- •5. Линейное пространство. Евклидово и унитарное пространства
- •6. Линейные операторы и их свойства
- •Линейные преобразования евклидова пространства
- •7. Действительные числа. Функция действительной переменной. Предел функции. Непрерывные функции.
- •8. Производная и дифференциал. Производные и дифференциалы высших порядков. Формула Тейлора
- •9. Основные теоремы дифференциального исчисления и их применения
- •10. Первообразная и неопределенный интеграл
- •4. Интегрирование некоторых тригонометрических функций.
- •6. Интеграл вида если функцияR является нечетной относительно cosx.
- •11. Определенный интеграл Римана, его свойства. Применения к вычислению геометрических, физических и механических величин Определенный интеграл
- •12. Функции нескольких действительных переменных.
- •13. Частные производные и дифференцируемость ф-ции в точке. Производные и дифференциалы высших порядков. Равенство смешанных производных
- •14. Неявная и обратная функции. Экстремумы
- •15. Числовые ряды и их сходимость.
- •16. Функциональные последовательности и ряды. Степенные ряды. Ряд Тейлора.
- •2) Дифференцирование степенных рядов.
- •3) Сложение, вычитание, умножение и деление степенных рядов.
- •18. Ряды Фурье. Преобразование Фурье. Интеграл Фурье
- •Разложение в ряд Фурье четных и нечетных функций
- •Разложение в ряд Фурье функций произвольного периода
- •Представление непериодической функции ряда Фурье
- •Тригонометрический ряд Фурье в комплексной области
- •Свойства ряда Фурье
- •- Неравенство Бесселя.
- •- Равенство Парсеваля,
- •Понятие об интеграле Фурье и об преобразовании Фурье
- •19. Мера Лебега, измеримые множества и функции
- •20. Интеграл Лебега и его свойства.
- •21. Ф-ции комплексной переменной. Диф-ние и инт-ние. Теорема Коши.
- •22. Ряды Тейлора и Лорана. Вычеты
- •Аналитические функции и их разложение в степенные ряды.
- •Свойства максимума модуля аналитических и гармонических функций.
- •Ряд Тейлора.
- •Ряд Лорана.
- •Изолированные особые точки аналитических функций и их классификация.
- •Вычеты и основная теорема о вычетах.
- •Применение к вычислению интегралов.
- •23. Математическое моделирование и вычислительный эксперимент
- •24. Численные методы в алгебре
- •Обусловленность систем линейных алгебраических уравнений
- •Вычисление определителей и обращение матриц
- •Итерационные методы
- •Достаточное условие сходимости итерационного процесса
- •25. Решение нелинейных уравнений и систем уравнений
- •26. Приближение функций.
- •27. Численное дифференцирование. Численное интегрирование
- •28. Решение обыкновенного дифференциального уравнения первого порядка методами Эйлера, Эйлера – Коши, Рунге – Кутты. Метод конечных разностей.
- •29. Разностные методы решения задач математической физики.
- •33. Линейные уравнения и системы.
- •34.Линейные уравнения и системы с постоянными коэффициентами
- •35. Устойчивость решений дифференциальных уравнений
- •Простейшие типы точек покоя. Автономные динамические системы двух уравнений первого порядка. Типы особых точек на фазовой плоскости
- •№37 Физические задачи, приводящие к уравнению параболического типа
- •Интеграл Пуассона
- •39. Алгебра логики
- •3. Основные законы логики.
- •4. Логические функции.
- •5. Нормальные формы. Совершенные нормальные формы.
- •Алгоритм построения сднф.
- •6. Арифметические операции в алгебре логики. Полином Жегалкина.
- •7. Полнота и замкнутость (примеры полных систем). Теорема Поста.
- •Свойства отношений.
- •40. Графы и их свойства
- •41. Маршруты в графах и деревья
- •41. Маршруты в графах и деревья
№37 Физические задачи, приводящие к уравнению параболического типа
l - длина стержня (стержень достаточно тонкий)
U1, U2 – температура на концах стержня
Линейное распределение температуры: Количество тепла, протекающего по поперечному сечению стержняS за единицу времени:
где k – коэффициент теплопроводности, зависящий от материала стержня.
Рассмотрим процесс распространения температуры в стержне. U(x,t) – температура в сечении x в момент времени t. Количество тепла, протекающее через сечение за промежуток :, гдеq – плотность теплового потока. -закон Фурье.
Интегральная форма закона Фурье:
Количество тепла, которое надо сообщить однородному телу, чтобы повысить его температуру на :
, где с – удельная теплоемкость. Если стержень неоднороден, то
- плотность тепловых источников. В итоге действия тепловых источников выделится тепло: =>. Используя закон сохранения энергии, теорему о среднем, теорему о конечных приращениях получим уравнение теплопроводности:
Если стержень однороден, то , где-коэффициент теплопроводности,.
Если источники тепла отсутствуют, то
Уравнение теплопроводности в :
Принцип максимального значения. Теорема единственности.
Теорема 1. Если функция определена и непрерывна в прямоугольнике, удовлетворяющая уравнению теплопроводностив точках открытого прямоугольника, то минимальное и максимальное значения функциидостигаются или в начальные моменты, или в точках границы,.
Теорема 2. Если две функции ,определены и непрерывны в, удовлетворяют уравнению теплопроводностидля, одинаковы на начальных граничных условиях,,, то.
Следствие 1. Если два решения ,уравнения теплопроводности удовлетворяют условиями, то.
Следствие 2. если три решения уравнения теплопроводности удовлетворяют условиюпри,,, то эти же неравенства выполняются дляпри.
Следствие 3. Если для двух решений теплопроводности ,имеет место неравенстводля,,, то дляимеет место неравенствопри.
Теорема 3. Теорема единственности на бесконечном промежутке. Если ,непрерывны и ограничены во всей области изменения переменныхx,t, удовлетворяю уравнению теплопроводности при ,и условиюдля.
Метод разделения переменных. Однородная краевая задача.
Задача: найти в непрерывной замкнутой области решение однородного уравнения, где, удовлетворяющее начальному условиюи однородным граничным условиям.
Метод разделения переменных:
Найдем решение следующей задачи: решить уравнение , удовлетворяющее однородным граничным условиям. Уравнение представимо в виде=>=>и, кроме того. Мы получили задачу на собственные значения – задача Штурма-Лаувиля:для значения. Существуют неправильные решения этой задачи:. Этим значениям соответствует решения уравнения:. В итоге получаем решение задачи:.
Перейдем к решению основной задачи. Для этого составим формальный ряд: . Функцияудовлетворяет граничным условиям, т.к. им удовлетворяют все члены ряда. Из начальных условий =>=>является коэффициентом Фурье функциипри разложении ее в ряд поsin в (0,l): .
В силу принципа суперпозиции ряд составленный из частных решений тоже является решением.
Общая первая краевая задача
Найти решение уравнения: с дополнительными условиями.
Будем искать решение задачи в виде: . Подставляя в исходное уравнение, получим:, гдес дополнительными условиями:,,. Функциявыбирается таким образом чтобы.
|=> Первая краевая задача решена.