- •5. Линейное пространство. Евклидово и унитарное пространства
- •6. Линейные операторы и их свойства
- •Линейные преобразования евклидова пространства
- •7. Действительные числа. Функция действительной переменной. Предел функции. Непрерывные функции.
- •8. Производная и дифференциал. Производные и дифференциалы высших порядков. Формула Тейлора
- •9. Основные теоремы дифференциального исчисления и их применения
- •10. Первообразная и неопределенный интеграл
- •4. Интегрирование некоторых тригонометрических функций.
- •6. Интеграл вида если функцияR является нечетной относительно cosx.
- •11. Определенный интеграл Римана, его свойства. Применения к вычислению геометрических, физических и механических величин Определенный интеграл
- •12. Функции нескольких действительных переменных.
- •13. Частные производные и дифференцируемость ф-ции в точке. Производные и дифференциалы высших порядков. Равенство смешанных производных
- •14. Неявная и обратная функции. Экстремумы
- •15. Числовые ряды и их сходимость.
- •16. Функциональные последовательности и ряды. Степенные ряды. Ряд Тейлора.
- •2) Дифференцирование степенных рядов.
- •3) Сложение, вычитание, умножение и деление степенных рядов.
- •18. Ряды Фурье. Преобразование Фурье. Интеграл Фурье
- •Разложение в ряд Фурье четных и нечетных функций
- •Разложение в ряд Фурье функций произвольного периода
- •Представление непериодической функции ряда Фурье
- •Тригонометрический ряд Фурье в комплексной области
- •Свойства ряда Фурье
- •- Неравенство Бесселя.
- •- Равенство Парсеваля,
- •Понятие об интеграле Фурье и об преобразовании Фурье
- •19. Мера Лебега, измеримые множества и функции
- •20. Интеграл Лебега и его свойства.
- •21. Ф-ции комплексной переменной. Диф-ние и инт-ние. Теорема Коши.
- •22. Ряды Тейлора и Лорана. Вычеты
- •Аналитические функции и их разложение в степенные ряды.
- •Свойства максимума модуля аналитических и гармонических функций.
- •Ряд Тейлора.
- •Ряд Лорана.
- •Изолированные особые точки аналитических функций и их классификация.
- •Вычеты и основная теорема о вычетах.
- •Применение к вычислению интегралов.
- •23. Математическое моделирование и вычислительный эксперимент
- •24. Численные методы в алгебре
- •Обусловленность систем линейных алгебраических уравнений
- •Вычисление определителей и обращение матриц
- •Итерационные методы
- •Достаточное условие сходимости итерационного процесса
- •25. Решение нелинейных уравнений и систем уравнений
- •26. Приближение функций.
- •27. Численное дифференцирование. Численное интегрирование
- •28. Решение обыкновенного дифференциального уравнения первого порядка методами Эйлера, Эйлера – Коши, Рунге – Кутты. Метод конечных разностей.
- •29. Разностные методы решения задач математической физики.
- •33. Линейные уравнения и системы.
- •34.Линейные уравнения и системы с постоянными коэффициентами
- •35. Устойчивость решений дифференциальных уравнений
- •Простейшие типы точек покоя. Автономные динамические системы двух уравнений первого порядка. Типы особых точек на фазовой плоскости
- •№37 Физические задачи, приводящие к уравнению параболического типа
- •Интеграл Пуассона
- •39. Алгебра логики
- •3. Основные законы логики.
- •4. Логические функции.
- •5. Нормальные формы. Совершенные нормальные формы.
- •Алгоритм построения сднф.
- •6. Арифметические операции в алгебре логики. Полином Жегалкина.
- •7. Полнота и замкнутость (примеры полных систем). Теорема Поста.
- •Свойства отношений.
- •40. Графы и их свойства
- •41. Маршруты в графах и деревья
- •41. Маршруты в графах и деревья
28. Решение обыкновенного дифференциального уравнения первого порядка методами Эйлера, Эйлера – Коши, Рунге – Кутты. Метод конечных разностей.
Обыкновенным дифференциальным уравнением (ду) явл-ся уравнение первого порядка [1], где- заданная непрерывная функция в области . Основная задача, связанная с этим уравнением, известна как задача Коши: найти решение уравнения [1] в виде функции, удовлетворяющей начальному условию. Геометрически это означает, что требуется найти интегральную кривую, проходящую через заданную точку при выполнении равенства[1]. В силу теоремы Пеано задача Коши [1]- имеет решение на некотором отрезке. Если же функцияудовлетворяет условию Липшица по, то задача Коши [1]-имеет единственное решение на отрезке. Если областьвместе с любыми точкамисодержит отрезок, их соединяющий, а функцияимеет ограниченную производную, тоудовлетворяет условию Липшица. При этом. Пусть- прямоугольник, содержащийся в. В силу непрерывности функцияограничена.задача Коши [1]-имеет единственное решение на отрезке, где заможно выбрать любое положительное число, удовлетворяющее условию.
Метод Эйлера
В основе метода ломаных Эйлера лежит идея графического построения решения ду, однако этот метод дает одновременно и способ нахождения искомой функции в численной (табличной) форме.
Пусть дано уравнение с начальным условием. Выбрав достаточно малый шаг, построим, начиная с точкисистему равноотстоящих точек. Вместо искомой интегральной кривой на отрезкерассмотрим отрезок касательной к ней в точке(обозначим еес уравнением).
При из уравнения касательной, откуда видно, что приращение значения функции на первом шаге имеет вид:. Аналогично, проводя касательнуюк некоторой интегральной кривой семейства в точке, получим:, что придает, т.е.получается издобавлением приращения.
Таким образом, получение таблицы значений искомой функции по методу Эйлера заключается в циклическом применении пары формул
Метод Эйлера обладает малой точностью, к тому же погрешность каждого нового шага систематически возрастает. Наиболее приемлемым для практики методом оценки точности является в данном случае способ двойного счета – с шагом и с шагом. Совпадение десятичных знаков в полученных двумя способами результатах дает естественные основания считать их верными.
Метод Эйлера-Коши
Существуют различные уточнения метода Эйлера, повышающие его точность. Модификации метода обычно направлены на то, чтобы более точно определить направление перехода из точки в точку. Метод Эйлера-Коши, например, рекомендует следующий порядок вычислений:
.
Геометрически это означает, что мы определяем направление интегральной кривой в исходной точке и во вспомогательной точке, а в качестве окончательного берем среднее этих направлений.
Методы Эйлера и Эйлера-Коши явл-ся методами Рунге-Кутты 1-2 порядка.
Метод Рунге-Кутта.На практике наиболее распространенным являетсяметод Рунге-Кутта4го порядка. Расчетные формулы этого метода имеют вид:
Итоговое значение получается по формуле
Метод конечных разностей
Краевая задача для линейного ду , где- некоторые непрерывные нафункции, состоит в нахождении его решения, удовлетворяющего двухточечным линейным краевым условиям:, где- постоянные и.
При решении этой задачи методом конечных разностей отрезок разбивается начастей с шагом, где.
Точки разбиения имеют абсциссы .
Значения в точках деления искомой функции и ее производныхобозначим соответственно через.
Заменяя производные правыми односторонними конечноразностными отношениями для внутренних точек отрезка, приближенно будем иметь.
Для концевых точек полагаеми.
Используя формулы , дуприприближенно можно заменить линейной системой уравнений.
Кроме того, в силу формулы краевые условиядополнительно дают еще два уравнения
Т.о., получена линейная система уравнений снеизвестными, представляющими собой значения искомой функции.
Обозначим . После алгебраических преобразований система примет вид
Решив систему, получим таблицу значений искомой функции .
Аппроксимация функций
Из курса математики известны 3 способа задания функциональных зависимостей:
1) аналитический
2) графический
3) табличный
Табличный способ обычно возникает в результате эксперимента.
Недостаток табличного задания функции заключается в том, что найдутся значения переменных, которые неопределенны таблицей. Для отыскания таких значений определяют приближающую к заданной функцию, называемую аппроксимирующей, а действие замены - аппроксимацией.
Аппроксимация заключается в том, что, используя имеющуюся информацию по , можно рассмотреть другую функцию, близкую в некотором смысле к, позволяющую выполнить над ней соответствующие операции и получить оценку погрешности такой замены. Тогда- аппроксимирующая функция.
Интерполяция явл-ся частным случаем аппроксимации. Если требуется получить значение функции для такого значения аргумента , который входит в отрезок, но не совпадает ни с одним из значений, то такая задача наз-сяинтерполяцией – приближенное вычисление значений функций в промежутках между узловыми точками.
При интерполяции требуется совпадение значений исходной и приближающей функции в узлах интерполяции, т.е. в точках . При аппроксимации функции совпадение значения исходной и приближающей функций не требуется.
Классический подход к решению задачи построения аппроксимирующей функции основывается на требовании строгого совпадения исходного и приближенного значений функцийив точках, т.е.. Будем искать функцию в следующем виде:. Получаем систему алгебраических уравнений с неизвестными. Система всегда имеет единственное решение, т.к. определитель не равен 0.чаем систему алгебраических уравнений с неизвестными значений фуй функций не требуется.
интерполяционный многочлен для функции, заданной таблично, имеет степень не большую.
Для определения коэффициентов применяют интерполяционные многочлены специального вида, к ним относится и многочлен Лагранжа , который имеет вид, где. В точках отличных от узлов интерполяции полином Лагранжа в общем случае не совпадает с заданной функцией.