4.2 Критична область. Знаходження критичних областей

Після обрання певного критерію узгодження, множину усіх його можливих значень поділяють на дві підмножини, що не перетинаються: одна з них містить значення критерію, при яких основна гіпотеза відхиляється, а друга – при яких вона приймається.

Критичною областю називають сукупність значень критерію, при яких основна гіпотеза відхиляється.

Областю прийняття гіпотези (областю допустимих значень) називають множину значень критерію, при яких гіпотезу приймають.

Критерій узгодження К - одновимірна випадкова величина, усі її можливі значення належать деякому інтервалу. Тому критична область та область прийняття гіпотези також будуть інтервалами, а це означає, що існують точки, які ці інтервали відокремлюють.

Критичними точками (межами) критерію К називають точки , які відокремлюють критичну область від області прийняття гіпотези.

Розрізняють однобічну (правобічну та лівобічну) та двобічну критичні області.

Правобічною називають критичну область, що визначається нерівністю К > , де – додатне число.

Лівобічною називають критичну область, що визначається нерівністю К < , де – від’ємне число.

Щоб знайти однобічну критичну область, треба знайти критичну точку . Для цього задають достатньо малу ймовірність – рівень значущості , а потім шукають критичну точку з врахуванням вимоги

у випадку правобічної критичної області, або

у випадку лівобічної критичної області.

У випадку двобічної критичної області повинно виконуватись тотожність

.

Для кожного критерію узгодження є відповідні таблиці (наприклад, таблиці додатка), які дозволяють знайти таку точку , яка задовольняє потрібну умову.

При визначенні критичної області доцільно враховувати потужність критерію.

Потужністю критерію називають імовірність належності критерію критичної області при умові, що правильна альтернативна гіпотеза.

Іншими словами, потужність критерію є імовірність того, що основна гіпотеза буде відхилена, якщо альтернативна гіпотеза правильна.

Якщо рівень значущості вже обрано, то критичну область доцільно будувати так, щоб потужність критерію була максимальною. Виконання цієї вимоги забезпечую мінімальну імовірність похибки другого роду.

Єдиний засіб одночасного зменшення ймовірностей похибок першого та другого роду – це є збільшення об’єму вибірки.

Порядок дій при перевірці гіпотез

Для перевірки правильності основної статистичної гіпотези необхідно:

1) визначити гіпотезу , альтернативну до гіпотези ;

2) обрати статистичну характеристику перевірки;

3) визначити допустиму імовірність похибки першого роду, тобто рівень значущості ;

4) знайти за відповідною таблицею критичну область (критичну точку) для обраної статистичної характеристики.

До критичної області належать такі значення статистичної характеристики, при яких гіпотеза відхиляється на користь альтернативної гіпотези .

Підкреслимо, що між рівнем значущості та критичною областю існує такий зв’язок: якщо гіпотеза правильна, то з імовірністю значення вибіркової функції будуть належати критичній області.

Так, при перевірці гіпотези про рівність дисперсій двох нормальних сукупностей при альтернативній

треба знайти спостережне значення критерію Фішера-Снедекора, тобто

,

а потім з таблиці критичних точок цього розподілу за заданим рівнем значущості та степенях вільності та знайти .

Якщо , то гіпотеза приймається.

Якщо , то гіпотезу відхиляють.