1.2 Емпірична функція розподілу
Емпіричною
функцією розподілу
(функцією розподілу вибірки) називають
функцію
,
яка визначає для кожного значення х
відносну частоту події
.
Математично це значення має вигляд
,
де
– кількість варіант, які менші за х;
п
– об'єм вибірки.
Емпірична функція розподілу вибірки служить для оцінки теоретичної функції розподілу генеральної сукупності:
.
Приклад 1. Знайти емпіричну функцію за даним розподілом вибірки:
варіанти |
|
2 |
6 |
10 |
частоти |
|
12 |
18 |
30 |
Розв’язання
1)
об'єм вибірки
.
2)
для
(спостережень менше 2 нема).
3)
спостерігалося 12 разів,
,
для
.
4)
(12 разів),
(18 разів), тобто
,
для
.
5)
– найбільша варіанта,
.
Шукана емпірична функція:
Графік цієї функції зображено на малюнку
Приклад 2. Знайти емпіричну функцію за даним розподілом вибірки.
|
1 |
4 |
7 |
|
10 |
15 |
25 |
Розв’язання. Знайдемо об’єм вибірки:
.
Найменша
варіанта дорівнює 1, тому
при
.
Значення
,
спостерігалося 10 разів, а тому
при
.
Значення
,
а саме
,
,
спостерігалося
разів , звідки
при
.
—
найбільша
варіанта і
при
.
Шукану емпіричну функцію запишемо у вигляді
Графік цієї функції має вигляд
1.3 Полігон та гістограма
Для наочності статистичного розподілу використають полігон і гістограму.
Полігоном
частот
називають ламану, відрізки якої з'єднують
точки
.
На
осі абсцис відкладають варіанти
,
а на осі ординат – відповідні їм частоти
.
Точки
з’єднують відрізками прямих.
Полігоном
відносних частот
називають
ламану, відрізки якої з'єднують точки
.
На осі абсцис відкладають варіанти
,
а на осі ординат – відповідні їм відносні
частоти
.
Полігони частот та частостей є аналогами щільності імовірностей.
Приклад 1. Побудувати полігон відносних частот наступного розподілу:
|
1,5 |
3,5 |
5,5 |
7,5 |
|
0,1 |
0,2 |
0,4 |
0,3 |
Приклад 2. Побудувати полігон частот за даним розподілом вибірки:
|
1 |
2 |
7 |
10 |
|
20 |
8 |
10 |
6 |
Розв’язання.
Відкладемо на осі
варіанти
,
а на осі
відповідні їм частоти
.
З’єднавши точки
відрізками прямих, побудуємо шуканий
полігон частот.
Гістограмою
частот
називають ступінчасту фігуру, що
складається із прямокутників, основами
яких є часткові інтервали варіант
довжиною
,
а висоти дорівнюють відношенню
(щільність частоти).
Площа гістограми частот дорівнює сумі всіх частот, тобто об'єму вибірки.
Гістограмою
відносних частот
(частостей)
називають ступінчасту фігуру, яка
складається із прямокутників, основами
яких є часткові інтервали довжиною h,
а висоти дорівнюють відношенню
(щільність відносної частоти).
Площа гістограми відносних частот дорівнює сумі всіх відносних частот, тобто одиниці.