­рой этап - нахождение значений неизвестных - принято называть обратным ходом.

Значения разностей между свободными членами исходной системы и результатами подстановки в уравнения системы найденных значений неизвестных называют невязками.