- •5. Линейное пространство. Евклидово и унитарное пространства
- •6. Линейные операторы и их свойства
- •Линейные преобразования евклидова пространства
- •7. Действительные числа. Функция действительной переменной. Предел функции. Непрерывные функции.
- •8. Производная и дифференциал. Производные и дифференциалы высших порядков. Формула Тейлора
- •9. Основные теоремы дифференциального исчисления и их применения
- •10. Первообразная и неопределенный интеграл
- •4. Интегрирование некоторых тригонометрических функций.
- •6. Интеграл вида если функцияR является нечетной относительно cosx.
- •11. Определенный интеграл Римана, его свойства. Применения к вычислению геометрических, физических и механических величин Определенный интеграл
- •12. Функции нескольких действительных переменных.
- •13. Частные производные и дифференцируемость ф-ции в точке. Производные и дифференциалы высших порядков. Равенство смешанных производных
- •14. Неявная и обратная функции. Экстремумы
- •15. Числовые ряды и их сходимость.
- •16. Функциональные последовательности и ряды. Степенные ряды. Ряд Тейлора.
- •2) Дифференцирование степенных рядов.
- •3) Сложение, вычитание, умножение и деление степенных рядов.
- •18. Ряды Фурье. Преобразование Фурье. Интеграл Фурье
- •Разложение в ряд Фурье четных и нечетных функций
- •Разложение в ряд Фурье функций произвольного периода
- •Представление непериодической функции ряда Фурье
- •Тригонометрический ряд Фурье в комплексной области
- •Свойства ряда Фурье
- •- Неравенство Бесселя.
- •- Равенство Парсеваля,
- •Понятие об интеграле Фурье и об преобразовании Фурье
- •19. Мера Лебега, измеримые множества и функции
- •20. Интеграл Лебега и его свойства.
- •21. Ф-ции комплексной переменной. Диф-ние и инт-ние. Теорема Коши.
- •22. Ряды Тейлора и Лорана. Вычеты
- •Аналитические функции и их разложение в степенные ряды.
- •Свойства максимума модуля аналитических и гармонических функций.
- •Ряд Тейлора.
- •Ряд Лорана.
- •Изолированные особые точки аналитических функций и их классификация.
- •Вычеты и основная теорема о вычетах.
- •Применение к вычислению интегралов.
- •23. Математическое моделирование и вычислительный эксперимент
- •24. Численные методы в алгебре
- •Обусловленность систем линейных алгебраических уравнений
- •Вычисление определителей и обращение матриц
- •Итерационные методы
- •Достаточное условие сходимости итерационного процесса
- •25. Решение нелинейных уравнений и систем уравнений
- •26. Приближение функций.
- •27. Численное дифференцирование. Численное интегрирование
- •28. Решение обыкновенного дифференциального уравнения первого порядка методами Эйлера, Эйлера – Коши, Рунге – Кутты. Метод конечных разностей.
- •29. Разностные методы решения задач математической физики.
- •33. Линейные уравнения и системы.
- •34.Линейные уравнения и системы с постоянными коэффициентами
- •35. Устойчивость решений дифференциальных уравнений
- •Простейшие типы точек покоя. Автономные динамические системы двух уравнений первого порядка. Типы особых точек на фазовой плоскости
- •№37 Физические задачи, приводящие к уравнению параболического типа
- •Интеграл Пуассона
- •39. Алгебра логики
- •3. Основные законы логики.
- •4. Логические функции.
- •5. Нормальные формы. Совершенные нормальные формы.
- •Алгоритм построения сднф.
- •6. Арифметические операции в алгебре логики. Полином Жегалкина.
- •7. Полнота и замкнутость (примеры полных систем). Теорема Поста.
- •Свойства отношений.
- •40. Графы и их свойства
- •41. Маршруты в графах и деревья
- •41. Маршруты в графах и деревья
34.Линейные уравнения и системы с постоянными коэффициентами
Рассм ЛОДУ второго порядка с постоян коэф. (1), p,q-пост. Для отыскания общ реш необх найти два ЛНЗ реш этого ур-я. Реш будем искать виде ;;;;(2) – характеристическое ур-е ур-я (1). Если k-корень (2), то– реш (1). Пустьk1 и k2 – корни (2). Возможны случаи: 1) k1<>k2, ;– реш (1).. 2)k1=k2=-p/2, ;– реш (1). Общ.реш.3)k1=+i; k2=-i, y1=ek1x=e(+i)x; y2=e(-i)x .Реш(1) будут ф-и z1=1/2 (y1+y2)= ½ ex[Cosx+iSinx+Cosx-iSinx] = exCosx; z2=1/2i (y1-y2)= ½i ex[Cosx+iSinx-Cosx+iSinx] = exSinx; z1, z2 ЛНЗ, общ реш (1) y=c1z1+c2z2= ex[c1Cosx+c2Sinx].
Рассм ЛНДУ второго порядка с постоян коэф. (3), p,q-пост. Ощ реш ур(3) есть сумма общ реш ОУ(1) и ч.р.(3). Ч.р. находится методом неопределенных коэф. Найдем ч.р.в зав от вида пр.ч. 1) f(x)=a0xm++am-1x+am. Ч.р. ищется в виде многочлена, т.к. при диф-и степень мн-на понижается, то y_ ищется в зав от p, q.
а) q<>0, то k1<>0,k2<>0, тогда =b0xm+b1xm-1++bm-1x+bm; y/= mb0xm-1+…+bm-1; y//=m(m-1) b0xm-2 +…+ bm-1; подставим в ур-е (3) умн y_ на q, y/ на p.
xm | qb0=a0;
xm-1 | qb1+pmb0=a1; …….;
x | qbm-1+2pbm-2+6bm-3=am-1;
1 | qbm+pbm-1+2bm-2=am; Эта сист имеет ед реш, т.к. q<>0. Находим bi и получаем .
б) q=0; p<>0; один из корней хар мн-на нуль, др не нуль.Ур (3) будет записано в виде k2+pk=0; ищется виде:
0 |=x(b0xm+…+bm);
p | =(m+1)xm+…+2bm-1x+bm;
1| =(m+1)mb0xm-1+…+2bm-1; получаем сист
xm | p(m+1)b0=a0;
xm-1 | pmb1+(m+1)mb0=a1; …….
1 | pbm+2bm-1=am; находим bi и получаем ч.р. .
в) p=q=0 и инт-ся непосред-но
2)
q | =exu; u-неизвест.ф-я
p | y/=exu+exu/;
1| y//=ex(u//+2u/+2u);
u//+u/(2+p)+u(2+p+q)=Pm(x) a) - не корень хар ур-я u=Qm(x); =ex Pm(x); б) - корень кратности 1. 2+p+q=0, 2+p<>0; u=xQm(x); в) - корень кр 2. 2+p+q=0, 2+p=0; u=x2Qm(x); = xkex Pm(x);
3) f(x)= ex (Pm(x)Cosx+Q(x)Sinx); это можно привести к случаю 2 воспользовавшись ф.Эйлера Cosx = (eix+ e-ix)/2; Sinx=(eix- e-ix)/2; f(x)=y1(x)+y2(x); a) если +-i не корень хар мн-на. y1 = e(+i)xUl (x); y2 = e(-i)xVl (x), l=max(m,n); б) x – корень хар мн-на y1 = xe (+i)xUl (x); y2 = xe(-i)xVl (x), применяя ф.Эйлера для a) =ex[Se(x) Cosx+Re(x)Sinx]; б) =xex[Se(x) Cosx+Re(x)Sinx];
Система ЛДУ с пост коэф. y/i=сум(j=1,n) aijyi+bi(x), aij – некот зад числа, bi(x)-ф-и. Общ реш сист. есть лин комбинация реш однор сист, обр ФСР. y/i=сум(j=1,n) aijyi, yi(x) иск ф-и. Система ОДУ с пост коэф y1 = 1e(в ст kx);.; yn = ne( в ст kx); найдем производные и поставим в систему k1e(в ст kx)= (a111++a1nn)e(в ст kx); ; kne(в ст kx)= (an11++annn)e(в ст kx); разделим на e(в ст kx). Полученная сист ((a11-k) 1++a1nn=0;; an11++(ann-k) n=0) (3) имеет не нулевое реш, следов ее опр-ль обращ в нуль. Т.о. сист имеет ненул реш вида y1 = 1e(в ст kx);.; yn = ne( в ст kx) при (k)=0 – наз характерист ур-м сист.; В зав от корней нах реш сист. 1) Корни хар ур-я действительны и различны. Для каж из корней напишим сист (3) и опред коэф 11, 1n. Реш сист (1) y11=11 e(в ст k1x); ; y1n=1n e(в ст k1x); ; yn1=n1 e(в ст knx); ; ynn=nn e(в ст knx);. Т.к. сист (1) есть сист ЛОУ, то и лин комб реш сист будет реш сист. y1=c111e (в ст k1x) ++ cnn1 e(в ст knx); yn = c111e (в ст k1x) ++ cnn1 e(в ст knx); 2) Корни хар м-на разл и среди них компл. Пусть имеются два сопряженных числа k1=+i; k2=-i; Корню k1 соотв реш. y11=11e(в ст (+i)x);; y1n=1ne(в ст (+i)x); Корню k2 соотв y21=21e(в ст (-i)x);; y2n=2ne(в ст (-i)x); Дейст и мнимые части компл реш сист ест реш этой сист., тогда получаем систему y_1j=ex(1jCosx+2jSinx); y_2j=ex(1jSinx+2jCosx); j-действ числа.