10. Первообразная и неопределенный интеграл
Функция
F(x)-
первообразная
ф-я для ф. f(x)
на (a,b),
если в любой точке х интервала (a,b)
F(x)
диф-ма и имеет производную
,
равнуюf(x).
Если F(x) - первообразная для f(x) на (а,b), то и F(x)+С, где С – постоянная, явл-ся первообр. для f(x) на (а,b).
Теорема.1
Пусть F(x)
– некот.
первообр. для ф f(x)
на (а,b),С
– произв. постоянная, тогда ф
также
явл первообр. на этом интервале.
Теорема.2 Пусть F(x)-- первообразная для f(x) на (a,b) и G(x) - некоторая другая первообразная. Тогда G(x)=F(x)+C при некоторой постоянной C.
Док-во: Рассмотрим разность H(x)=G(x)-F(x). H’(x)=G’(x)-F’(x)=0. Покажем, что ф H(x), такая что H’(x)=0 при всех x из (a,b),т.е. постоянная.
и
из (a,b),
и к отрезку [
,
]
применимформулу
конечных приращений
где
.
(эта ф-ла - следствие изтеоремы
Лагранжа).
Поскольку
=>
=>
чтд.
Следствие. Если F(x) – одна из первообр. для f(x) на (а,b), то любая первообразная Ф(х) для f(x) на (а,b) имеет вид Ф(х)=F(x)+C, где С – некоторая постоянная.
Неопределенный интеграл.
Совокупность
всех первообразных ф-й для данной ф
f(x)
на (а,b)
– неопред. интеграл от функции f(x)
на интервале (а,b)
и обозначается
.
подынтегральное
выражение,
подынтегральная функция,
-
одна из первообразных
Основные свойства неопределенного интеграла
1.
2.
3.
Док-во:
Пусть перв f(x) – F(x); g(x) – G(x) , а для f(x)+g(x) первообр. H(x) => равенство означ, что H(x)=F(x)+G(x)+C(*)
H’=f+g
(F+G+C)’=f+g => (*)-верное равенство. чтд.
4.
(A=const)
Основные методы интегрирования
1.0. Непосредственное интегрирование (по таблице интегралов)
1.
Формула
замены переменного.
Пусть имеет смысл ф f(φ(x)),
где x
изменяется на некотором интервале.
Тогда
Док-во:
Пусть
и
.Подставим
эти зн-я в исх равенство:
или
Проверим
это соотн.
что
совпадает с G’(x).
Формула доказана.
2. Интегрирование по частям
Пусть функции f(x) и g(x) имеют производную на рассматриваемом интервале изменения x. Тогда верно равенство
Док-во:
Пусть
F(x)
– перв. для f(x)g’(x)
и G(x)
– перв. для g(x)
f’(x)=>
док-м,
что произв лев и прав ч совпадают.
По
опред. F’(x)=
f(x)g’(x)
и с др стороны
Произв. совп., чтд.
3.Интегрирование рац. ф-й.
Для того, чтобы проинтегрировать рациональную дробь необходимо разложить ее на элементарные дроби.
Теорема:
Если
- прав рацион дробь, знаменательP(x)
кот-й представлен в виде произведения
линейных и квадратичных множителей,
то эта дробь может быть разложена на
элементарные по следующей схеме:
где Ai, Bi, Mi, Ni, Ri, Si – некоторые постоянные величины.
При интегрировании рациональных дробей прибегают к разложению исходной дроби на элементарные. Для нахождения величин Ai, Bi, Mi, Ni, Ri, Si применяют так называемый метод неопределенных коэффициентов, суть которого состоит в том, что для того, чтобы два многочлена были тождественно равны, необходимо и достаточно, чтобы были равны коэффициенты при одинаковых степенях х.
Для того, чтобы избежать при нахождении неопр коэф раскрытия скобок, группировки и решения системы уравнений применяют метод произвольных значений. Суть метода состоит в том, что в полученное выше выражение подставляются поочередно несколько (по числу неопределенных коэффициентов) произвольных значений х. Для упрощения вычислений принято в качестве произвольных значений принимать точки, при которых знаменатель дроби равен нулю.