12. Функции нескольких действительных переменных.

, - ф-я-переменных (- действительно).

Графиком является .

Для ф-ций нескольких переменных справедливы определения предела, непрерывности и теоремы о непрерывных функциях так же, как для функций одного переменного.

Опр. Для функции z=f(x,y) 

Непрерывность функции. Опр. Пусть - некоторая точка, и функцияопределена в некоторой окрестности точки. Назовём функциюнепрерывной в точке , если существует предел функции при, и этот предел равен значению функции в точке:.

Терема Больцано-Коши 1. Если ф-я опр-на и непр-на на отрезкеи на концах отрезка принимает значения разных знаков, то м/у точкамии, такая, что.

Док-во:

Делим пополам. Выбираем тот отрезок, в левом конце которого ф-я принимает отриц. значение, а в правом – положительное, обозначим. Если оказалось, что в точке деления ф-я равна нулю, то ч.т.д.

Делим пополам. Если в точке деления ф-я равна нулю, то ч.т.д. Если нет, то делаем описанную выше процедуру.

В итоге получим посл-ть вложенных отрезков: .

По принципу вложенных отрезков .

ч.т.д.

Терема Больцана-Коши 2. Пусть f(x) опр. и непр на отр [a,b], и на концах этого отр принимает неравные зн-я f(a)=A, f(b)=B, A≠B, тогда для любого числа С, A<C<B, найдется такое число с, a<с<b, что f(c)=C.

Равномерная непрерывность функций. Пусть - некоторая функция и. Функцияравномерно непрерывна на , если

Из равномерной непрерывности следует непрерывность, обратное не верно.

Компакты в метрических пространствах. - метрическое пространство . МножествоM называется компактным, если любая подпоследовательность его точек содержит сходящуюся подпоследовательность, предел которой .МножествоM открыто, если все его точки внутренние. Замкнуто, если оно одержит все свои предельные точки.

Т.1 Если мн-во компактно, то оно ограничено. Т2. Если мн-во компактно, то оно замкнуто.

Мн-во в метрич.пр-ве наз-ся ограниченным, если оно содержится в некотором шаре.

Обобщение теорем Вейерштрасса: Если - компакт в МП, анепрерывна, то множество значений этой ф-ции огр. и среди них есть наим. и наиб. значение.

Док-во: Т.к. образ компакта при непрерывном отображении есть компакт, - ограничен и замкнут, и, то и вограничен и замкнут и достигает своих наиб. и наим. значений. ч.т.д.

Теорема Больцано-Вейерштрасса. В из любой ограниченной последовательности можно извлечь сходящуюся подпоследовательнсоть.

Обобщение теоремы Кантора. Непрерывное отображение компакта равномерно непрерывно.

Метрическое про-во. Метрикой(расстоянием) на множестве E называется функция , удовл. усл-м:

Мн-во E с заданной на нем метрикой называется метрическим пространством (E,p)

13. Частные производные и дифференцируемость ф-ции в точке. Производные и дифференциалы высших порядков. Равенство смешанных производных

Задана прямая в метрич. пространстве: .Производная функции f в точке x₀ по направлению e наз. следующий предел: . Если в кач-ве направления исп-ся координатные орты, то такие производные наз.частными производными ф-ции f.

Замеч. Механич. смысл производной по направлению – скорость изменения ф-ции в данном направлении.

Теорема. При замене направления на противоположное производная по направлению меняет только свой знак.

Д-во. Пусть даны e₁, , e₂, -.

Пусть задана ф-ция трех перем-х u=f(x,y,z). Берется точка (x₀, y₀, z₀). Будем искать производную по x.

.

.

Точка (x₀, y₀, z₀) вдоль вектора :

.

Точка (x₀, y₀, z₀) вдоль вектора :;.

Правило для нахождения частных производных: частная произв-я по x находится как произв-я ф-ции одной переменной x при условии, что остальные перем-е фиксированные.При этом справедливы все правила для вычисления производных.

Замеч. Ф-ция, иеющая в данной т. частные произв-е или даже равные произв-е по всем направлениям, может не быть непрерывной в некот. т.

Дифференцируемость ф-ции в точке.

Ф-ция, кот-я отображает простр-во L: , и определ-ся равенствомназ. линейным функционалом.

Св-ва линейного функционала: 1) ; 2); 3); 4) Ф-ция L явл-ся равномерно непрерывной.

Пусть ф-ция f: и, x₀ – внутр-я т. мн-ва D. Ф-ция f наз. дифференцируемой в т. x₀, если в окрестности т. x₀ ее приращение можно представить в виде: . (1)

x=(x₁,…,x_n); ;

; .

- наз. дифференциалом ф-ции f в т. x₀.

(2)

- бесконечно малое более высокого порядка, чем , поэтомуесть главная линейная часть приращения. Следовательно формула для получения приближенного вычисления:.

Св-ва диф-мых ф-ций:

Пусть f и g диф-мы в некоторой т. x₀ и a – некоторое действительное число, тогда d(f+g)=df+dg, d(af)=adf.

Теорема. Если ф-ция диф-ма в данной т., то она в ней непрерывна.

Док-во: ф-ция диф-ма в т.ее приращение имеет вид.

непр. в т.. Обратное не верно, ч.т.д.

Градиент.

Градиентом ф-ции в данной т. наз. вектор, координаты которого являются частными производными в этой т., обознач-ся: .

- частная производная через градиент.

производная по направлению через градиент.

Физический смысл градиента. В направлении градиента ф-ция имеет наибольшую скорость изменения.

Связь дифференцируемости с существованием частных производных.

Теорема(достат. условие диф-ти). Если в каждой т. некоторой окрестности u₀ ф-ция W=f(x,y,z) имеет частные производные непрерывные в самой т. u₀, то ф-ция диф-ма в т. x₀.

Диффер-емость сложных ф-ций и инвариантность формы диф-ла первого порядка.

h(x)=g(f(x)); h(x)=g(u); .

y=h(x); ;

y=f(x₁,…,x_n) (1)

x=(x₁,…,x_n),

(2)

(3) (4)

Теорема. Пусть ф-ции (3) диф-мы в некот. точке M₀=(t₁⁰,…,t_m⁰), а ф-ция y₁ диф-ма в точке N₀=(x₁⁰,…,x_n⁰).

x_i⁰=x_i(t₁⁰,…,t_m⁰), тогда сложная ф-ция (1) с равенством (3) диф-ма в точке M₀, причем справедливо равенство (4), где - выч-ся в точке N₀, а (i=1,…,n; j=1,…,m) выч-ся в точке M₀.

y=f(x₁,x₂,x₃); x₁=x₁(t₁,t₂); x₂=x₂(t₁,t₂); x₃=x₃(t₁,t₂).

в точке N₀; в точке M₀.

соотв-ет приращению , т.е. они дают приращение в т. М₀ для ф-ции y. Т.к. ф-ция диф-ма, то имеет вид:(5). Т.к. ф-ции (3) – диф-мы, то:, i=1,2,…,m(6).

Подставим рав-во (6) в рав-во (5) и сгруппируем относительно и.

;

;

(7)

(8)

Из формул (7) и (8) получаем: , чтд.

Частные производные.

f: MRⁿR

y=f(x₁,…,x_n)

Пусть в М⁰М.  (j=1,…,n).

При kj наз. смешанной производной второго порядка.

При k=j обознач. - частн. произв. второго порядка.

Если окажется, что и они диф-мы по переменным x₁,…,x_n, то то аналогично определяются производные третьего порядка. Если и они окаж-ся диф-мы, процесс можно продолжить, то получается частная произв-я или частная смешанная произв-я m-порядка.

,

Теорема. (Достаточное условие рав-ва смешанных производных)

z=f(x,y)

f_xy^ , f_yx^ - две смешанных частн. произв-х.

Если две смешан-е частные произв-е f_xy^ , f_yx^  в окр-ти точки (x₀, y₀) и непр. в этой точке, то они в этой точке совпадают: f_xy^(x₀,y₀)=f_yx^(x₀,y₀).

Диф-лы высших порядков.

f: MRⁿR

y=f(x₁,…,x_n)

Ф-ция f диф-ма внутри М   df(x,).

x=(x₁,…,x_n),

Фиксируем , тогда df зависит только от x. Если эта ф-ция имеет диф-л, то он при том женаз-ся вторым диф-лом или диф-лом второго порядка:. Если он оказ-ся диф-мой ф-цией при фиксированном, то опред-ся диф-ал третьего порядка, и так далее. В общем случае диф-ал m порядка – это диф-ал от диф-ла (m-1) порядка: d^mf(x₀, )=d(d^m-1f(x₀, )).

Из существования диф-лов первого порядка  существование частных производных и равенство: .

Из -ния диф-лов второго порядка  $-ние смешанных и частных произв-х второго порядка, рав-ва смешанных произв-х:

Из $-ния двух частных и смеш-х произв-х и их непр-ти -ние диф-ла второго порядка.

Опр. Ф-ция B:RⁿR и опред-ся равенством ; y=(y₁,…,y_n), b_ik=b_ki – наз. квадратичной формой относительно y с коэф-ми b_ik.

Если фиксировано и смеш-е частные произв-е совпадают, то диф-ал второго порядка оказ-ся квадратичной формой

Диф-ал m порядка – это m-ичная форма относит-но .

z=f(x,y)

Если смешан-е произв-е совпадают, то диф-ал имеет вид