5.											14,1sin( t 30º )
4) Дана комплексная проводимость																																																	9)				İ								Дано:					U = 100e j70º					В
				цепи Y (0,7 j0,8) См.																																																												İ = 10e j40º					А
		Укажите какая это цепь?
																																																		U									Определите реактивную
																																																												проводимость цепи,
																																																												сименс.
1.										2.							3.																	4.			5.														1. 0,1cos40										3.		0,1cos70 5.						0,1
																																																			2. 0,1sin30										4.		0,1sin 70
5)																																					Дано:													10) İ										Дано:					U = 180e j120º						В;
																																			R = 3 Ом;																															İ = 3e		j50º		А.
																																																		U
																																Х = 4 Ом.
																																																											Определите реактивную
Укажите комплексное
																																																												мощность цепи, ВА.
сопротивление цепи Z Ом.
																																																			1.				540sin120									3. 540sin50
					1. 4 j3														3. 3 j4
																																																			2.				540cos120									4. 540cos70
						2. 4 j3													4. 3 j4																				5. j7
																																																																5. 540sin 70
																№ вопроса																														1			2		3				4	5	6			7		8		9		10
																№ правильного ответа																														4			2		3				4	3	1			1		3		2		5

5.Методы расчета сложных цепей синусоидального тока

Втеме 5 рассматриваются вопросы, входящие в третий раздел рабочей программы. Для изучения данной темы следует иcпользовать материал темы 5.

Эти вопросы также разобраны в [1], [2], [3].

Обратите особое внимание на ключевые моменты этой темы, которыми являются:

метод контурных токов;

метод узловых напряжений (узловых потенциалов);

метод эквивалентного источника;

метод наложения;

баланс мощностей цепи синусоидального тока;

комплексная мощность.

85

5.1. Введение

Сложной называют электрическую цепь, имеющую разветвленную структуру и содержащую несколько источников энергии.

В основу расчета (определения токов) будет положено изображение исходных данных цепи комплексными числами. Напомним, что законы Ома и Кирхгофа в комплексной форме выполняются. Поэтому все рассмотренные ниже методы можно использовать для расчета цепей постоянного тока.

Метод расчета, основанный на непосредственном применении 1-го и 2-го законов Кирхгофа, рассматривался во второй лекции для цепей постоянного тока, и поэтому он здесь не представлен.

5.2.Метод контурных токов

Воснове метода лежит представление о независимых контурах, по которым протекают не зависимые друг от друга контурные токи.

Независимым называется контур, который содержит хотя бы одну новую ветвь, не входящую в другие контура.

На рис. 5.1 показана схема сложной цепи, в которой можно насчитать семь контуров. В ней можно выбрать только три независимых контура, например, контуры I, II, III. Остальные контуры окажутся зависимыми поскольку каждый из них содержит новые ветви, не входящие в другие контура.

В каждом из трех независимых контуров цепи протекает свой контурный ток. На рис. 5.1 показаны произвольно (по часовой стрелке) принятые направ-ления действия контурных токов İI, İII и İIII в независимых контурах цепи.

Контурные токи – промежуточные неизвестные данного метода рас-

чета. Относительно них составляется система уравнений (используется второй закон Кирхгофа). Легко заметить, что контурных токов меньше, чем токов в ветвях цепи. Это позволяет понизить порядок системы уравнений по сравнению с решением задачи по 1-му и 2-му законам Кирхгофа.

86

	I1		I2			I3
Е		Е	2				Е
1	II					III	3
	I				III
						II		Z
	Z1			Z2
	Z5	I5			Z6		I6	3
				4				3
	1			IIII
			III				I4
	Е		Z4
	4			Рис. 5.1

Методику составления уравнений для контурных токов рассмотрим на примере контура I. Составим для него уравнения по второму закону Кирхгофа:

İI (Z1 + Z2 + Z5) İII Z2 İIII Z5 = Ė1 Ė2.

(5.1)

В левой части этого уравнения представлены все напряжения первого контура. Здесь İI (Z1+Z2+Z5) – напряжение, создаваемое первым контурным током во всех сопротивлениях первого контура; İIIZ2 – напряжение, создаваемое в сопротивлении Z2 первого контура током İII второго контура, действующим противоположно току İI и поэтому взятое со знаком ( ); İIIIZ5 – напряжение, создаваемое в сопротивлении Z5 первого контура током İIII третьего контура, действующим противоположно току İI и поэтому также взятое в уравнении со знаком ( ).

Правая часть уравнения (5.1) состоит из алгебраической суммы ЭДС первого контура. Здесь Ė1 направлена согласно (в одну сторону) с направлением тока İI и, следовательно, входит в уравнение со знаком (+), а Ė2 направлена встречно контурному току İI и имеет знак ( ).

Уравнение (5.1) можно записать так:

Z11 İI + Z12 İII + Z13 İIII = Ė11,

где Z11 = Z1+Z2+Z5; Z12 = Z2; Z13 = Z5; Ė11 = Ė1 Ė2.

Аналогично можем записать уравнения для остальных контуров, которые образуют систему:

87

Z11 İI + Z12 İII + Z13 İIII = Ė11

Z21 İI + Z22İII + Z23 İIII= Ė22 .

(5.2)

Z31 İI + Z32 İII + Z33 İIII = Ė33 .

Сумму сопротивлений каждого контура будем называть собственным сопротивлением контура и обозначать для сокращения записи одним сопротивлением с двойным индексом вида ZКК. Для нашего примера имеем следующие собственные сопротивления контуров: Z11=Z1+Z2+Z5; Z22=Z2+Z3+Z6;

Z33=Z5+Z6+Z4. Все собственные сопротивления входят в уравнения (5.2) со знаком (+).

Сумму сопротивления общих для любых двух смежных независимых контуров будем называть взаимным сопротивлением контуров и обозначать его двойной индексацией вида ZКМ. Взаимные сопротивления входят в уравнение для каждого независимого контура со знаком (+), если контурные токи смежных контуров направлены в них в одну сторону (согласно) и со знаком ( ), – если в разные стороны (встречно). В нашем примере взаимное со-

противление первого и второго контуров Z12 = Z21 = Z2; взаимное сопротивление первого и третьего контуров Z13 = Z31= Z5; взаимное сопротивление второго и третьего контуров Z23 = Z32 = Z6 . Все они взяты со знаком ( ) потому, что контурные токи в каждом из смежных контуров направлены встречно друг другу.

Алгебраическую сумму ЭДС каждого независимого контура будем обозначать одной буквой с двойным индексом вида ЕКК . Решая полученную

систему уравнений, находим контурные токи İI ,İII и İIII. Однако на этом решение задачи не завершается, поскольку надо найти еще токи во всех ветвях цепи.

Во внешних ветвях (в нашем примере это ветви с сопротивлением Z1, Z3 и Z4) их токи равны контурным (с учетом знака).

Во внутренних (смежных) ветвях (Z2, Z5 и Z6) токи ветвей				равны ал-
гебраической	сумме	контурных	токов смежных контуров.	В нашем
примере
(рис. 5.1): токи внешних ветвей İ1=İI ,			İ3= I II , İ4 = İIII ; токи внутренних вет-
вей İ2 = İII İI ,	İ5 = İIII	İI , İ6 = İIII İII .

88

Пример 5.1. Два источника энергии (рис. 5.2) работают параллельно на одну нагрузку. Параметры источников и нагрузки известны: Е1 = 120 В;

Ė2=115 В; Z01 = Z02 = (1+j2) Ом; ZН =10 Ом. Требуется определить комплексные токи всех ветвей цепи, используя метод контурных токов.

I1	Е	I2	IН
Е1		2	ZH
	I
			II
Z01
		Z02

2

Рис. 5.2

1. Выбираем (произвольно) направления токов во всех ветвях цепи (İ1, İ2, İН ), как это показано на рис. 5.1.

2. Выбираем в качестве независимых контуры I и II и направления контурных токов İI и İII в них, как это показано на рис. 5.1.

3. Составляем систему уравнений по образцу системы (5.2)

İI Z11 + İII Z12 = Ė11;
İIZ21 + İII Z22 = Ė22 .	(5.3)
Здесь Ė11 = Ė1 Ė2 =120 115 = 5 В;	Ė22 = Ė2 = 115 В;

Z11 = Z01+Z02=(1+j2) + (1+j2)= (2+j4) Ом; Z22=Z02+ZН (1+j2)+10 = (11+j2) Ом;

Z12=Z21= Z02= (1+j2) Ом .

4. Рассчитываем контурные токи İI и İII, воспользовавшись теорией определителей.

Главный определитель системы

∆ =		Z 11	Z12				(2 j4)	- (1 j2)		=
		Z 21	Z 22				- (1 j2)	(11 j2)

= (2+j4) (11+j2) (1+j2) (1+j2) =17 + j44 = 47,2е j68,8 .

Первый дополнительный определитель получаем из главного заменой первого столбца свободными членами уравнений:

89