2.10 Зразок виконання індивідуального семестрового завдання №2

За наданими статистичними даними підібрати емпіричну функцію, та:

1. побудувати діаграму розсіювання,

2. записати емпіричну функцію,

3. записати систему нормальних рівнянь,

4. скласти розрахункову таблицю,

5. розв’язати отриману систему й записати емпіричну функцію зі знайденими параметрами.

Вважаючи, що залежність між змінними й має вигляд , знайти оцінки параметрів для вибірки:

	90	110	120	130	180	200	180
	25	28	31	32	36	42	55

За вибіркою спостереження побудуємо в системі координат діаграму розсіювання, тобто побудуємо точки (90; 25); (110; 28); (120; 31); (130; 32); (180; 36); (200; 42); (280; 55).

90 110 120 130 180 200 280

Аналіз дослідницьких даних показує, що в якості емпіричної функції можна використати лінійну функцію .

У виразі необхідно знайти параметри a і b, для цього застосуємо МНК. Тоді для визначення параметрів a і b будемо мати систему нормальних рівнянь.

Для зручності обчислень складемо наступну розрахункову таблицю ( ).

1	90	25	8100	2250
2	110	28	12100	3080
3	120	31	14400	3720
4	130	32	16900	4160
5	180	36	32400	6480
6	200	42	40000	8400
7	280	55	78400	15400

Підставимо дані останнього рядка таблиці в нормальну систему рівнянь.

Вирішуючи систему, одержимо

Підставляючи ці значення параметрів в лінійне рівняння, одержимо емпіричну функцію:

.

Розділ ііі. Елементи теорії кореляції

3.1 Основні поняття

Залежність величини y або х називають функціональною, якщо кожному значенню х відповідає єдине значення величини y. Якщо х – детермінована величина, тобто приймаюча цілком певне значення, то й y є детермінована, якщо ж х – випадкова величина, то й y також випадкова величина.

Однак же, частіше в навколишньому нас світі має місце не функціональна, а стохастична, або імовірнісна залежність, коли кожному фіксованому значенню незалежної змінної х відповідає не одне, а множина значень змінних у, причому сказати заздалегідь, яке саме значення прийме величина у не можна.

Припустимо, що існує стохастична залежність випадкової змінної y від х. Зафіксуємо деяке значення х змінної Х. При змінна y у силу її стохастичної залежності від х може прийняти будь-яке значення з деякої множини, причому яке саме, заздалегідь невідомо.

Середнє цієї множини називають груповим генеральним середнім змінної Y при Х = х , або математичним сподіванням випадкової величини Y, обчисленої за умови, що Х = х, це умовне математичне сподівання позначають як .

Якщо існує стохастична залежність Y від Х, то насамперед намагаються з'ясувати, змінюються чи ні при зміні Х умовні математичні сподівання .

Статистичною називають залежність, при якій зміна однієї з величин тягне зміну розподілу іншої.

Зокрема, статистична залежність проявляється в тім, що при зміні однієї з величин змінюється середнє значення іншої; у цьому випадку статистичну залежність називають кореляційною.

Говорять, що має місце кореляційна залежність Y від Х, якщо при зміні Х змінюються умовні математичні сподівання , якщо ж умовні математичні сподівання залишаються незмінними, то говорять, що кореляційна залежність Y від Х відсутня.

Функція , що описує зміну умовного математичного сподівання випадкової змінної Y при зміні значень х змінної Х, називається функцією регресії.

Умовним середнім називають середнє арифметичне значень , що спостерігалися при відповідних .

Наприклад, якщо при величина прийняла значення , то умовне середнє .

Умовним середнім називають середнє арифметичне значень , що спостерігалися при відповідних .

При великій кількості спостережень одне й те значення може зустрітися разів, одне й те значення – разів, одна й та сама пара чисел може зустрінеться раз. Тому дані спостережень групують, підраховуючи частоти , , . Всі згруповані дані записують у вигляді таблиці, що називають кореляційною, наприклад:

у	х
	0-20	20-40	40-60	60-80
9-11	5	5			10
11-13	8	6	1		15
13-15	4	8	5		17
15-17		7	12	6	25
17-19		4	10	6	20
19-21			4	9	13
	17	30	32	21	100