Тригонометрический ряд Фурье в комплексной области

,

- это комплексная форма комплексного ряда Фурье.

[-l, l] .

Свойства ряда Фурье

Пусть дан ряд Фурье:

Справедлива теорема:

Для любой ортонормированной системы e_n и любой функции f(x) c условием справедливо неравенство:

- Неравенство Бесселя.

Это условие означает, что ряд из коэффициентов Фурье сходится по метрике . Если выполняется равенство:

- Равенство Парсеваля,

в этом случае ортонормированная система e_n – замкнута.

Из этого равенства => - это означает, что ряд сходится к суммеf.

Опр. Система e_n называется полной в l₂, если множество линейных комбинаций функций этой системы плотно в l₂, т.е. замыкание этого множества совпадает с множеством l₂.

Теорема:

Полнота системы e_n равносильна выполнению равенства Парсеваля для любых f из l₂.

Теорема:

Если функция гладкая, то ряд Фурье сходится равномерно к этой функции.

Понятие об интеграле Фурье и об преобразовании Фурье

Интеграл Фурье имеет вид:

несобственные интегралы понимаются в смысле главного значения:

функция вида -преобразование Фурье функции f(x).

Функцию F(x) называют обратным преобразованием Фурье функции g(x).

Замечание: Как правило, F(x) = f(x).

Часто в преобразовании Фурье вместо 1 берут , вместо-.

Свойства:

1. Если , тоg(y) непрерывно на

2. Если , топри.

3. Если и в некоторой δ-окрестности точкаx₀ (δ(x₀)) имеет ограниченную вариацию, то F(x₀) = f(x₀).

4. Если , то преобразование Фурье имеетk-производных.

Теорема: (Равенство Планшереля)

Пусть дано φ

преобразование Фурье дляf(x) и для φ(x);

тогда справедливо равенство:

19. Мера Лебега, измеримые множества и функции

Мера-аналог длины.

Элементарным множеством наз. множество, которые можно представить в виде (хотя бы одним способом) объединения попарно не пересекающихся прямоугольников. мера прямоугольника — это его площадь.

, A_n — прямоугольники, — мера элементарных множеств, где— площадь прямоугольника.

Если А и В – элементарные множества, то А U В, А ∩В, А \ В, А ∆ В (симметричная разность) тоже элементарные.

Пусть А –неэлементарное множество, произвольное ограниченное множество. Тогда выбирают покрытие конечным числом прямоугольников и вводят понятие внешней меры.

Внешней мерой множества А называется число , гдеP_k –покрытие.

Если А — элементарное мн-во, то

Теорема. Если , то

Множество А называется измеримым в смысле Лебега, если для

В:| (А Δ В=(А\В)(В/А)), т.е. внешняя мера сим. разности А иB меньше ε

Функция , рассматриваемая на измеримых в смысле Лебега множествах, называется лебеговой мерой:.

Множество измеримо, если его можно сколь угодно точно приблизить к элементарным множествам.

Теоремы об измеримых множествах

1) Дополнение измеримого множества измеримо

2) Объединение или пересечение конечного числа измеримых множеств измеримо.

3) Разность и симметричная разность двух измеримых множеств измеримы.

4) Если А₁,…,Аn попарно непересекающиеся измеримые множества, то

5) Если А – измеримо, то его мера считается следующим образом (Е — универсальное мн-во):

6) Сумма и пересечение счетного числа измеримых множеств есть измеримое множество.

7) Счетная аддитивность (–аддитивность)меры: ЕслиA₁,…,A_n,…– попарно непересекающиеся измеримые множества, то

8) Из счетной аддитивности мер следует непрерывность меры: если , то

9) Если А_1….А_n… т.е. , то

Определение: Множество наз множеством меры нуль, если для каждого ε > 0 сущ. конечная или счетная система отрезков {[α_n, β_n]} такая, что: 1. мн-во М покрывается отрезками этой с-мы, т.е. 2. сумма длин отрезков {[α_n, β_n]}< ε, т.е. . Примером мн-ва меры нуль явл. мн-во рациональных чисел:

Д-во: рац. числа отрезка [a, b] образуют счетное мн-во, т.е. их можно занумеровать: r₁,…r_n,…. Тогда для данного ε > 0 и каждого рац. числа r_n построим отрезок 1)2), т.е. согласно определению мн-во— мн-во меры нуль.

Примеры: 1) всякое огранич. множество А, внешняя мера которого равна 0, измерима. При этом выполняется равенство:

2) Всякое подмножество множества меры нуль измеримо и его мера равна нулю.

3) Всякое ограниченное, не более чем счетное множество измеримо и его мера равна нулю.

4) Мера ограниченного открытого мн-ва — это сумма длин составляющих его интервалов, т.е. оно измеримо.

Замкнутое ограниченное мн-во измеримо как дополнение измеримого мн-ва.

Любое измеримое множество с положительной лебеговой мерой содержит неизмеримое подмножество.

Измеримые функции

Пусть функция задана на множествеE.

Функция называется измеримой на этом множестве, если измеримы для любых действительныхмножества:

={xE, f(x)>a},,,

Замечание: Достаточно потребовать измеримости одного из четырех множеств.

Две функции и, заданные на множестве Е, называются равными почти всюду на Е (эквивалентные на Е)f ~ g, если множество точек Е, в кот. имеет меру = 0, т.е.f ~ g,

Отношение эквивалентности обладает всеми свойствами: транзитивность, рефлективность, симметричность.

Теоремы об измеримых функциях

1. Если f измерима на Е, то на Е измеримы функции:

1) ; 2); 3); 4); 5)на Е

2). Если две функции и измеримы на Е, то на Е измеримы функции:

, ,

3). Если функция – непрерывна на измеримом множестве Е, то она измерима на нем.

Свойства измеримости ф-ий:

1. если μЕ=0 , то f измерима на Е;

2. f измерима на Е, и измеримо, тоf измеримо на Е₁;

3. если мн-во {E_k} не более, чем счетное сем-во измеримых мн-в и f измерима на E_k для любого k, то f измерима на

4. если f ~ g измерима на Е и f измерима на Е, то g измерима на Е.

5. f ~ c (константа) измерима на Е, то f измерима на Е.

Пример неизмеримой ф-ии: , если М — неизмеримое подмн-во

Последовательности неизмеримых функций:

Последовательность функций f_k называется сходящейся к почти всюду на Е, если мн-во точек, в кот. она не сходится имеет меру нуль, т.е.почти всюду.

Теорема: если f_k измерима на Е и , тоf измерима на Е.

Пусть функции иизмеримы на Е, последовательностьназывается сходящейся кпо мере, если

Замечание. Существуют последовательности функций, которые сходятся по мере, но не сходятся почти всюду.

Теорема: Если послед-ть сходится кпо мере, то эта последовательность сходится кпочти всюду .

Теорема Рисса. Если последовательность сходится кпо мере на Е, то существует подпоследовательностьсходится к почти всюду на Е.

Теорема Егорова: Если послед-ть сходится кf на Е почти всюду, то мн-вои наравномерно сходится кf .

Теорема Лузина: Если f измерима и ограничена на отрезке [a, b], то — замкнутое подмн-во отрезка [a, b], тогда ф-ия φ – непрерывная на [a, b] . f = φ на F .