- •5. Линейное пространство. Евклидово и унитарное пространства
- •6. Линейные операторы и их свойства
- •Линейные преобразования евклидова пространства
- •7. Действительные числа. Функция действительной переменной. Предел функции. Непрерывные функции.
- •8. Производная и дифференциал. Производные и дифференциалы высших порядков. Формула Тейлора
- •9. Основные теоремы дифференциального исчисления и их применения
- •10. Первообразная и неопределенный интеграл
- •4. Интегрирование некоторых тригонометрических функций.
- •6. Интеграл вида если функцияR является нечетной относительно cosx.
- •11. Определенный интеграл Римана, его свойства. Применения к вычислению геометрических, физических и механических величин Определенный интеграл
- •12. Функции нескольких действительных переменных.
- •13. Частные производные и дифференцируемость ф-ции в точке. Производные и дифференциалы высших порядков. Равенство смешанных производных
- •14. Неявная и обратная функции. Экстремумы
- •15. Числовые ряды и их сходимость.
- •16. Функциональные последовательности и ряды. Степенные ряды. Ряд Тейлора.
- •2) Дифференцирование степенных рядов.
- •3) Сложение, вычитание, умножение и деление степенных рядов.
- •18. Ряды Фурье. Преобразование Фурье. Интеграл Фурье
- •Разложение в ряд Фурье четных и нечетных функций
- •Разложение в ряд Фурье функций произвольного периода
- •Представление непериодической функции ряда Фурье
- •Тригонометрический ряд Фурье в комплексной области
- •Свойства ряда Фурье
- •- Неравенство Бесселя.
- •- Равенство Парсеваля,
- •Понятие об интеграле Фурье и об преобразовании Фурье
- •19. Мера Лебега, измеримые множества и функции
- •20. Интеграл Лебега и его свойства.
- •21. Ф-ции комплексной переменной. Диф-ние и инт-ние. Теорема Коши.
- •22. Ряды Тейлора и Лорана. Вычеты
- •Аналитические функции и их разложение в степенные ряды.
- •Свойства максимума модуля аналитических и гармонических функций.
- •Ряд Тейлора.
- •Ряд Лорана.
- •Изолированные особые точки аналитических функций и их классификация.
- •Вычеты и основная теорема о вычетах.
- •Применение к вычислению интегралов.
- •23. Математическое моделирование и вычислительный эксперимент
- •24. Численные методы в алгебре
- •Обусловленность систем линейных алгебраических уравнений
- •Вычисление определителей и обращение матриц
- •Итерационные методы
- •Достаточное условие сходимости итерационного процесса
- •25. Решение нелинейных уравнений и систем уравнений
- •26. Приближение функций.
- •27. Численное дифференцирование. Численное интегрирование
- •28. Решение обыкновенного дифференциального уравнения первого порядка методами Эйлера, Эйлера – Коши, Рунге – Кутты. Метод конечных разностей.
- •29. Разностные методы решения задач математической физики.
- •33. Линейные уравнения и системы.
- •34.Линейные уравнения и системы с постоянными коэффициентами
- •35. Устойчивость решений дифференциальных уравнений
- •Простейшие типы точек покоя. Автономные динамические системы двух уравнений первого порядка. Типы особых точек на фазовой плоскости
- •№37 Физические задачи, приводящие к уравнению параболического типа
- •Интеграл Пуассона
- •39. Алгебра логики
- •3. Основные законы логики.
- •4. Логические функции.
- •5. Нормальные формы. Совершенные нормальные формы.
- •Алгоритм построения сднф.
- •6. Арифметические операции в алгебре логики. Полином Жегалкина.
- •7. Полнота и замкнутость (примеры полных систем). Теорема Поста.
- •Свойства отношений.
- •40. Графы и их свойства
- •41. Маршруты в графах и деревья
- •41. Маршруты в графах и деревья
Линейные преобразования евклидова пространства
Нормальный оператор
(если сопряженный совпадает с обратным) или
Пример:
, - норм.
Ортогональные операторы
Линейный оператор называется ортогональным, если
Для того чтобы оператор был ортогональным, необходимо и достаточно, чтобы его матрица в ортонормированном базисе была ортогональной.
Ортогональные операторы и только они сохраняют длину вектора, т. е.
Сопряженные операторы
Оператор называется сопряженным линейному оператору, если
Оператор также является линейным оператором. Еслиf в некотором ортогональном базисе имеет матрицу A, то в этом базисе оператор имеет матрицу.
Свойства сопряженных операторов: (f - невырожденный).
Самосопряженные операторы
Линейный оператор называется самосопряженным (симметрическим), если
Для самосопряженного оператора . Операторявляется самосопряженным тогда и только тогда, когда его матрица в некотором ортонормированном базисе симметрическая.
Свойства самосопряженных операторов: 1) самосопряженный оператор имеет только действительные собственные числа; 2) всякий самосопряженный оператор является оператором простой структуры; 3) для всякого самосопряженного оператора существует ортонормированный базис, состоящий из собственных векторов этого оператора.
Самосопряжённый оператор - совпадающий со своим сопряжённым иначе называется эрмитовым.
Комплексное линейное пространство называется унитарным пространством .
называется унитарным оператором, если он сохраняет скалярное произведение векторов (сохраняется длина векторов).
Док-во: - ортонормированная база,,.
, ,. Если, тодлина вектора после действия оператора сохраняется.
7. Действительные числа. Функция действительной переменной. Предел функции. Непрерывные функции.
Система, состоящая из всех рациональных (все числа вида) и всех иррациональных(все бесконечные непериодические десятичные дроби) чисел, называется системойдействительных (вещественных) чисел .
Свойства действительных чисел:
- определена операция сложения
- коммутативность сложения;
- ассоциативность сложения;
- св-во нуля;
- св-во противоположного числа
Выполнение этих св-тв означает, что - абелева (коммутативная) группа по сложению.
- определена операция умножения
- коммутативность умножения;
- ассоциативность умножения;
- св-во единицы;
- св-во обратного элемента.
- абелева группа по умножению.
- св-во дистрибутивности
- св-во рефлексивности;
- з-н тождества;
- св-во транзитивности.
- линейно-упорядоченное множество.
- св-во сохранения неравенства;
- з-н сохранения знаков.
Th. Архимеда: для .
Th. Дедекинда (о св-ве полноты или непрерывности мн-ва )
] - два произвольных множества.
] поставлен в соответствие один и только один. Тогда это соответствие называетсяфункцией с областью определения и областью значений, лежащей в.
Свойства функций:
Ф-я наз. строговозрастающей (возрастающей) на мн-ве , если большему значению аргумента соответствует большее значение ф-ции.
Ф-я наз. возрастающей (неубывающей) на мн-ве , если большему значению аргумента соответствует неменьшее значение ф-ции.
Ф-я наз. строгоубывающей (убывающей) на мн-ве , если большему значению аргумента соответствует меньшее значение ф-ции.
Ф-я наз. убывающей (невозрастающей) на мн-ве , если большему значению аргумента соответствует небольшее значение ф-ции.
Все эти ф-ции наз-ся монотонными.
Ф-я наз-сячетной, если
мн-во симметрично относительно начала координат;
.
Ф-я наз-сянечетной, если
мн-во симметрично относительно начала координат;
.
Ф-я наз-сяпериодической на мн-ве , если, чтои. Числоназ-ся периодом ф-ции.
Ф-я , опр-ная на мн-веX наз-ся ограниченной сверху (снизу), если мн-во ее значений ограничено сверху (снизу).
M(m) –верхняя (нижняя) граница ф-ции на множествеX.
Ф-я наз-сяограниченной на мн-ве , если . Это опр-е.
Наименьшая из верхних границ наз-ся верхней гранью ф-ции .
Наибольшая из нижних границ наз-ся нижней гранью ф-ции .
Ф-я наз-ся неограниченной, если она не ограничена ни сверху, ни снизу.
Определение предела функции:
Точка называетсяпредельной точкой мн-ва , если вокрестности т.найдутся точки мн-ва, отличные от.
общее определение (на языке окрестностей):
Число наз-ся пределом ф-циипри, если дляокрестноститочкинайдется такая окрестностьточки, что для всехиззначение.
.
по Коши (на языке ):
] (аналогично формулируется опр-е предела длядругихи)
.
по Гейне:
Число называется пределом функциипри, если для любой последовательностипоследовательность, т.е.
Th: Определение предела функции по Гейне эквивалентно определению предела функции по Коши.
Элементарные свойства предела:
Th. о единственности предела.
Если функция имеет предел, то этот предел единственный.
Th. о локальной ограниченности ф-ции, имеющей конечный предел.
Если ф-я имеет конечный предел в точке , то в некоторой проколотой окрестности этой точки ф-я ограничена.
Док-во:
ограничена в ч.т.д.
Th. о сохранении ф-цией знака своего предела.
] предел ф-ции приравени. Тогда в некоторой проколотой окрестности точкизначения ф-ции положительны (отрицательны).
Основные свойства предела:
Th. Критерий -ния предела.
Для того, чтобы конечный пределн. и д., чтобыбыла бесконечно малой величиной в точке.
Th. О пределе суммы, произведения и частного.
] -ют конечные пределы:и. Тогда
при .
Докажем :
, - б.м. в т..
- б.м. в т. .
ч.т.д.
Th. о предельном переходе в неравенстве.
Если и, в некоторой проколотой окрестности точкивыполняется неравенство, то в этой окрестности выполняется неравенство.
Th. о пределе промежуточной функции.
] даны ф-ции ,. Тогда.
] опр-на на мн-ве, мн-во,- предельная т. мн-ва.
Th. Если мн-во , то. Иначе: предел в т.и равен, т. и т. т., к.пределы по мн-вамив т.и эти пределы совпадают с.
Пусть функция задана на мн-веи- предельная точка этого множества. Функция называетсянепрерывной в точке , если предел функции в этой точке равен ее значению, т.е.
Функция, непрерывная в каждой точке множества , называетсянепрерывной на множестве
Th: Если функции инепрерывны в точке, то в точкенепрерывны функции.
Функция называется непрерывной слева (справа) в точке, если().
Th: ] левый и правый пределы функциив точке. Для непрерывности функциив точкен. и д., ч. функция в этой точке была непрерывна слева и справа.
Классификация точек разрыва:
Пусть опр-на наи. Точканазываетсяточкой разрыва функции , если в этой точке ф-ция не является непрерывной в этой точке. Изолированная точка не м.б. точкой разрыва.
, но . Тогда т.- т.разрываI рода, разрыв ф-ции устраним.
. Тогда т. - т.разрываI рода, разрыв ф-ции неустраним.
Хотя бы один из односторонних пределов не существует или равен бесконечности. Тогда т. - т.разрываII рода, разрыв ф-ции неустраним.
Функция называется непрерывной на отрезке (на множестве точек, удовлетворяющих неравенствам), если она непрерывна в точках интервала(мн-во точек, для которых), непрерывна справа в точкеи непрерывна слева в точке.
Свойства непрерывных функций на отрезке:
Th: Если функция непрерывной на отрезке , то она ограничена на нем.
Th: Непрерывная на функциядостигает в некоторых точках отрезкасвоих максимума и минимума, т.е. существуют точкии, принадлежащие, для которых имеет место,. Т.о.,для всех.
Th: Если функция явл. непрерывной на отрезке и числаине равны нулю и имеют разные знаки, то на интервалеимеется по крайней мере одна точкатакая, что
Если функция явл. непрерывной на ,и- произвольное число, находящееся между числамии, то на интерваленайдется, по крайней мере, одна точка, для которой
Теоремы о промежуточных значениях непрерывных функций.
Первая теорема Больцано-Коши.
Если ф-я опр-на и непр-на на отрезкеи на концах отрезка принимает значения разных знаков, то м/у точкамии, такая, что.
Док-во:
Делим пополам. Выбираем тот отрезок, в левом конце которого ф-я принимает отриц. значение, а в правом – положительное, обозначим. Если оказалось, что в точке деления ф-я равна нулю, то ч.т.д.
Делим пополам. Если в точке деления ф-я равна нулю, то ч.т.д. Если нет, то делаем описанную выше процедуру.
В итоге получим посл-ть вложенных отрезков: .
По принципу вложенных отрезков .
ч.т.д.
Вторая теорема Больцано-Коши.
Если ф-я опр. и непр. на отр.и на концах этого отрезка принимает разные значения, то для.
Первая теорема Вейерштрасса.
Непрерывная на отрезке функция ограничена.
Вторая теорема Вейерштрасса.
Непрерывная на отрезке функция принимает на этом отрезке свои наибольшее и наименьшее значения.
В данных теоремах отрезок нельзя заменить интервалом или полуинтервалом.
Теорема Кантора.
Функция, непрерывная на отрезке, равномерно непрерывна на этом отрезке.
Функция называетсяравномерно непрерывной на , еслитакое, что
Из равномерной непрерывности функции на , очевидно, следует её непрерывность в каждой точке множества. Обратное неверно.
Функция, непрерывная на отрезке, равномерно непрерывна на этом отрезке.
Если для различных элементовиизф-я ставит в соот-вие два различных эл-таииз, то ф-яназ-ся инъекцией. При этом условии ф-яимеет обратную ф-ю, причем она также будет инъекцией.
Th. Если ф-я строго возрастает (убывает) и непрерывна в некот. промежутке, то в соот-щем промежуткеее значенийобратная ф-я, кот. непр. и строго возр. (убывает).
.
Th. ] ф-я непр в т., а ф-янепр. в т.. Тогда сложная ф-янепр. в т..
Число e.