1.5. Параметры электрических цепей

Любая электрическая цепь и каждый ее элемент в отдельности обладают тремя параметрами: сопротивлением R, индуктивностью L и емкостью С.

Сопротивление R характеризует способность цепи преобразовывать электромагнитную энергию в тепловую. Количество тепловой энергии WТ , выделяющееся в сопротивлении R при протекании тока i в течение времени t, определяется соотношением (1.3) и измеряется в джоулях (Дж):

t
WT i2 Rdt .	(1.3)
0

Величина сопротивления любого элемента цепи определяется как отношение постоянного напряжения на этом элементе к постоянному току в нем и измеряется в омах (Ом):

R U .	(1.4)
I

Индуктивность L характеризует способность цепи накапливать энергию магнитного поля. Такой способностью обладает любой проводник с током или система проводов. Количество этой энергии WM , накопленной в цепи, зависит от величины тока i и измеряется в джоулях (Дж):

	WM	Li 2	.	(1.5)
		2

Эта энергия не преобразуется в тепло, а существует в цепи в виде некоторого запаса. Когда ток в цепи равен нулю, запаса энергии магнитного поля в ней нет.

Величина индуктивности определяется как отношение потокосцепления цепик току i и измеряется в генри (Гн):

L	.	(1.6)
	i

Потокосцеплением называется сумма магнитных потоков всех витков катушки. В простейшем случае для катушки на замкнутом стальном сердечнике можно считать, что ее потокосцепление есть магнитный поток Ф, умноженный на число витков w: = Ф w.

38

Емкость С характеризует способность цепи накапливать энергию электрического поля. Такой способностью обладают любые два провода, разделенные диэлектриком, например провод, висящий над землей, любые два провода линии передачи.

Количество энергии электрического поля WЭ , накопленной в цепи с емкостью С, зависит от величины напряжения между проводами и измеряется в джоулях (Дж):

W		Сu2	.	(1.7)
Э		2

Эта энергия не может преобразовываться в тепловую, а существует в цепи в виде некоторого запаса. Если напряжение между проводами отсутствует, то и запаса энергии электрического поля в цепи нет.

Величина емкости С определяется как отношение электрического заряда q одного из проводов к напряжению u между ними и измеряется в фарадах (Ф):

С qu .

Если R, L и С являются постоянными величинами и не зависят от напряжения), то такие элементы называются линейными, а цепи, содержащие, называются линейными цепями.

(1.8)

тока (или их

Элементы, параметры которых зависят от тока или напряжения, называются нелинейными, а цепи, их содержащие, также называются нелинейными цепями.

Свойства нелинейного элемента электрической цепи не могут быть выражены одним постоянным числом и поэтому описываются его характеристикой. Для сопротивлений это зависимости напряжения от тока (вольтамперные характеристики); для индуктивностей это зависимости потокосцепления от тока (веберамперные характеристики); для емкостей это зависимости электрического заряда от напряжения (кулонвольтные характеристики). На рис. 1.5 показаны примеры характеристик некоторых линейных (ЛЭ) и нелинейных (НЭ) элементов цепи.

Заметим, что характеристики всех линейных элементов цепи являются прямыми линиями, а нелинейных элементов – кривыми.

39

1.6. Идеальные элементы электрической цепи

Любое электротехническое устройство содержит все три параметра: сопротивление R , индуктивность L и емкость С. Рассмотрим (рис. 1.6) катушку, выполненную из провода с конечной проводимостью (это может быть и нить лампы накаливания, и обмотка трансформатора или электродвигателя).

i

R

L

C

q

нэ

лэ

лэ

нэ

лэ

нэ

u

0

i

u

0

0

вольтамперная

веберамперная

кулонвольтная

характеристика

характеристика

характеристика

сопротивления

индуктивности

емкости

Рис. 1.5

При подаче на ее зажимы напряжения u на концах катушки появляются разноименные заряды (+)q и ( )q и в обмотке начинает протекать ток i. При этом вокруг витков обмотки возникает магнитное поле, характеризуемое потокосцеплением . Таким образом, в соответствии с формулами (1.4), (1.6) и (1.8) рассматриваемая катушка обладает всеми тремя вышеуказанными параметрами.

R L C

(+)q i

u

( )q

Рис. 1.6

40

Для удобства анализа и расчета электрических цепей вводят в рассмотрение такие элементы, которые при всех условиях обладают только одним параметром: только сопротивлением, только индуктивностью, только емкостью. Они называются идеальными.

Графическое изображение идеальных элементов электрической цепи показано на рис. 1.2 позициями 4, 5 и 6. В природе таких элементов не существует, но есть устройства, по своим свойствам близкие к идеальным. Реостат (резистор) при низких частотах обладает практически только сопротивлением R, а индуктивностью L и емкостью С этого устройства можно пренебречь. Катушка индуктивности на замкнутом ферромагнитном сердечнике с малыми тепловыми потерями в нем обладает на низких частотах практически только индуктивностью L, а сопротивлением R и емкостью С такой катушки можно пренебречь. Конденсатор с малыми внутренними тепловыми потерями обладает практически только емкостью С, а его активной проводимостью G и индуктивностью L можно пренебречь.

Любое реальное электротехническое устройство можно изобразить в виде электрической схемы, состоящей из комбинации идеальных элементов и, следовательно, произвести его электрический расчет.

1.7. Соотношение между током и напряжением в идеальных элементах

цепи

Прежде чем приступать к расчету сколько-нибудь сложных электрических цепей, следует выяснить, каким образом связаны между собой ток и напряжение в каждом из идеальных элементов цепи. Эти соотношения, называемые уравнения элементов, известные из курса физики, приведены

в табл. 1.1. Они имеют всеобщий характер и справедливы для цепей, у которых ток и напряжение изменяются во времени по любому закону.

Из табл. 1.1 видно, что только в сопротивлении R ток и напряжение связаны между собой алгебраическим соотношением. Между током и напряжением в индуктивности и емкости имеют место интегродифференциальные соотношения.

41

Таблица 1.1

Формулы для определения тока и напряжения в идеальных элементах

№	Идеальный элемент					Ток		Напряжение
п/п
	i		R
						i	u	u iR
1	u
							R

2	i	L				1 udt		u L di
					i
								dt
	u					L

3		i					C	i C du	u 1 idt
	u							dt		C

Пример 1.3. В цепи с идеальной индуктивностью (рис. 1.7,а) действует пилообразный периодический ток (рис. 1.7,б). Требуется определить форму приложенного напряжения.

а)	L	б)	i,u
	i				i
					u
	u		1	2
					t
		0	T	2T	3T

Рис. 1.7

Решение. Для нахождения графика напряжения используем соотношение u L didt , из которого следует, что форма кривой напряжения соответствует производной от тока по времени.

42

В нашем примере на участке от 0 до T/2 кривая тока представляет собой прямую, проходящую через начало координат под острым углом 1 90 к оси

t, и поэтому производная di / dt на этом участке есть постоянная и положительная конечная величина.

На участке от T/2 до Т ток представляет собой прямую, составляющую тупой угол с осью t 2 90 , и поэтому производная di / dt на этом участке есть постоянная и отрицательная величина. При этом tg 2 tg (180 1 ) tg 1 .

Таким образом, график искомого напряжения представляет собой отрезки прямых, меняющих каждую половину периода свой знак, как это показано на рис. 1.7,б.

Вопросы для самопроверки

1) Дана структурная схема цепи. Сколько ветвей в данной цепи?

5	4	3	6	7
1.	2.	3.	4.	5.

2) Найдите правильное уравнение:

						1. i1 i2 i3 i4 0
i4		i1		i2
						2. i i		i	i 0
						1	2	3	4
		i3				3. i1 i2 i3 i4 0

4.i1 i2 i3 i4 0

5.i1 i2 i3 i4 0

3)Выберите правильное уравнение:

									1. e1 e2 u1 u2
e1								u2
									2. e1 e2 u1 u2
u1								e2	3. e1 e2 u1 u2
									4. e1 e2 u1 u2

6)Дано: С = 1000 мкФ; U = 100 В.

	С
U						Определите заряд
						конденсатора q Кл.

0,1	0,2	0,3	0,4		0,5
1.	2.	3.		4.	5.

7)Дано: L =10 мГн; I = 100 A.

L				Определите
		I		потокосцепление
				катушки		Вб.
4	3			2	1	0,5
1.	2.			3.	4.	5.

8)Дано: WЭ = 0,05 Дж; С = 10 мкФ.

					С	Определите напряжение
U						на конденсаторе U В.

43