1.1 Статистичний розподіл вибірки

Сукупність всіх подумки можливих об'єктів даного виду, над якими проводяться спостереження з метою одержання конкретних значень певної випадкової величини, або сукупність результатів всіх спостережень, проведених у незмінних умовах над однією з випадкових величин, пов'язаних з даним видом об’єктів, називається генеральною сукупністю (сукупністю об’єктів, з яких зроблено вибірку).

Генеральна сукупність може бути кінцевою або нескінченною, залежно від того, кінцева або нескінченна сукупність складових її елементів.

Частина відібраних об'єктів генеральної сукупності або результати спостережень над обмеженим числом об'єктів із цієї сукупності називаються вибірковою сукупністю або вибіркою (сукупністю випадково відібраних об’єктів).

Число N об'єктів генеральної сукупності й число п об’єктів вибіркової сукупності будемо називати об’ємами генеральної й вибіркової сукупностей (число об'єктів цієї сукупності) (N > п).

Про властивості генеральної сукупності можна судити за даними спостережень над відібраними об'єктами, тобто вибіркою.

Для того щоб за вибіркою можна було досить упевнено судити про випадкову величину, вибірка повинна бути репрезентативною.

Репрезентативність вибірки означає, що об'єкти вибірки досить якісно представляють генеральну сукупність.

Репрезентативність вибірки забезпечується випадковістю відбору.

Операція, що міститься у тім, що спостережувані значення випадкової величини, розташовують у зростаючому (спадаючому) порядку, називається ранжуванням статистичних даних.

Приклад 1. На телефонній станції проводилися спосте-реження над числом х – неправильних з’єднань у хвилину. Спосте-реження протягом години дали наступні результати: 3, 1, 3, 1, 4, ....

Розташувавши ці дані в порядку зростання й згрупувавши їх, одержуємо ранжований ряд спостережень:

.

Є сім різних значень випадкової величини:

0, 1, 2, 3, 4, 5, 7.

Кожне таке значення називається варіантою.

Значення випадкової величини, що відповідає окремій групі згрупованого ряду спостережуваних даних, називають варіантою, а послідовність варіант, розміщених у зростаючому порядку – варіаційним рядом.

Чисельність окремої групи згрупованого ряду спостережуваних даних називається частотою варіанти.

Відношення частоти даної варіанти до загальної суми частот всіх варіант називають відносною частотою або частостью й позначається

,

де – об'єм вибірки.

Відносна частота є статистичною ймовірністю появи варіанти .

Дискретним варіаційним рядом розподілу називається ранжована сукупність варіант з відповідними їм частотами або з відносними частотами.

Інакше кажучи, це статистичний розподіл вибірки.

Приклад 2.

Число неправильних з'єднань у хвилину		0	1	2	3	4	5	7
Частота		8	17	16	10	6	2	1
Відносна частота

Якщо об’єм вибірки великий, то її елементи об’єднують у групи, зображуючи результати дослідів у вигляді згрупованого статистичного ряду.

Інтервальним варіаційним рядом називають впорядковану сукупність інтервалів варіювання значень випадкової величини з відповідними частотами або відносними частотами попадання у кожний з них значень випадкової величини.

Довжину часткового інтервалу h варто вибрати так, щоб побудований ряд не був громіздким й у той же час дозволяв би виявити характерні риси зміни випадкової величини, характерні риси досліджуваного явища.

Для визначення величини частотного інтервалу використовують формулу Стерджеса:

.

За початок першого інтервалу рекомендується брати величину

.

Кінець останнього інтервалу повинен задовольняти умові

.

Проміжні інтервали одержують, додаючи до кінця попереднього інтервалу довжину часткового інтервалу.

В інтервал включають значення випадкової величини, більші або рівні нижній границі й менші верхньої границі.

В інтервальному варіаційному ряді частота показує, у скількох спостереженнях випадкова величина прийняла значення, що належать тому або іншому інтервалу.

Такі частоти звичайно називають інтервальними, а їхнє відношення до загального числа спостережень – інтервальними відносними частотами (або частостями).

Якщо поділити всі частоти на ширину інтервалу , то отримаємо розподіл щільності частоти вибірки .

Якщо поділити всі відносні частоти (частості) на ширину інтервалу , то отримаємо розподіл щільності відносної частоти (частості) вибірки .

Статистичним розподілом вибірки називається перелік варіант і відповідних їм частот або відносних частот.

(У теорії ймовірностей під розподілом розуміють відповідність між можливими значеннями випадкової величини і їхніх ймовірностей, а в математичної статистиці – відповідність між спостережуваними варіантами і їхніми частотами або відносними частотами).

Приклад 3. Задано розподіл частот вибірки об'єму п = 20:

	2	6	12
	3	10	7

Написати розподіл відносних частот.

Розв’язання

Знайдемо відносні частоти, для чого розділимо частоти на об'єм вибірки:

Отже, розподіл відносних частот:

	2	6	12
	0,15	0,50	0,35

Контроль: 0,15 + 0,5 + 0,35 = 1.