Применение к вычислению интегралов.

, х- угол

Когда т.при изменении,описывает единичную окрестность, то

23. Математическое моделирование и вычислительный эксперимент

Решение уравнений – одна из древнейших математических проблем. Предпочтительными являются аналитические методы решения, позволяющие получить его в виде формулы. Примерами являются линейные и квадратные уравнения, простейшие показательные, логарифмические и тригонометрические. Тем не менее, подавляющее большинство уравнений, встречающихся в приложениях, не могут быть решены аналитически.

Численные методы решения уравнений являются гораздо более мощными, нежели аналитические. Они позволяют получать решения множества уравнений, совершенно недоступных для аналитических методов. Численные методы в настоящее время относятся к основным методам решения задач математики и различных ее приложений. Они характеризуются тем, что сводят процесс решения математической задачи к некоторой конечной последовательности операций над числами и приводят к результатам, представленным в виде чисел, числовых векторов и матриц, числовых таблиц и т. п.

В общем случае процесс решения задач с использованием ЭВМ состоит из следующих этапов:

1. Постановка задачи и построение математической модели (этап моделирования);

2. Выбор метода и разработка алгоритма (этап алгоритмизации);

3. Запись алгоритма на языке, понятном ЭВМ (этап программирования);

4. Отладка и исполнение программы на ЭВМ (этап реализации);

5. Анализ полученных результатов (этап интерпретации).

Решение задачи начинается с описания исходных данных и целей на языке строго определенных математических понятий. Выделяя наиболее существенные свойства реального объекта, исследователь описывает их с помощью математических соотношений. Погрешности появляются уже на первом этапе, ибо математическая модель задачи – это приближенное, идеализированное описание задачи на языке математики. При моделировании объекты и процессы задачи – оригинала, взаимосвязи между ее параметрами заменяются на математические понятия и соотношения. Учитывают лишь наиболее важные параметры, условия и особенности исходной задачи. Понятно, что чем меньше факторов отбрасывается, тем точнее получается модель.

После того как математическая модель построена и определены исходные данные, необходимо подобрать метод решения полученной математической задачи. Круг математических методов условно подразделяются на аналитические, численные и графические методы. Численные методы, в свою очередь, делятся на точные и приближенные.

Численный метод называются точным, если он дает принципиальную возможность после выполнения конечного числа операций над точными числами получить точное решение задачи. К таким методам относится, например, алгоритм решения квадратного уравнения. Часто методы сопряжены с бесконечными вычислительными процессами. Например, поиск точного значения функции может свестись к нахождению суммы числового ряда, что в общем случае практически осуществить невозможно. Вследствие этого основным инструментом вычислительной математики являются приближенные численные методы, приводящие обычно к приближенным результатам даже при точных исходных данных и точных вычислениях. Анализ погрешностей является неотъемлемой частью процесса решения. Часть погрешностей связана с вычислениями, которые в наше время производятся на ЭВМ. Ошибка не возникает исключительно в результате промахов вычислителя; от этих ошибок нельзя избавиться только путем усиления внимания к процессу измерений и вычислений. Задача анализа ошибок сводится, к отысканию их надежных границ и к соблюдению условий, обеспечивающих их минимальное распространение.

Возникновение, накопление и распространение ошибок проходят через все стадии решения задачи, начиная с получения значений исходных данных.

В ЭВМ используются в основном два способа представления чисел: с естественным размещением запятой и с плавающей запятой. Способ представления чисел в форме с плавающей запятой имеет вид a = M*10^p, где число M называется мантиссой, p – показателем. Чтобы избежать неоднозначности представления чисел, используют нормализованные числа. Например, если 0.1≤M≤1, то число a называется нормализованным. У обоих чисел M и p кол-во разрядов конечно, поэтому имеется конечное множество чисел с плавающей точкой. Существуют наибольшее и наименьшее числа с плавающей точкой, т.е. все представимые числа в ЭВМ удовлетворяют неравенству: 0 < X₀ ≤ |x| < X_∞. Если результат операции превышает X_∞, то происходит переполнение, и для большинства компьютеров данное вычисление заканчивается. Все числа, по модулю большие X_∞, не представимы в ЭВМ и рассматриваются как машинная бесконечность. Если результатом операции является число, слишком близкое к нулю, то компьютеры заменят результат нулем, т.е. все числа по модулю меньшие X₀, рассматриваются как машинный нуль. При сложении машинных чисел различной величины результат может оказаться точно равен одному из слагаемых. Наименьшее число с плавающей запятой, которое при сложении с числом 1 дает результат, больший, чем 1, называется машинным эпсилон и обозначается ε_M. Машинный эпсилон определяет относительную погрешность арифметики компьютера.

Пусть X – истинное значение некоторой величины, а x – ее известное приближение. Абсолютной погрешностью приближенного значения x называется величина ε_x=|X-x|. ε_x в большинстве случаев остается неизвестной для вычислителя, т.к. для её вычисления нужно знать точное значение X. На практике обычно удается установить такое число Δx, для которого выполняется |X-x|= Δx, где Δx – граница абс. погрешности приближения x. Качество приближенных значений измеряется с помощью относительной погрешности, которая определяется как отношение ошибки ε_x к модулю значения X (когда оно не известно – к модулю приближения x). Границей относительной погрешности δ_x приближенного числа называется отношение предельной абсолютной погрешности к абсолютному значению приближения x: . Относительную погрешность выражают обычно в процентах.