3.4 Рангова кореляція. Вибірковий коефіцієнт рангової кореляції Спірмена

Нехай вибірка об'єму п містить незалежні об'єкти, які володіють двома якісними ознаками: А і В. Під якісною мають на увазі ознаку, яку неможливо виміряти точно, але вона дозволяє порівнювати об'єкти між собою й, отже, розташувати їх у порядку спадання або зростання якості.

Для визначеності домовимося розташовувати об'єкт у порядку погіршення якості.

Розташуємо спочатку об'єкти в порядку погіршення якості за ознакою А. Припишемо об'єкту, що знаходиться на і-му місці, число – ранг , який дорівнює порядковому номеру об'єкта: .

Потім розташуємо об'єкти в порядку погіршення якості за ознакою В и припишемо кожному з них ранг (порядковий номер) , причому (для зручності порівняння рангів) індекс при у як і раніше дорівнює порядковому номеру об'єкта за ознакою А.

У підсумку одержимо дві послідовності рангів:

за ознакою А: ;

за ознакою В: .

Для оцінки ступеня зв'язку ознак А и В служать, зокрема, коефіцієнти рангової кореляції Спірмена й Кендалла.

Вибірковий коефіцієнт рангової кореляції Спірмена знаходять за формулою

де: ;

п – об'єм вибірки.

Абсолютна величина коефіцієнта рангової кореляції Спірмена не перевищує 1: .

Приклад 1. Знання десяти студентів перевірені за тестами А и В. Оцінки стобальною системою виявилися наступними (у першому рядку зазначена кількість балів за тестом А, а в другий – за тестом В):

95	90	86	75	70	62	60	57	50
92	93	80	55	60	45	72	62	70

Знайти вибірковий коефіцієнт рангової кореляції Спірмена між оцінками за двома тестами.

Розв’язування.

1) Привласнимо ранги оцінкам за тестом А. Ці оцінки розташовані у спадаючому порядку, тому їхні ранги дорівнюють порядковим номерам:

Ранги	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
Оцінки за тестом А	95	90	86	84	75	70	62	60	57	50

2) Привласнимо ранги оцінкам за тестом В, для чого спочатку розташуємо у спадаючому порядку й пронумерувавши їх:

1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
93	92	83	80	72	70	62	60	55	45

Нагадаємо, індекс при повинен дорівнювати порядковому номеру оцінки студента за тестом А.

Знайдемо ранг . Індекс указує, що розглядається оцінка студента, що займає за тестом А в першому рядку перше місце (ця оцінка = 95). З умови видно, що за тестом В студент одержав оцінку 92, що в другій таблиці розташована на другому місці, виходить, ранг .