2.2 Інтервальні оцінки параметрів розподілу

Якщо об’єм вибірки досить великий, то точкові оцінки задовольняють практичні потреби точності.

Якщо об’єм вибірки малий, то точкові оцінки можуть давати значні похибки, тому питання точності оцінок у цьому випадку дуже важливе і використовують інтервальні оцінки.

Інтервальною називають оцінку, яка визначається двома числами – кінцями інтервалу.

Ймовірність того, що абсолютна величина відхилення вибіркової середньої (або частки) від генеральної середньої (відповідно частки) не перевищить додатного числа , називається надійною ймовірністю (довірчою ймовірністю).

Надійністю (довірчою ймовірністю) оцінки параметра за називають імовірність

,

з якою виконується нерівність .

Найчастіше число задається наперед і, залежно від обставин, воно дорівнює 0,95 або 0,99 або 0,999.

Формулу надійності можна записати у вигляді

.

З цієї рівності випливає, що інтервал містить невідомий параметр генеральної сукупності.

Інтервал називають довірчим, якщо він покриває невідомий параметр із заданою надійністю .

Нехай кількісна ознака Х генеральної сукупності розподілена за нормальним законом, середньоквадратичне відхилення відомо. Треба знайти довірчий інтервал, що покриває математичне сподівання генеральної сукупності із заданою надійністю .

Згідно із властивістю нормально розподіленої випадкової величини Х маємо

,

де

– функція Лапласа.

Але випадкова величина, , тому при заміні Х на , на одержимо

,

де

– точність оцінки (гранична похибка),

тобто з надійністю довірчий інтервал

покриває невідомий параметр а.

Точність оцінки (гранична похибка) буде

.

Число визначається із рівності

з використанням таблиці значень інтегральної функції Лапласа.

Зауваження. З аналізу точності оцінки випливає, що при зростанні об’єму вибірки п число зменшується, а це означає, що точність оцінки збільшується. Коли надійність збільшується, функція зростає і згідно її властивістю зростає і, як наслідок, зростає . Отже, збільшення надійності оцінки зменшує її точність.

Знаходження об’єму вибірки

Нехай ознака Х генеральної сукупності розподілена за нормальним законом з параметром і треба знайти об’єм вибірки п, який із заданою точністю та надійністю дозволить знайти оцінку параметра .

Із формули знаходимо

,

звідки випливає

.

Для надійності , використовуючи

та таблицю значень інтегральної функції Лапласа, знайдемо відповідне число .

Тепер, коли , , відомі, можна знайти потрібний об’єм вибірки п.

Застосування цих формул розглянемо на прикладі.

Приклад 1. Випадкова величина розподілена за нормальним законом з параметром . Знайти мінімальний об’єм п вибірки, щоб з надійністю та точністю виконувалась рівність , якщо .

Розв’язання.

Для маємо

.

Використовуючи формулу знаходження об’єму вибірки, знайдене , та задані , , одержуємо

.

Отже, мінімальний об’єм вибірки .

Приклад 2. Вибірковим шляхом одержано такі дані про урожайність жита:

урожайність ц/га	12–14	14–16	16–18	18–20	20–22	22–24	24–26	разом
число га	18	57	109	136	105	50	25	500

а) Знайти ймовірність того, що середня урожайність, отримана у вибірці, відрізняється за абсолютною величиною від середньої урожайності на всій площі, зайнятій під житом (2000 га), не більше ніж на 0,2 ц, якщо вибірка безповторна.

б) Знайти необхідний об’єм безповторної вибірки, щоб з ймовірністю 0,9545 відхилення середньої урожайності у вибірці від середньої урожайності на всій площі не перевершувало 0,3 ц за абсолютною величиною.

Розв’язання.

Для визначення вибіркових середньої та дисперсії складемо розрахункову таблицю.

		середина інтервалу
12	14	13	18	-3	-54	162	72
14	16	15	57	-2	-144	228	57
16	18	17	109	-1	-109	109	0
18	20	19	136	0	0	0	136
20	22	28	105	1	105	105	420
22	24	23	50	2	100	200	450
24	26	25	25	3	75	225	400
сума			500		3	1029	1535

Контроль: .

.

.

.

.

.

1. Підрахуємо спочатку середню квадратичну похибку для вибіркової середньої без повторної вибірки:

.

Тоді шукана ймовірність за формулою

.

.

2. Знайдемо граничну похибку вибірки за формулою

.

Для повторної вибірки .

Число визначимо з умови

.

З таблиці функції знаходимо значення . Підставивши його у формулу, одержимо:

.

3. Знайдемо спочатку об’єм повторної вибірки

( )

.

Тоді шуканий об’єм безповторної вибірки:

.

Приклад 3. З лісового масиву в 20000 дерев за допомогою власне-випадкової безповторної вибірки відібрано 500 дерев, для яких одержано такі дані про кількість ділової деревини в одному дереві:

кількість деревини в одному дереві; м^3	0,4-0,6	0,6-0,8	0,8-1,0	1,0-1,2	1,2-1,4	1,4-1,6	разом
число дерев	19	68	140	162	85	26	500

Знайти:

а) ймовірність того, що середня кількість деревини в одному дереві в усьому лісовому масиві і у вибірці відрізняються за абсолютною величиною не більше ніж на 0,02 м³ ;

б) межі, в яких знаходяться середня кількість ділової деревини в одному дереві всього масиву, які можна гарантувати з ймовірністю 0,9973.

Розв’язання.

Для визначення вибіркових середньої та дисперсії складемо розрахункову таблицю.

		середина інтервалу
0,4	0,6	0,5	19	-3	-57	171	76
0,6	0,8	0,7	68	-2	-136	272	68
0,8	1,0	0,9	140	-1	-140	140	0
1,0	1,2	1,1	162	0	0	0	162
1,2	1,4	1,3	85	1	85	85	340
1,4	1,6	1,5	26	2	52	104	234
сума			500		-196	772	880

Контроль: .

.

.

.

.

.

1. Підрахуємо спочатку середню квадратичну похибку для вибіркової середньої:

.

Тоді шукана ймовірність

;

.

2. Знайдемо граничну похибку вибірки за формулою

.

Число визначимо з умови

.

Отже, . Тоді:

.

3. Отже, межами, в яких знаходяться середня кількість ділової деревини в одному дереві всього масиву, які можна гарантувати з ймовірністю 0,9973, будуть числа та , тобто інтервал .

Приклад 4. Знайти надійний (довірчий) інтервал для оцінки з надійністю 0,95 невідомого математичного сподівання нормально розподіленої величини генеральної сукупності, якщо генеральне середнєквадратичне відхилення , вибіркове середнє , а об’єм вибірки .

Розв’язання. Треба знайти довірчий інтервал:

.

Знайдемо із співвідношення

.

За таблицею 2 знайдемо : .

Підставляючи у формулу, знаходимо довірчий інтервал:

;

.

Приклад 5. Знайти мінімальний об’єм вибірки, при якому з надійністю 0,975 точність оцінки математичного сподівання генеральної сукупності за вибірковим середнім дорівнює , якщо відоме середнє квадратичне відхилення нормально розподіленої генеральної сукупності.

Розв’язання. Скористаємось формулою, яка визначає точність оцінки (граничну похибку) математичного сподівання генеральної сукупності за вибірковим середнім

,

звідки

.

За умовою .

За таблицею значень

,

звідки .

Підставляючи дані значення, знайдемо шуканий об’єм вибірки:

.