РАЗДЕЛ 4 Несинусоидальные токи, напряжения и переходные процессы

Схема работы с разделом 4

	Опорный
	конспект
			Вопросы для		Тест по
	Тема 8		самопроверки		теме 8

Опорный
конспект
				Вопросы для			Тест по
Тема 9				самопроверки			теме 9

Контрольная ра-		Лабораторная
бота – задача 7		работа 3

Модуль 4

Глоссарий

	Cпециальность	Часы	Номера	Номера	Номера	Номера
			тем	параграфов	задач	тестов
	1	2	3	4	5	6
	200501.65	128	8	8.1…8.5	-	4. 8
			9	9.1…9.5		4. 9
	210201.65	128	8	8.1…8.5	-	4. 8
			9	9.1…9.5		4. 9
	150501.65	136	8	8.1…8.5	-	4. 8
			9	9.1…9.5		4. 9
	230101.65	135	8	8.1…8.5	5	4. 8
			9	9.1…9.5		4. 9

123

8.Несинусоидальные периодические ЭДС, напряжения и токи

влинейных электрических цепях

В теме 8 рассматриваются вопросы, входящие в четвертый раздел рабочей программы. Для изучения данной темы следует иcпользовать материал темы 8.

Эти вопросы также разобраны в [1], [2], [4].

Обратите особое внимание на ключевые моменты этой темы, которыми являются:

разложение несинусоидальной периодической функции в ряд Фурье;

действующие значения несинусоидальных периодических токов и напряжений;

мощность в цепи при несинусоидальных токе и напряжении;расчет линейных цепей с несинусоидальными ЭДС.

8.1. Общие положения

Несинусоидальными периодическими токами и напряжениями называются токи и напряжения, изменяющиеся во времени по несинусоидальному периодическому закону. Они могут возникать в следующих случаях:

1.Источник ЭДС (тока) вырабатывает несинусоидальную ЭДС (ток),

авсе элементы цепи линейны.

2.Источник ЭДС (тока) вырабатывает синусоидальную ЭДС (ток), а один или несколько элементов цепи не линейны.

3.Источник ЭДС (тока) вырабатывает постоянную или синусоидальную ЭДС (ток), а параметры одного или нескольких элементов цепи изменяются периодически во времени.

Расчет таких цепей можно свести к уже хорошо знакомым нам методам

расчета цепей с постоянными и синусоидальными ЭДС. Для этого надо разложить несинусоидальную кривую на постоянную и гармонические составляющие.

124

8.2.Разложение несинусоидальной периодической функции

вряд Фурье

Вэтой теме мы рассмотрим методы расчета линейных цепей, в которых действует несинусоидальные периодические ЭДС, напряжения и токи.

Несинусоидальные периодические ЭДС, напряжения и токи можно представить в виде ряда Фурье, который в общем виде содержит постоянную составляющую, основную или первую гармонику, имеющую период, равный периоду самой функции, и высшие гармоники, частота которых в целое число раз больше частоты первой гармоники

u(t) U0 U1m sin( t 1) U2m sin(2 t 2 ) ... Ukm sin( t k ) ..., (8.1)

где U0 – постоянная составляющая, равная среднему значению несинусоидального напряжения за период, U1sin( t+ 1) – основная или первая гармоника. Она имеет тот же период T = 2 / , что и данное несинусоидальное напряжение. Все остальные гармоники, имеющие частоту, не равную частоте , называются высшими гармониками. Номер гармоники означает, во сколько раз угловая частота больше основной частоты . Следует отметить, что число гармоник стремится к бесконечности, а амплитуды по мере увеличения номера гармоники уменьшаются и стремятся к нулю Umin 0. Поэтому обычно можно ограничиться некоторым конечным числом ряда.

Ряд Фурье (8.1) можно записать и в виде суммы синусного и косинусного рядов:

	U(t) U	U'	cos t U'		cos2 t U'		cos3 t ....
	0	1m		1m		1m
	U" sin t U"			sin t U"		sin t ...,		(8.2)
	1m	1m		1m
где	Ukm' Ukm sin k ;			Urm"		Ukm sin k ;		k arctgUkm' .
								Ukm''

Коэффициенты ряда (8.2) могут быть определены с помощью известных из высшей математики формул.

Если несинусоидальная периодическая функция обладает тем или иным видом симметрии, то при ее разложении в ряд Фурье отсутствуют некоторые составляющие ряда.

125

8.3.Действующие значения несинусоидальных периодических токов

инапряжений

Известно, что действующим значением тока или напряжения называется среднеквадратичное значение их за период, т.е.

		1	T				1	T
	I		i 2 dt	,	U			u 2 dt	.
		T				T
			0					0
	(8.3)
	Примем, что ток несинусоидальный:

i I0 i1 i2 ... I0 Im1 sin( t i1) Im2 sin(2 t i2 ) ... (8.4)

Тогда при подстановке (8.4) в (8.3) получаем (вывод можно посмотреть в рекомендованной литературе [1],[2])

I

I02 I12

I 22

... I n2 ,

(8.5)

аналогично для напряжения

U

U 02 U 12

U 22

... U n2 .

(8.6)

Пример 8.1. Мгновенное значение несинусоидального тока представлено в виде ряда

i 12 6 sin( t			3	) 4 sin(2 t	4	).
Требуется найти действующее значение тока.
Решение. Действующее значение несинусоидального тока определим по
выражению 8.5:
I	12 2	6 2	4 2 13,1 А.
		2		2

8.4. Мощность в цепи при несинусоидальных токе и напряжении

Пусть на входе цепи имеется несинусоидальные напряжение и ток

u U0 u1 u2 ... ;

i I0 i1 i2 ... .

Известно, что активная мощность цепи равна

Р1 Т uidt .

Т0

При подстановке (8.7) в (8.8) получим

	1	Т		Т
Р		0 uidt	1	0	(U0 u1 u2 ...)(I0 i1 i2 ...)dt
	Т		Т

(8.7)

(8.8)

(8.9)

126

Из (8.9) получаем формулу для расчета активной мощности при несинусоидальных токе и напряжении

Р U 0 I 0 U 1 I1 cos 1 U 2 I 2 cos 2 ... P0 P1 P2 ... . (8.10)

Активная мощность при несинусоидальном режиме согласно (8.10) равна сумме постоянной мощности и активных мощностей всех гармоник.

Полной мощностью называется произведение действующих значений несинусоидальных напряжения и тока

Для периодических несинусоидальных процессов вводят понятие о коэффициенте мощности , определяя его из соотношения

			P UI ,		(8.11)
т. е.		P		Pk
				k 0		.
		UI
				U k2	I k2
				k 0	k 0

По аналогии с синусоидальным током вводят понятие о реактивной мощности Q, которая определяется как сумма реактивных мощностей отдельных гармоник:

Q Qk U k I k cos k .		(8.12)
k 1	k 1

Пример 8.2. Известны несинусоидальные ток i и напряжение u на входе цепи:

i 18 2 sin( t 20 ) 12 2 sin(3 t 13 ) 4 2 sin(5 t 17 ),

u 10 20 2 sin( t 35 ) 14 2 sin(3 t 63 ) 8 2 sin(5 t 37 ).

Требуется определить: активную, реактивную, полную мощности и коэффициент мощности.

Решение. Действующие значения тока и напряжения равны:

I 182 12 2		42 22 А,	U 102 202	142 82	27,6 В.
Полная мощность: S UI 22 27,6 607 ВА.
Активная мощность:
P U 0 I 0	U 1 I1 cos 1	U 3 I 3 cos 3	U 5 I 5 cos 5
10 0	20 18 cos 15	14 12 cos 50	8 4 cos 54 488 ,7 В.

127