2.3 Тренувальні вправи

1. Знайти довірчий інтервал для оцінки з ймовірністю 0,95 невідомого математичного сподівання нормально розподіленої величини генеральної сукупності, якщо відомі генеральне середнєквадратичне відхилення , вибіркове середнє та об’єм вибірки :

а) .

Відповідь: .

б) .

Відповідь: .

2. Вибірка з великої партії електричних ламп складає 100 ламп. Середній час горіння лампи з вибірки дорівнює 1000 годин. Знайти з надійністю 0,95 довірчий інтервал для середнього часу горіння лампи із всієї партії, якщо відомо, що середнє квадратичне відхилення тривалості горіння лампи годин. Вважається, що тривалість горіння лампи розподілена нормально.

Відповідь: .

3. Для з’ясування міри схожості насіння з партії, яка містить 8000 насінин, було відібрано 500 штук, з яких зійшло 440. Знайти ймовірність того, що частка насіння, яке зійшло, в усій партії відрізняється за абсолютною величиною від частки насіння у вибірці не більше ніж на 0,03, якщо вибірка:

а) повторна; б) безповторна.

Відповідь: а) 0,9616; б) 0,9668.

4. З 40000 яєць, що поступили на інкубаторну станцію, була створена вибіркова сукупність об’ємом в 400 штук. З них вивелось 304 курчат. Знайти ймовірність того, що в усій сукупності частка яєць, з яких виведуться курчата, відрізняється за абсолютною величиною від такої частки у вибірці не більше як на 0,05, якщо вибірка:

а) повторна; б) безповторна.

Відповідь: а) 0,9807; б) 0,9812.

5. За схемою власне-випадкової безповторної вибірки з 4000 болтів було відібрано 600. Серед них виявилось 6% болтів з дефектами. Знайти межі, в яких з імовірністю 0,909 міститься частка бездефектних болтів у всій партії.

Відповідь: (0,925; 0,955).

6. З партії у 2500 виробів за схемою власне-випадкової безповторної вибірки перевірили 10% виробів. Серед них виявилось 80% виробів підвищеної якості. Знайти межі, в яких з імовірністю 0,996 міститься частка виробів підвищеної якості у всій партії.

Відповідь: (0,731; 0,869).

7. Знайти мінімальний об’єм вибірки, при якому з надійною ймовірністю 0,925 точність оцінки математичного сподівання нормально розподіленої генеральної сукупності за вибірковою середньою дорівнює 0,2, якщо відоме середнє квадратичне відхилення генеральної сукупності .

Відповідь: .

2.4 Обчислення параметрів розподілу методом добутків

Якщо вибірка задана у вигляді розподілу рівновіддалених варіант, то вибіркові середню й дисперсію зручно знаходити методом добутків, в основі якого лежить рівновіддалені варіанти та розрахункова таблиця, за формулами

,

,

де: h –різниця між сусідніми варіантами;

С - умовний нуль (варіанта, що розташована приблизно в середині варіаційного ряду, яка має найбільшу частоту);

– умовна варіанта;

– умовний момент першого порядку;

– умовний момент другого порядку.

Практичне використання цих формул розглянемо на прикладі, розглянутому у попередньому розділі і скористаємося результатами, отриманими в 3-м й 4-м стовпцях таблиці частот згрупованої вибірки.

Приклад 1. Методом добутків знайти вибіркове середнє та вибіркову дисперсію, а також середнє квадратичне відхилення за даним розподілом вибірки об’єму .

Варіанта	xi	12	14	16	18	20	22	24
Частота	ni	4	7	8	11	9	8	3

Розв’язання.

Складемо розрахункову таблицю.

1) запишемо варіанти в 1-й стовпчик, а їх частоти в 2-й стовпець, суму частот (50) запишемо в нижню клітку 2-го стовпчика;

2) як умовний нуль виберемо варіанту 18, що має найбільшу частоту; в клітинці 3-го стовпчика, у рядку, утримуючого умовний нуль, пишемо 0, над 0 пишемо послідовно: – 1, – 2, – 3, а під нулем — 1, 2, 3;

3) добутки частот на умовні варіанти запишемо в 4-му стовпці, знаходимо їхню суму, що поміщаємо в нижній клітинці цього стовпця;

4) добуток на запишемо в 5 стовпець, їхню суму помістимо в нижній клітинці цього стовпчика;

5) в 6-му, контрольному стовпці запишемо добуток , а їхню суму в нижній клітинці цього стовпця.

У підсумку одержимо наступну таблицю:

12	4	-3	-12	36	16
14	7	-2	-14	28	7
16	8	-1	-8	8	0
18	11	0	0	0	11
20	9	1	9	9	36
22	8	2	16	32	72
24	3	3	9	27	48
					190

Для перевірки правильності розрахунків скористаємось тотожністю

.

В одержаній таблиці

,

що свідчить про відсутність помилок при заповненні таблиці.

Обчислимо умовні моменти 1 та 2 порядків

;

.

Знайдемо шаг:

.

Обчислюємо вибіркове середнє та вибіркову дисперсію, враховуючи, що умовний нуль .

.

.

.