- •5. Линейное пространство. Евклидово и унитарное пространства
- •6. Линейные операторы и их свойства
- •Линейные преобразования евклидова пространства
- •7. Действительные числа. Функция действительной переменной. Предел функции. Непрерывные функции.
- •8. Производная и дифференциал. Производные и дифференциалы высших порядков. Формула Тейлора
- •9. Основные теоремы дифференциального исчисления и их применения
- •10. Первообразная и неопределенный интеграл
- •4. Интегрирование некоторых тригонометрических функций.
- •6. Интеграл вида если функцияR является нечетной относительно cosx.
- •11. Определенный интеграл Римана, его свойства. Применения к вычислению геометрических, физических и механических величин Определенный интеграл
- •12. Функции нескольких действительных переменных.
- •13. Частные производные и дифференцируемость ф-ции в точке. Производные и дифференциалы высших порядков. Равенство смешанных производных
- •14. Неявная и обратная функции. Экстремумы
- •15. Числовые ряды и их сходимость.
- •16. Функциональные последовательности и ряды. Степенные ряды. Ряд Тейлора.
- •2) Дифференцирование степенных рядов.
- •3) Сложение, вычитание, умножение и деление степенных рядов.
- •18. Ряды Фурье. Преобразование Фурье. Интеграл Фурье
- •Разложение в ряд Фурье четных и нечетных функций
- •Разложение в ряд Фурье функций произвольного периода
- •Представление непериодической функции ряда Фурье
- •Тригонометрический ряд Фурье в комплексной области
- •Свойства ряда Фурье
- •- Неравенство Бесселя.
- •- Равенство Парсеваля,
- •Понятие об интеграле Фурье и об преобразовании Фурье
- •19. Мера Лебега, измеримые множества и функции
- •20. Интеграл Лебега и его свойства.
- •21. Ф-ции комплексной переменной. Диф-ние и инт-ние. Теорема Коши.
- •22. Ряды Тейлора и Лорана. Вычеты
- •Аналитические функции и их разложение в степенные ряды.
- •Свойства максимума модуля аналитических и гармонических функций.
- •Ряд Тейлора.
- •Ряд Лорана.
- •Изолированные особые точки аналитических функций и их классификация.
- •Вычеты и основная теорема о вычетах.
- •Применение к вычислению интегралов.
- •23. Математическое моделирование и вычислительный эксперимент
- •24. Численные методы в алгебре
- •Обусловленность систем линейных алгебраических уравнений
- •Вычисление определителей и обращение матриц
- •Итерационные методы
- •Достаточное условие сходимости итерационного процесса
- •25. Решение нелинейных уравнений и систем уравнений
- •26. Приближение функций.
- •27. Численное дифференцирование. Численное интегрирование
- •28. Решение обыкновенного дифференциального уравнения первого порядка методами Эйлера, Эйлера – Коши, Рунге – Кутты. Метод конечных разностей.
- •29. Разностные методы решения задач математической физики.
- •33. Линейные уравнения и системы.
- •34.Линейные уравнения и системы с постоянными коэффициентами
- •35. Устойчивость решений дифференциальных уравнений
- •Простейшие типы точек покоя. Автономные динамические системы двух уравнений первого порядка. Типы особых точек на фазовой плоскости
- •№37 Физические задачи, приводящие к уравнению параболического типа
- •Интеграл Пуассона
- •39. Алгебра логики
- •3. Основные законы логики.
- •4. Логические функции.
- •5. Нормальные формы. Совершенные нормальные формы.
- •Алгоритм построения сднф.
- •6. Арифметические операции в алгебре логики. Полином Жегалкина.
- •7. Полнота и замкнутость (примеры полных систем). Теорема Поста.
- •Свойства отношений.
- •40. Графы и их свойства
- •41. Маршруты в графах и деревья
- •41. Маршруты в графах и деревья
22. Ряды Тейлора и Лорана. Вычеты
Опр.: Степенной ряд – это функциональный ряд вида
- некоторые фиксированные числа, которые называются коэффициентами ряда.
- некоторое фиксированное число.
, то
Опр.: Дана функциональная последовательность с областью определения Т
, тогда символ называетсяфункциональным рядом с областью определения Т.
, то
Теорема Абеля:
1. Если степенной ряд сходится в т. , то этот ряд сходится абсолютно для всех, удовлетворяющих условию
2. Если степенной ряд расходится в т. , то этот ряд расходится для всех, удовлетворяющих условию
Вывод: Из теоремы видно, что обл. сходимости степенного ряда, может быть либо 1 точка, либо вся числовая ось, либо промежуток с центром в т. .
Аналитические функции и их разложение в степенные ряды.
Опр.: Однозначная функция называется аналитической в некоторой области, если в любой т. этой области она имеет производную.
Опр.: Сумма степенного ряда есть функция аналитическая внутри круга сходимости, причем её производные можно найти почленным диф- ем ряда.
Опр.: Функции для любого комплексного значенияопределяются рядами:
Эти функции аналитичны на всей плоскости, каждый из этих рядов имеет радиус сходимости равный .
Свойства максимума модуля аналитических и гармонических функций.
имеет вид - аналитическая, тогда справедливы условия:
Найдём вторые производные:
Складывая их, получим: - гармоническая функция.
Производная по y:
Складывая их, получим: - гармоническая функция.
Каждое из этих уравнений- это уравнения Лапласа для и.
Зам.1: Действительная и мнимая часть аналитической функции является гармоническими.
Зам.2: Если Гармоническая функция является действительной или мнимой частью аналитической функции, то по ней можно восстановить аналитическую функцию.
Пусть - гармоническая действительная часть аналитической функции.
, нам известна полная диф- ая функция , по ней можно найти саму функцию.
Принцип максимума модуля: Если функция аналитическая в области Д и непрерывна в(-замкнута), тоилиconst, или наибольшее значение , достигающееся только на границе области.
Замечание: Отличная от const гармоническая функция не может достигнуть экстремума во внутренней точке области определения.
Ряд Тейлора.
Т- ма: Аналитическую функцию в каждой внутренней т. области аналитичности можно представить в виде ряда Тейлора:
, радиус сходимости которого не меньше кротчайшего расстояния от т. а до границы области аналитичности функции.
Д- во: Выбираем кратчайшее расстояние d, от до границы этой области выбираем т., выбираем круградиусом, так чтобы он лежал внутри круга радиуса, но содержит
т. .
разложим линейную функцию аналитически:
Если ряд на кривой сходится равномерно, то его можно почленно интегрировать:
Пусть
ряд можно почленно интегрировать.
уходят вместе с производной.
- формула Тейлора
Опр.: Т. называетсярегулярной т. функции, если в некоторой окрестности этой точки ф- ция аналит.. Т. назыв.особой т., если ни в какай её окрестности, какой бы маленькой она не была, ф- ция не является аналитической.
Т- ма: Радиус сходимости разложения функции в ряд Тейлора по степеням кратчайшему расстоянию от т. до ближайшей особой точки.
Т- ма: Если ф- ция аналитич. на всей плоскости и огранич. на ней, то , тогда
Т- ма единственности аналитической ф-ции.
Т-ма: Если две ф- ции аналитич. в обл. Д и принимают равные значения в бесконечном мн- ве различных точек, стремящихся к некот. внутр. т., то в обл. Д эти ф- ции тождественно равны (и).