Ряд Лорана.

Пусть - аналитическая в кольце

Т- ма: Функцию , аналитич. в кольце, можно разложить в ряд по положительным и отрицательным степеням,которая будет сходиться во всех т. кольца

- ряд Лорана.

Изолированные особые точки аналитических функций и их классификация.

Опр.: Особая т.называетсяизолированной особой точкой однозначного характера (ИОТОХ), если около неё можно взять такую достаточно малую окрестность, что выбросив из неё т. получим двусвязную область. в которой ф- ция аналитическая.

Т- ма: В окрестности ИОТОХ функцию можно разложить в ряд Лорана по положительным и отрицательным степеням, выражающей функцию в круге.

Опр.: Если в окрестности ИОТОХ ф- ция разложена в ряд Лорана, то часть разложения по положительным степеням называетсярегулярной частью, а по отрицательным степеням -главной.

Опр.: ИОТОХ называется устранимой, если главная часть отсутствует, т. е. разложение имеет вид: верно в круге,в т.разрыв у, если, то ф- ция станет непрерывной.

Т- ма: (Поведение функции в окрестности устранимой особой точке)

При приближении аргумента к у. о. т. ф- цияконечному пределуограниченна и наоборот, если в окрестности ИОТОХ ф- ция ограниченна, то эта особая т. устранима.

Опр.: ИОТОХ называется полюсом, если главная часть содержит конечное число членов. Полюс бывает простой и порядка , где- низшая отрицательная степень разностиглавной части разложения.

до простого полюса: ,.

Т- ма: (Поведение функции в окрестности полюса)

Когда аргумент произвольным образом стремится кполюсу, тобесконечно растёт и наоборот, если при приближении произ. образом к ИОТОХ, то особая т. – полюс.

Связь между нулями и полюсами.

Т- ма: 1)Если есть 0 кратностидля ф- ции,тоесть полюс порядкадля ф- ции. 2) Еслиесть полюс порядкадля ф- ции, тоесть ноль ф- циикратности.

Опр.: ИОТОХ называется существенно особой точкой, если главная часть содержит бесконечное число членов (весь ряд Лорана).

Т- ма: (Поведение функции в окрестности существенно особой точке)

Какую бы малую окрестность существенно особой т. мы не взяли, ф- ция в ней не огранич. и принимает значения как угодно мало отличающиеся от любого наперёд заданного числа и наоборот.

Вычеты и основная теорема о вычетах.

Опр.: Вычетом функции относительно ИОТОХ(изолированная особая точка однозначного характера)[функция в этой точке однозначна], называется величина. Где- замкнутая кривая и обходит т. а(особая) против часовой стрелки. Криваясодержит внутри себя рассматриваемую особую точку и никаких других особых точек.

Зам.: Значение вычета от выбора кривой не зависит.

Теорема: (основная теорема теории вычетов)

Пусть кривая ограничивает односвязанную область Д. а функция регулярна во всех точках области и кривой, кроме конечного числа полюсов и существенно особых точек, лежащих в области Д, но не на кривой, тогда интеграл от функций по кривой, умноженный на сумму вычетов функции относительно всех особых точек, лежащих внутри области Д:

Д- во: Выделяем окрестности так, чтобы они не пересекались

по теореме Коши для

многосвязанной области

Т- ма: Вычет ф- ции относит. полюса или сущ-но особой т. равен коэф- ту при первой отрицательной степени в разложении ф- ции в ряд Лорана в окрестности рассматриваемой особой точке.