Таким образом, комплексная мощность цепи содержит в себе полную мощность S, активную мощность Р, реактивную мощность Q и угол сдвига фаз между напряжением и током.

Заметим, что полная мощность S равна модулю комплексной мощности

S P 2 Q 2 ВА.

4.5. Законы Кирхгофа в комплексной форме записи

Законы Кирхгофа в комплексной форме записи и алгоритмы составления уравнений по этим законам выполняются.

Первый закон Кирхгофа: алгебраическая сумма комплексных токов в узле равна нулю:

K
I k	0 ,	(4.5)

k 1

где К число ветвей подходящих к данному узлу цепи Второй закон Кирхгофа: алгебраическая сумма комплексных ЭДС конту-

ра равна алгебраической сумме комплексных напряжений на всех комплексных сопротивлениях этого контура:

Q	N
Eq I n Z n ,		(4.6)
m	n 1

где Q – число источников ЭДС контура; N – число комплексных сопротивлений контура.

4.6. Аналогия с цепями постоянного тока

Сравнивания формулы закона Ома и законов Кирхгофа для цепей постоянного тока с соответствующими формулами для цепей синусоидального тока в комплексной форме записи, легко убеждаемся в том, что они формально тождественны (аналогичны) друг другу, хотя физические процессы в сравниваемых цепях различны. Таким образом, если в формулах для цепей постоянного тока заменить U, I, E, R и G на U , I, E, Z и Y , то получаем формулы, записанные в комплексной фор-

ме. Это позволяет все методы расчета цепей постоянного тока применять для расчета комплексных токов, на основании которых находятся действующие и мгновенные значения искомых токов.

81

Пример 4.1.

Расчет цепей комплексным методом рекомендуется вести в следующей последовательности:

1. Изображаем заданные синусоидальные напряжения и параметры реактивных элементов комплексными числами (4.3), (4.4).

2. Используя законы Ома (4.2) и Кирхгофа (4.5, 4.6) в комплексной форме, составляем уравнения для определения комплексных токов (напряжений).

3.Определяем комплексные токи в ветвях в результате решения алгебраических уравнений п. 2. Основные алгебраические действия с комплексными числами, которые используются на этом этапе, приведены в приложении.

4.С учетом соответствия преобразуем найденные комплексные токи в ветвях в соответствующие мгновенные значения.

Определить мгновенные и действующие значения токов во всех ветвях цепи (рис. 4.3), у которой С = 200 мкФ, L = 10 мГн, R1 = R2 =10 Ом, u =12sin(314t + /6) . Решение. 1. Вычислим индуктивное и емкостное сопротивления, включенные в параллельно соединенные ветви:

X L L 314

10 10 3

3,14 Ом;

X C 1 C 10 6

(314 200 ) 15 ,92 Ом.

i	R1	R2
u		C
		L

Рис. 4.3

2. Изобразим синусоидальное входное напряжение и параметры реактивных элементов L и C комплексными числами:

U m U me j		12e j			jXL = j L = j314 10 10-3 = j3,14 Ом;
	6		6	;
-jXC =-j / C =					j		j15,92 Ом.
					314 200	10 6

Если начальная фаза u входного напряжения в условии задачи не задана, то ее рекомендуется взять равной нулю ( u = 0).

82

3. Используя закон Ома в комплексной форме, составим уравнение для определения комплексной амплитуды тока на входе цепи:

I m U m Z ,

где Z – комплексное сопротивление цепи определяется по аналогичным правилам расчета полного сопротивления резистивной цепи постоянного тока:

Z R1

jX C (R2

jX L )

R1

X C X L jX C R2

10

50 j159

19,6 j3,6.

R2

jX

L

jX

C

R2 j( X L X C )

10

j12,76

4. Определим амплитуду и действующее значение комплексного тока на

входе цепи:

j

j

12 e

6

12 e

6

0,6e j

0,6 cos 40 j sin

40

2 0,33 j0,28 ;

I m

4,5

19,6 j3,6

j

20 e

18

I 0,33

j0,28 0,43e j / 4 .

5. Преобразуем амплитуду комплексного тока на входе цепи в мгновенное значение синусоидального тока:

i = Imsin (314t + i) = 0,6sin (314t+ /4,5 ) А.

Дальнейший расчет цепи комплексным методом ведем по правилам расчета цепей постоянного тока.

6. Комплексное действующее значение напряжения на резисторе R1

U R1 I R1 0,33 j0,28 10 3,3 j2,8 В.

7. Комплексное действующее значение напряжения на участке разветвления цепи

U 23 I Z 23 0,33 j0,28 9,6 j3,6 4,18 j1,5 В.

8. Комплексное действующее значение токов в ветвях, соединенных параллельно:

U

4,18 j1,5

I 2

Z 2

j15,92

0,094

j0,264 А;

U

(4,18

j1,5)

I3

Z

3

10

j3,14

0,42

j0,018 А.

9. Действующие и мгновенные значения токов в ветвях, соединенных параллельно:

83

I 2	0,094 2 0,264 2 0,28 А; i2			2 0,28 sin( 314 t arctg		0,264			)
							0,094
0,395 sin( 314 t 0,531 ) А;
I3	0,422 0,0182 0,42	А; i3		2 0,42sin(314t arctg		0,42		)
					0,018

0,594sin(314t 0,486 ) А.

10. Если рассчитанные комплексные токи и напряжения переместить на комплексную плоскость, то получим векторную диаграмму.

Вопросы для самопроверки

1)

Дано: İ =5e j53º А. Какова алгебра-

6)

Дано: İ = ( 80 j60) A. Какова

ическая форма записи тока?

показательная форма записи тока?

1. 5cos53 j5sin53

1.

802

602 e j 180 arctg(3/4)

2. 5 j53

2.

802

602 e j 180 arctg(3/4)

3. 5sin53º j5cos53º

3.

802

602 e jarctg(3/ 4)

4. 5cos53º + j5sin53º

802

602 e jarctg(3/ 4)

5. 5sin53 j5cos53

4.

2)

+j1

Дано: U =

(30 j40) B.

7)

İ

Дано:

U = 60e j80º

В;

В каком квадранте комп-

İ = 2e j120º

А.

I

II

+1

лексной плоскости нахо-

U

Определите активное со-

III

IV

дится вектор напряжения?

противление цепи в омах.

II

I

IV

III

1. 30cos60

3. 30sin80

5.

30cos80

1.

2.

3.

4.

2. 30sin 60

4. 30sin 20

3)

Дан комплексный ток İ =10 j30º А.

8)

İ

А

U

Дано:

j65º

Найдите соответствующую ему

U

= 120e

В ;

синусоиду тока.

Z = 2e j15º Ом.

1.

10sin( t 30º)

Определите показания

2.

10sin( t 30º)

амперметра, ампер.

3.

14,1sin30º

20

40

60

80

120

4.

14,1sin( t 30º)

1.

2.

3.

4.

5.

84