- •5. Линейное пространство. Евклидово и унитарное пространства
- •6. Линейные операторы и их свойства
- •Линейные преобразования евклидова пространства
- •7. Действительные числа. Функция действительной переменной. Предел функции. Непрерывные функции.
- •8. Производная и дифференциал. Производные и дифференциалы высших порядков. Формула Тейлора
- •9. Основные теоремы дифференциального исчисления и их применения
- •10. Первообразная и неопределенный интеграл
- •4. Интегрирование некоторых тригонометрических функций.
- •6. Интеграл вида если функцияR является нечетной относительно cosx.
- •11. Определенный интеграл Римана, его свойства. Применения к вычислению геометрических, физических и механических величин Определенный интеграл
- •12. Функции нескольких действительных переменных.
- •13. Частные производные и дифференцируемость ф-ции в точке. Производные и дифференциалы высших порядков. Равенство смешанных производных
- •14. Неявная и обратная функции. Экстремумы
- •15. Числовые ряды и их сходимость.
- •16. Функциональные последовательности и ряды. Степенные ряды. Ряд Тейлора.
- •2) Дифференцирование степенных рядов.
- •3) Сложение, вычитание, умножение и деление степенных рядов.
- •18. Ряды Фурье. Преобразование Фурье. Интеграл Фурье
- •Разложение в ряд Фурье четных и нечетных функций
- •Разложение в ряд Фурье функций произвольного периода
- •Представление непериодической функции ряда Фурье
- •Тригонометрический ряд Фурье в комплексной области
- •Свойства ряда Фурье
- •- Неравенство Бесселя.
- •- Равенство Парсеваля,
- •Понятие об интеграле Фурье и об преобразовании Фурье
- •19. Мера Лебега, измеримые множества и функции
- •20. Интеграл Лебега и его свойства.
- •21. Ф-ции комплексной переменной. Диф-ние и инт-ние. Теорема Коши.
- •22. Ряды Тейлора и Лорана. Вычеты
- •Аналитические функции и их разложение в степенные ряды.
- •Свойства максимума модуля аналитических и гармонических функций.
- •Ряд Тейлора.
- •Ряд Лорана.
- •Изолированные особые точки аналитических функций и их классификация.
- •Вычеты и основная теорема о вычетах.
- •Применение к вычислению интегралов.
- •23. Математическое моделирование и вычислительный эксперимент
- •24. Численные методы в алгебре
- •Обусловленность систем линейных алгебраических уравнений
- •Вычисление определителей и обращение матриц
- •Итерационные методы
- •Достаточное условие сходимости итерационного процесса
- •25. Решение нелинейных уравнений и систем уравнений
- •26. Приближение функций.
- •27. Численное дифференцирование. Численное интегрирование
- •28. Решение обыкновенного дифференциального уравнения первого порядка методами Эйлера, Эйлера – Коши, Рунге – Кутты. Метод конечных разностей.
- •29. Разностные методы решения задач математической физики.
- •33. Линейные уравнения и системы.
- •34.Линейные уравнения и системы с постоянными коэффициентами
- •35. Устойчивость решений дифференциальных уравнений
- •Простейшие типы точек покоя. Автономные динамические системы двух уравнений первого порядка. Типы особых точек на фазовой плоскости
- •№37 Физические задачи, приводящие к уравнению параболического типа
- •Интеграл Пуассона
- •39. Алгебра логики
- •3. Основные законы логики.
- •4. Логические функции.
- •5. Нормальные формы. Совершенные нормальные формы.
- •Алгоритм построения сднф.
- •6. Арифметические операции в алгебре логики. Полином Жегалкина.
- •7. Полнота и замкнутость (примеры полных систем). Теорема Поста.
- •Свойства отношений.
- •40. Графы и их свойства
- •41. Маршруты в графах и деревья
- •41. Маршруты в графах и деревья
Обусловленность систем линейных алгебраических уравнений
Прежде чем говорить о решении задач (1), следует убедиться в том, что решение задачи существует, единственно и устойчиво. Первые 2 требования будут выполняться, если определитель матицы.
Рассмотрим выполнение 3-го требования. Входными данными в задаче будут являться коэффициенты матрицыи компоненты вектора. Они могут задаваться с некоторой погрешностью. Тогда вместо исходной задачи получим. Чтобы дать оценку погрешности решения, если известныи, используют понятие нормы.
Существует много способов введения нормы:
; 2. ; 3..
Самая распространенная - это Евклидова норма: .
Справедлива следующая оценка:(2). Из неравенства (2) видно, что наибольших изменений в решениях следует ожидать, когда “велика” матрица, т.е.близка к вырожденной.
Зависимость погрешности решения от погрешности коэффициентов в матрице задается формулой: . Число- наз. числом обусловленности матрицыи обозначается, оно зависит от способа введения матричной нормы.
Матрицы , для которых число обусловленности относительно велико наз. плохо обусловленными, тоже самое говорят о системе уравнений с матрицей. Относительная малость числа обусловленности говорит о хорошей обусловленности (систем) матр.и соответствующей системы лин. алг. ур-ний.
Пусть -точное решение, - приближенное решение. Существует 2 меры погрешности решениявектор ошибки:
1. ; 2. Невязка.
Вычисление определителей и обращение матриц
Обозначим определитель системы (1) через D. - изменения после первого шага метода Гаусса. -изменения после второго шага метода Гаусса.- изменения послеn-ого шага.
Следовательно, определитель исходной матрицы
(4)
где - ведущие элементы схемы единственного деления. Т.о. для вычисления определителя системы нужно получить произведение ведущих элементов, используемых на каждом шаге прямого хода метода Гаусса.
Схема единственного деления может использоваться также и для вычисления элементов матрицы A-1, обратной для невырожденной матрицы A. По определению , гдеЕ — единичная матрица. Представим искомую матрицу A-1 и единичную матрицу в виде совокупности векторов-столбцов:
(структура векторов e(i) предельно проста: i-й элемент равен единице, а все остальные — нулю). В такой записи соотношение предстанет в виде совокупности изn систем линейных алгебраических уравнений вида (5)
Решение каждой системы дает соответствующий столбец обратной матрицы.
При нахождении обратной матрицы указанным методом существенно, что все системы, входящие в (5), имеют одинаковую матрицу и фактически могут решаться одновременно.
Итерационные методы
К итерационным методам относятся: метод простых итераций, метод Зейделя, метод релаксации, градиентные методы и их модификации. Итерационные методы применяются для решения систем порядка 106.
. При решении уравнений методом итераций решение находится как предел последовательности итерационных приближений. При этом последовательность может быть сходящейся или расходящейся. Далее возникает вопрос о сходимости этой последовательности.
Функции , определенная в некотором множестве() наз.метрикой, если выполняются условия: 1. ; 2.;
3. ; 4.
Множество с введенной на ней метрикой наз. метрическим пространством. Полное метрич. пространство, если в нем любая фундаментальная посл-ть сходится. Послед-ть элементов метрического пространстваX наз-ся фундаментальной, если для
Пусть - отображение, действующее в метрическом пр-вес метрикой.- образы элементов.
Отображение пр-ваназ.сжимающим, если выполняется условие . Точканаз. неподвижной точкой отображения, если выполняется
Принцип сжимающих отображений (Теорема Банаха): Сжимающее отображение полного метрического пространства в себя имеет единственную неподвижную точку, т.е. уравнение Fx=x имеет единственное решение и оно может быть получено методом простых итераций при любом приближении.
Оценка расстояния между неподвижной точкой отображения и некоторым приближением задаются формулой:получим:, т.о. для решения методом итераций достаточно установить, что отображение является сжимающим.
Метод простых итераций
Будем решать систему лин.алгебраических уравнений методом простых итераций:
(1)
Система (1) имеет единственное решение:
(2)
Последнюю систему перепишем: X=CX+D.
Выберем начальное приближение и построим итерационную последовательность:
.
Эта последовательность будет сходиться к решению системы, если отображение F(X)=CX+D будет сжимающим(в силу теоремы Банаха о сжимающем отображении), т.е. если будет выполняться след.неравенство:
(3).
Выясним условия, при которых будет выполняться нер-во(3). В качестве метрики можно вывбрать след.норму:
Отметим, что нер-во(3) примет вид: (4).
По свойствам нормы справедливо: (5).
Сравнивая нер-ва (5) и (4) можно сделать вывод, что отображение F будет сжимающим, если . Из теоремы Банаха следует, что оценка погрешности может определяться равенством:
Метод Зейделя
Этот метод является модификацией метода простых итераций. Отличие от метода простых итераций заключается в том, что на каждом шаге итерационного процесса при вычислении используются уже найденные значения
Достаточное условие сходимости метода Зейделя: норма матрицы приводимой к итерационному виду должна быть меньше 1, т.е. Этот метод обеспечивает более быструю сходимость, чем метод простых итераций.