20. Интеграл Лебега и его свойства.

Пусть функция измерима и огр. На мн-веи мн- во её знач. Лежит в интервале (А,В). Разобьём интервал точками.-ранг разбиения и образ. мн-во. Всеизмеримы, попарно не пересекаются и. Справедливо равенство:, определяются суммы Дарбу-Лебега:, для них справедливысв-ва (Дарбу):

1. При добавлении точек деления нижние суммы не уменьшаются, верхние не увелич-ся.

2. 3)

Опр.:Интегралом Лебега от огранич., измеримой на мн-ве Е функции назыв. общ. знач. точных

границ верхних и нижних сумм Дарбу-Лебега и обознач. .

Интеграл Лебега от измер. Огранич. функции существует всегда.

Св-ва интеграла Лебега:

1. Если функция огранич. , тогда, то интеграл Лебега получается тоже ограниченным.

Док-во: ,,,

2. f(x)=const. Тогда

3. μ(E)=0. Тогда .

4. f(x)>0 Тогда . (аналогично для <)

5. Счётная аддитивность по мн-ву ;-не более чем счётное и они попарно непересекаются.

6. g ~ f .

7. Конечная аддитивность по функции. Пусть иизмеримы на Е, то

-счёт. аддитивность по функции.

8. Однородность интеграла

9. 

Док-во: , ,

10. Если f(x)>=0 на Е и 0, тоf ~ 0 на Е

Предельный переход под знаком интеграла.

Т-ма Лебега: Пусть функция почти всюду насх-ся ки всеогранич. по модулю одной постоянной, тогда.

Сравнение интеграла Лебега с интегралом Римана.

Пусть функция определена и ограничена на, тогда справедлива теорема.

Т-ма: Если функцияинтегрируема на отрезкепо Риману, то она интегрируема и по Лебегу, причём эти интегралы совпадают. Обратное не верно.

Восстановление первообразных для огран. ф-ий: Теорема: Если ф-ия f(x) на отрезке [a, b] имеет производную на этом отрезке и она ограничена, то f(x)=f(a)+ .

Интеграл Лебега от произ. огран. измеримой ф-ии: если f(x) огран на [a, b], то срезкой ф-ии f(x) на [a, b] наз.

Срезка — огранич. и измеримая ф-ия, поэтому . ЕслиN₁>N, то . Если, то интеграл Лебега возрастает, при этом послед-ть будет иметь конечный или беск. предел.

Интегралом Лебега от неогр., неотриц., произвольной, измеримой ф-ии на Е, наз конечный или беск. предел: . Если этот интеграл конечен, то ф-ию наз суммируемой.

Св-во интеграла Лебега от неогр., неотриц., измерим. ф-ий

1. Если суммируемая. на Е и

2. —суммир. на Е, то f(x) суммир. на Е и

3. Если f ~ 0, то =0.

4. Если f — суммир. на Е и , тоcf—суммир. на Е, т.е. .

5. h=f + g, f,g — измеримы на Е, то h суммир, причем .

6. Теорема Фату: Если послед-ть f_n неотриц., измеримых ф-ий на Е почти всюду сходится к f на Е, то

.

7. Теорема Леви: Послед-ть f_n неотриц., неогр., измеримых ф-ий на Е почти всюду сходится к f на Е, не убывает, т.е. и, то.

8. Интеграл Лебега от произ. ф-ии: Пусть f принимает значения на Е разных знаков: и

f₊(x), f_—(x) — измеримые и неотриц. ф-ии.

.

Если хотя бы одна из ф-ий f₊(x), f_—(x) суммир. на Е, то .

Если обе ф-ии суммируемы, то этот интеграл конечен и f наз. суммируемой на Е.

Св-ва суммир.ф-ий и интегралов:

1. f суммир. |f| суммируема.

2. Если не пересекаются,f суммир на Е₁,Е₂, тогда f суммир. на Е и справедливо равенство .

3. Если f суммир., то cf — суммир. .

4. h= f + g —суммир., то h — суммир.