- •5. Линейное пространство. Евклидово и унитарное пространства
- •6. Линейные операторы и их свойства
- •Линейные преобразования евклидова пространства
- •7. Действительные числа. Функция действительной переменной. Предел функции. Непрерывные функции.
- •8. Производная и дифференциал. Производные и дифференциалы высших порядков. Формула Тейлора
- •9. Основные теоремы дифференциального исчисления и их применения
- •10. Первообразная и неопределенный интеграл
- •4. Интегрирование некоторых тригонометрических функций.
- •6. Интеграл вида если функцияR является нечетной относительно cosx.
- •11. Определенный интеграл Римана, его свойства. Применения к вычислению геометрических, физических и механических величин Определенный интеграл
- •12. Функции нескольких действительных переменных.
- •13. Частные производные и дифференцируемость ф-ции в точке. Производные и дифференциалы высших порядков. Равенство смешанных производных
- •14. Неявная и обратная функции. Экстремумы
- •15. Числовые ряды и их сходимость.
- •16. Функциональные последовательности и ряды. Степенные ряды. Ряд Тейлора.
- •2) Дифференцирование степенных рядов.
- •3) Сложение, вычитание, умножение и деление степенных рядов.
- •18. Ряды Фурье. Преобразование Фурье. Интеграл Фурье
- •Разложение в ряд Фурье четных и нечетных функций
- •Разложение в ряд Фурье функций произвольного периода
- •Представление непериодической функции ряда Фурье
- •Тригонометрический ряд Фурье в комплексной области
- •Свойства ряда Фурье
- •- Неравенство Бесселя.
- •- Равенство Парсеваля,
- •Понятие об интеграле Фурье и об преобразовании Фурье
- •19. Мера Лебега, измеримые множества и функции
- •20. Интеграл Лебега и его свойства.
- •21. Ф-ции комплексной переменной. Диф-ние и инт-ние. Теорема Коши.
- •22. Ряды Тейлора и Лорана. Вычеты
- •Аналитические функции и их разложение в степенные ряды.
- •Свойства максимума модуля аналитических и гармонических функций.
- •Ряд Тейлора.
- •Ряд Лорана.
- •Изолированные особые точки аналитических функций и их классификация.
- •Вычеты и основная теорема о вычетах.
- •Применение к вычислению интегралов.
- •23. Математическое моделирование и вычислительный эксперимент
- •24. Численные методы в алгебре
- •Обусловленность систем линейных алгебраических уравнений
- •Вычисление определителей и обращение матриц
- •Итерационные методы
- •Достаточное условие сходимости итерационного процесса
- •25. Решение нелинейных уравнений и систем уравнений
- •26. Приближение функций.
- •27. Численное дифференцирование. Численное интегрирование
- •28. Решение обыкновенного дифференциального уравнения первого порядка методами Эйлера, Эйлера – Коши, Рунге – Кутты. Метод конечных разностей.
- •29. Разностные методы решения задач математической физики.
- •33. Линейные уравнения и системы.
- •34.Линейные уравнения и системы с постоянными коэффициентами
- •35. Устойчивость решений дифференциальных уравнений
- •Простейшие типы точек покоя. Автономные динамические системы двух уравнений первого порядка. Типы особых точек на фазовой плоскости
- •№37 Физические задачи, приводящие к уравнению параболического типа
- •Интеграл Пуассона
- •39. Алгебра логики
- •3. Основные законы логики.
- •4. Логические функции.
- •5. Нормальные формы. Совершенные нормальные формы.
- •Алгоритм построения сднф.
- •6. Арифметические операции в алгебре логики. Полином Жегалкина.
- •7. Полнота и замкнутость (примеры полных систем). Теорема Поста.
- •Свойства отношений.
- •40. Графы и их свойства
- •41. Маршруты в графах и деревья
- •41. Маршруты в графах и деревья
26. Приближение функций.
Интерполирование алгебраическими многочленами.
Пусть известное зн-е некот. ф-и обр-т след. таб-цу:
x |
x0 |
x1 |
… |
xn |
f(x) |
y0 |
y1 |
… |
yn |
(1).При этом требуется получить зн-я ф-и f для такого зн-я аргумента х, кот. Входит в [x0,xn], но не совподает ни с одним из зн-й xi i=0,n.
Применяется прием построения по исх. инф-ции приближ. ф-я F, кот. в некот. смысле близка к ф-и f и аналитическим выражением, кот. можно воспользоваться для выч-я зн-я ф-и f ,т.е
f(x) F(x). При интерпол-ции ф-я проходит через т.(xi,yi) i=0,1…,n , т.е. f(xi)=F(x0), f(x1)=F(x1), f(xn)=F(xn). Т. x0, x1,…, xn наз. узлами интерпол-ции. Будем искать приближ. ф-ю в виде алгебр. многочлена:
F(x)=a0xn+ a1xn-1+…+ an-1x+an (2)
f(x0)= a0xn0+ a1xn-10+…+ an-1x0+an
f(x1)= a0xn1+ a1xn-11+…+ an-1x1+an
…
f(xn)= a0xnn+ a1xn-1n+…+ an-1xn+an
Ф-я (1) позволяет однозначно определить коэф-ты многоч-на (2). Требуя выполнение этих условий получим систему из (n+1) ур-й с (n+1) неизвест-м. Решая эту систему отн-но неизвестных a0, a1,…, an-1, an получим аналитическое выраж-е полином. Система всегда имеет единст.реш., поскольку ее определитель(Вандермольда) отл. от нуля:. Следовательно, интерполяционный многочлен (2) для функции, заданной таблично существует и единственный.
Погрешность интерполяционной формулы.
Если известно аналитическое выражение интерполяционной функции f(x), то можно применять формулы для оценки погрешности интерполирования, т.е. если Fn(x), то . Пустьf(x) имеет все производные до n+1 порядка включительно. Введем вспомогательную функцию , где к =const. Функция имеетn+1 корень (узлы интерполяции ). Подберем коэф-т к так, чтобы ф-яимелаn+2 корень в любой точке не равной.
При этом значении ф-ябудет иметьn+2 корня на отрезке интерполяции и будет обращаться в 0 на конце каждого из n+1 отрезка
Теорема Роля: пусть ф-я f(x) определена и непрерывна в замкнутом промежутке (a,b), существует конечная производная по - крайней мере в открытом промежутке (a,b) и на концах промежутка ф-я принимает равные значения, т.е. , тогда найдется т., в которой.
Интерполяция сплайнами.
Сплайн – это ф-я, которая на каждом частичном отрезке интерполяции является алгебраическим многочленом, а на всем заданном отрезке непрерывна вместе с несколькими своими производными.
Рассмотрим способ построения сплайнов 3-й степени или кубических сплайнов. Пусть f задана
xi |
x0 |
x1 |
… |
xn |
yi |
y0 |
y1 |
… |
yn |
Длину частичного отрезка обоз. черезh: h=. Будем искать частичный сплайн на каждом из частичных отрезковв след. виде: (1). Здесь- неизвестный коэф-ты. Потребуем совпадения значений ф-йс табличными значениями ф-иf.
Число этих уравнений 2n – штук, вдвое меньше числа неизвестных коэф-ов. Чтобы получить дополнительное условие потребуем непрерывности 1 и 2 производной от во всех точках, включая узлы. Для этого следует приравнять левые и правые производные ф-иво внутреннем узле
Уравнения (2) и (3) в совокупности дают еще 2(n-1) условий, не достают еще 2 условия. Обычно в качестве этих условий берут требования к поведению сплайна в конечных точках x0 и xn. Если потребовать нулевой кривизны сплайна на концах отрезка , то получим
Решая систему получим значения неизвестных , определяемых совокупность всех форм для искомого интерполяционного сплайна:
Дробно-рациональные приближения.
Пусть приближающая ф-я находится в виде: . Очевидно, что. Заменяем значенияиих обратными величинами по формуламии ищем для новой таблицы приближающую ф-ю вида. Найденные значенияибудут искомыми для нашей формулы. Необходимым условием для выбора дробно-рациональной функции в качестве искомой эмпирической формулы является соотношение:.
Среднеквадратичные приближения.
Будем искать приближающую ф-ю в виде квадратного трехчлена . Находим частные производные:. Составим систему вида
После преобразований получается система трех линейных уравнений с тремя неизвестными . Коэф-ты системы находятся по известным данным исходной таблицы из системы:, где
Решение последней системы дает значения параметров для приближающей ф-и.
Метод наименьших квадратов.
Пусть в результате измерений в процессе опыта получена таблица некоторой зависимости f
x |
x0 |
x1 |
… |
xn |
f(x) |
y0 |
y1 |
… |
yn |
Нужно найти формулу, выражающую эту зависимость аналитически. Будем искать ф-ю заданного вида , которая в точкахпринимает значения как можно более близкие к табличным значениям. Предположим, что приближающая ф-яв точкахимеет значения. Требования близости табличных значенийи значений. Можно истолковать следующим образом. Будем рассматривать совокупность значений ф-иf из таблицы и совокупностькак координаты точек- мерного пространства. С учетом этого задача приближения ф-и может быть переформулирована: найти такую ф-юзаданного вида, чтобы расстояние между точкамиибыло наименьшим. Воспользовавшись метрикой евклидово пространства, приходим к требованию, чтобы величинабыла наименьшей, что равносильно следующему: сумма квадратовдолжна быть наименьшей. Таким образом, задачу приближения ф-и методом наименьших квадратов можно сформулировать следующим образом: для ф-иf, заданной таблицей, найти ф-ю определенного вида так, чтобы сумма квадратов была наименьшей.