3.2 Лінійна кореляція

Якщо обидві лінії регресії на й на – прямі, то кореляція називається лінійною.

Для оцінки сили лінійного кореляційного зв'язку служить вибірковий коефіцієнт кореляції .

Вибірковий коефіцієнт кореляції визначається рівністю

де: – варіанти ознак Х та Y ;

– частота пари ;

– об'єм вибірки;

– вибіркові середні квадратичні відхилення;

– вибіркові середні ознак Х та Y.

Якщо перейти до умовних варіант

то вибірковий коефіцієнт кореляції обчислюється за формулою

Рівняння прямих регресії Y на Х та Х на Y мають вигляд

де – умовні середні, тобто середні значення однієї змінної, які відповідають певному значенню іншої.

Приклад 1. Розподіл 195 рослин за загальною вагою всієї рослини Х (г) та вагу насіння Y (г) дано у таблиці:


	35-45	45-55	55-65	65-75	75-85
12,5-17,5	5	10				10
17,5-22,5	7	7	27			41
22,5-27,5		26	40	24		90
27,5-32,5			20	10	4	34
32,5-37,5				8	12	20
	12	43	87	42	16	195

За відповідним рівнянням регресії оцінити середню вагу насіння тих рослин, вага яких дорівнює 60 г, та порівняти її з відповідним груповим середнім.

Допускаючи, що між Х та існує лінійна кореляційна залежність:

1. Обчислити коефіцієнт кореляції й проаналізувати тісноту і напрямок зв'язку між Х та .

2. Скласти рівняння прямих регресії на X та Х на .

3. За відповідним рівнянням регресії оцінити середню вагу насіння тих рослин, вага яких дорівнює 60 г, та порівняти її з відповідним груповим середнім.

Розв’язання.

Перейдемо до дискретних розподілів, тобто значення змінних X та приймемо середини відповідних інтервалів.


	40	50	60	70	80
15	5	10				10
20	7	7	27			41
25		26	40	24		90
30			20	10	4	34
40				8	12	20
	12	43	87	42	16	195

Для обчислення вибіркового коефіцієнта кореляції потрібно обчислити вираз , для чого скласти кореляційну таблицю в умовних варіантах.

За умовний нуль взято варіанту х = 60, а за умовний нуль взято варіанту у = 25, які розташовані приблизно в серединах відповідних варіаційних рядів.

У кожній клітині, у якій частота , записуємо в правому верхньому куті добуток частоти на варіанту и .
Знаходимо суму всіх чисел, що стоять в правих верхніх кутах клітинок одного рядка й записуємо її в клітинку стовпчика и .
Множимо варіанту v на u й отриманий добуток записуємо в останню клітинку того ж рядка.
3 метою контролю аналогічні обчислення проводимо в стовпчика, причому добутки записуємо в лівому нижньому куті кожної клітинки, для яких , після чого їх додаємо і одержану суму записуємо в рядок V.