- •5. Линейное пространство. Евклидово и унитарное пространства
- •6. Линейные операторы и их свойства
- •Линейные преобразования евклидова пространства
- •7. Действительные числа. Функция действительной переменной. Предел функции. Непрерывные функции.
- •8. Производная и дифференциал. Производные и дифференциалы высших порядков. Формула Тейлора
- •9. Основные теоремы дифференциального исчисления и их применения
- •10. Первообразная и неопределенный интеграл
- •4. Интегрирование некоторых тригонометрических функций.
- •6. Интеграл вида если функцияR является нечетной относительно cosx.
- •11. Определенный интеграл Римана, его свойства. Применения к вычислению геометрических, физических и механических величин Определенный интеграл
- •12. Функции нескольких действительных переменных.
- •13. Частные производные и дифференцируемость ф-ции в точке. Производные и дифференциалы высших порядков. Равенство смешанных производных
- •14. Неявная и обратная функции. Экстремумы
- •15. Числовые ряды и их сходимость.
- •16. Функциональные последовательности и ряды. Степенные ряды. Ряд Тейлора.
- •2) Дифференцирование степенных рядов.
- •3) Сложение, вычитание, умножение и деление степенных рядов.
- •18. Ряды Фурье. Преобразование Фурье. Интеграл Фурье
- •Разложение в ряд Фурье четных и нечетных функций
- •Разложение в ряд Фурье функций произвольного периода
- •Представление непериодической функции ряда Фурье
- •Тригонометрический ряд Фурье в комплексной области
- •Свойства ряда Фурье
- •- Неравенство Бесселя.
- •- Равенство Парсеваля,
- •Понятие об интеграле Фурье и об преобразовании Фурье
- •19. Мера Лебега, измеримые множества и функции
- •20. Интеграл Лебега и его свойства.
- •21. Ф-ции комплексной переменной. Диф-ние и инт-ние. Теорема Коши.
- •22. Ряды Тейлора и Лорана. Вычеты
- •Аналитические функции и их разложение в степенные ряды.
- •Свойства максимума модуля аналитических и гармонических функций.
- •Ряд Тейлора.
- •Ряд Лорана.
- •Изолированные особые точки аналитических функций и их классификация.
- •Вычеты и основная теорема о вычетах.
- •Применение к вычислению интегралов.
- •23. Математическое моделирование и вычислительный эксперимент
- •24. Численные методы в алгебре
- •Обусловленность систем линейных алгебраических уравнений
- •Вычисление определителей и обращение матриц
- •Итерационные методы
- •Достаточное условие сходимости итерационного процесса
- •25. Решение нелинейных уравнений и систем уравнений
- •26. Приближение функций.
- •27. Численное дифференцирование. Численное интегрирование
- •28. Решение обыкновенного дифференциального уравнения первого порядка методами Эйлера, Эйлера – Коши, Рунге – Кутты. Метод конечных разностей.
- •29. Разностные методы решения задач математической физики.
- •33. Линейные уравнения и системы.
- •34.Линейные уравнения и системы с постоянными коэффициентами
- •35. Устойчивость решений дифференциальных уравнений
- •Простейшие типы точек покоя. Автономные динамические системы двух уравнений первого порядка. Типы особых точек на фазовой плоскости
- •№37 Физические задачи, приводящие к уравнению параболического типа
- •Интеграл Пуассона
- •39. Алгебра логики
- •3. Основные законы логики.
- •4. Логические функции.
- •5. Нормальные формы. Совершенные нормальные формы.
- •Алгоритм построения сднф.
- •6. Арифметические операции в алгебре логики. Полином Жегалкина.
- •7. Полнота и замкнутость (примеры полных систем). Теорема Поста.
- •Свойства отношений.
- •40. Графы и их свойства
- •41. Маршруты в графах и деревья
- •41. Маршруты в графах и деревья
35. Устойчивость решений дифференциальных уравнений
Устойчивость решений по Ляпунову
Пусть дана система обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ):
(i = 1…n).
, где y – вектор с координатами (y1,…,yn), y = (y1,…,yn), f = (f1,…,fn). Норма: Пусть начальные данные задаются приx = x0.
Опр: решение y = y0(x) системы (1) называется устойчивым по Ляпунову, при , если> 0,x ≥ x0 для любого решения этой системы.
|| y(x) – y0(x)|| <при ||y(x0)– y0(x0)| <.
Если, кроме того, при достаточно малых ||y(x) – y0(x)||, то решение (2) называется асимптотически устойчивым при . При этом предполагается, что функцияy0(x) определяется для всех x ≥ x0, а система (1) определена в некоторой окрестности y = y0(x), вида: || y(x) – y0(x)|| < M при x ≥ x0.
Очевидно, всегда можно рассматривать случай y0(x)0, взяв вместоy(x) новую неизвестную функцию y(x) – y0(x). Функции fi, yi и х считаются действительными.
Устойчивость означает, что малые изменения начальных условий приводят к малому отличию решений при x ≥ x0, а асимптотическая устойчивость означает, что при малом отличии начальных данных, решения неограниченно приближаются к y0(x) при .
Пример 1: Рассмотрим уравнение ,y = c – решение. Начальное условие: y(x0) = 0, y = 0. Будет ли это решение устойчивым?
Решение y = y0 устойчиво, но асимптотической устойчивости нет.
Пример 2: (a = const, a ≠ 0). Начальное условие: y(x0) = y0.
Решение: y(x0) = 0, y = 0.
Решение устойчиво асимптотически.
Пример 3: x(t)0x(t0)0.
Решение неустойчиво при
Действительно, общее решение имеет вид: При t, x0≠0: x(t)|Следовательно, при достаточно больших
t > t0 неравенство |x(t) - 0| < не выполняется.x(t)0 – неустойчивое решение.
При исследовании устойчивости и асимптотической устойчивости важную роль играет теорема Ляпунова.
Теорема Ляпунова об устойчивости и асимптотической устойчивости:
Пусть для некоторого > 0 правая часть системы (1)определена и непрерывна прии ||y || < иf(x, 0)0. Пусть при тех же значенияхy существует непрерывно дифференцируемая «функция Ляпунова»: V(y) ≥ 0 и равна нулю лишь в начале координат.
а) Если то нулевое решениеy(x) 0 системы (1) устойчиво.
б) Если где≥ 0 – некоторая непрерывная функция (W(0)=0, W(y)≠0 при y≠0), равна нулю лишь в начале координат, то нулевое решение асимптотически устойчиво.
Теорема имеет простой геометрический смысл. Пусть n=2 и пусть линии V=c (c=const) замкнутые линии, содержащие начало координат. Причем линия с меньшим значением с лежит внутри линии с большим значением с. Тогда (3) означает, что интегральные линии, имеющие общую точку с линией V=c, не выходят из области, ограниченной этой линией. Откуда и следует устойчивость нулевых решений y1 0, y2 0 (т.е. начало координат на плоскости y1, y2).
При выполнении более сильного условия (4), интегральные линии пересекают линию Vc снаружи внутрь (см. рис.), т.к.
(> 0).
, следовательно, все интегральные линии, при , → к началу координат, что означает асимптотическую устойчивость нулевого решения.
Замечание: заметим, что левые части неравенств (3) и (4) есть производные , взятые вдоль интегральных линий системы (1). (Говорят, производная взята вдоль системы (1).)
Теорема Четаева о неустойчивости:
Если существует дифференцируемая функция V(y), удовлетворяющая в некотором замкнутом шаре Tr условиям:
в сколь угодно малой окрестности U начала координат областьU0, в которой V>0, причем V=0 на лежащей в U части границы U0;
в области U0 производная , причем в области, где, производная,
то нулевое решение системы (1) неустойчиво. y1 0, y1 0,…,yn 0.
Зад. Исследовать на устойчивость нулевое решение системы:
Пример 1: (– эта пара функций образует нулевое решение системы)
(функция V-неотрицательная, имеет непрерывные частные производные, обращается в 0 в единственной точке)
Условие (3) выполнено, нулевое решение устойчиво. Асимптотической устойчивости нет. Интегральными линиями будут окрестности, которые прине → к нулю.
Пример 2:
Нулевое решение асимптотически устойчиво.
Пример 3:
при
по теореме Четаева нулевое решение неустойчиво.
Метод функций Ляпунова оказывается универсальным и эффективным методом для широкого круга задач теории устойчивости. Недостаток метода в том, что не существует достаточно общего конструктивного способа для нахождения функций Ляпунова.
В простейших случаях функции Ляпунова следует искать в виде:
Пусть функции (1) fi имеют вид:
где
Теорема Ляпунова об устойчивости по первому приближению:
Пусть
При всех x ≥ x0 и при всех y, с достаточно малой нормой ||y||, норма (α, М -const), и функции gi непрерывны по совокупности переменных. Тогда, если действительные части всех корней уравнения | λE – A | = 0 отрицательны, то нулевое решение системы (1) асимптотически устойчиво. Если хотя бы один из корней имеет положительную действительную часть, то нулевое решение не устойчиво. Без док-ва.
Для определения знака действительной части корня уравнения | λE – A | = 0 нет необходимости решать это уравнение. Определитель нужно раскрыть и записать его в виде многочлена относительно λ: Для того, чтобы действительные части всех корней уравнения (5) были положительными, н. и д. выполнение одного из условий:
а) условие Гаусса – Гурвица: положительны все главные миноры матрицы Гурвица:
б) условие Льенара – Шипора: ai > 0 (i=1…n), миноры ∆n-1 > 0, ∆n-3 >0, ∆n-5 >0,… .
∆1 = , ∆2 = ∆3 = ,… .