27. Численное дифференцирование. Численное интегрирование

Применение ряда Тейлора для численного дифференцирования

Разложим f(x+h) в ряд Тейлора, h- мало

(1)

(2)

(1)-(2)

Интерполяционные формулы Ньютона:

Часто интерполирование ведется для функций, заданных таблицами с равноотстоящими значениями аргумента. В этом случаи шаг таблицы (i=0,1,2,…) является величиной постоянной. Для таких таблиц построение интерполяционных формул упрощается.

Пусть функция задана таблицей с постоянным шагом. Разности между значениями функции в соседних узлах интерполяции – конечные разности первого порядка

(i=0,1,2,…).

Из конечных рахностей первого порядка образуются конечные разности второго порядка:

(i=0,1,2,…).

Конечные разности любого порядка могут быть представлены через значения функции

.

Пусть . Тогда

(1)

Эта формула применяется для интерполирования в начале отрезка интерполяции, когда t мало по абсолютной величине.

Когда значение аргумента находится ближе к концу отрезка интерполяции, применяют следующую формулу Ньютона:

(2)

Интерполяционный многочлен Лагража

Используя обозначение , формуле Лагранжа можно придать более сжатый вид

Применение формулы Лагранжа приводит к большому числу однотипных вычислений. Организация вычислений улучшится , если пользоваться специальной схемой.

В таблице показано построение такой схемы для 4 узлов (i=0,1,2,3). Таблица составляется заново для каждого аргумента х.

Заполнение таблицы начинается с того, что вычисляются и заносятся в соответствующие клетки все элементарные разности. Затем вычисляются произведения р разностей по строкам.

.x

- знаменатель в формуле Лагранжа.

Численное интегрирование

На практике в редких случаях удаются точно вычислить интеграл или проинтегрировать обыкновенное диф. уравнение.

В элементарных функциях не вычисляются некоторые интегралы и не интегрируются некоторые уравнения. Тем более невозможно точно найти интеграл, если функция задана таблицей или графиком. В этом случаи используют приближенные методы интегрирования. Формулы для приближенного вычисления однократных интегралов – квадратурные формулы.

, f(x) – непрерывна на [a,b]

- квадратурная, если справедливо .

- число , - веса квадратурной формулы,- точки из [a,b] ,- узлы квадратурной формулы

Формула прямоугольников:

N- количество интервалов разбиения(частичных отрезков), - значениеf в середине частичного отрезка.

Формула трапеций:

N- кол-во интервалов разбиения(частичных отрезков), .

Формула Симпсона:

2N- кол-во интервалов разбиения(частичных отрезков), .