(вычитание) синусоидальных токов и напряжений графическим сложением (вычитанием) векторов и тем самым значительно облегчить расчет цепей синусоидального тока.

3.5. Закон Кирхгофа в векторной форме записи

При расчете цепей можно использовать законы Кирхгофа в векторной форме записи.

	К
1-й закон Кирхгофа:	I k	0 .	(3.5)

k 1

Геометрическая сумма векторов всех токов, подходящих к любому узлу цепи, равна нулю.

K		N
2-й закон Кирхгофа:	E	k	U	n .	(3.6)
k 1		n 1

Геометрическая сумма векторов всех ЭДС любого контура цепи равна сумме векторов напряжений на всех участках этого контура. В формуле (3.6) К – число источников энергии в контуре, N – число участков в контуре.

3.6. Фазовые соотношения между синусоидальными токами и напряже-

ниями

Если две или несколько синусоид имеют одинаковые начальные фазы, то это значит, что они совпадают по фазе. На векторной диаграмме такие синусоиды располагаются на одной прямой или параллельно друг другу.

Если две синусоиды имеют неодинаковые начальные фазы, то это значит, что они не совпадают по фазе или, иначе говоря, сдвинуты по фазе. Та из двух синусоид, фаза которой больше (с учетом знака), называется опережающей по фазе, тогда как другая – отстающей по фазе.

Так, из векторной диаграммы, показанной на рис. 3.4,б, следует, что ток i1 опережает общий ток цепи i по фазе на 53 , а ток i2 отстает от тока i по фазе на 37 . Заметим, что угол сдвига фаз между синусоидами не является произ-

58

вольной величиной. Он зависит от соотношения между параметрами R, L и C электрической цепи, о чем подробно будет изложено ниже.

В электроэнергетике большое значение придается углу сдвига фаз между напряжением и током цепи. Он определяется как разность начальных фаз напряжения и тока (с учетом их собственных знаков) и обозначается греческой буквой :

= u – i .

(3.7)

На рис. 3.5 показано соотношение между углом сдвига фаз и начальными фазами напряжения u и тока i (здесь они взяты положительными). От величины угла сдвига фаз зависит эффективность работы электрической цепи.

		U	m
					m
				I
0	u				Р
	i

Рис. 3.5

3.7.Действующие значения синусоидальных токов и напряжений

Вцепях синусоидального тока для измерения действующих значений токов и напряжений используют амперметры и вольтметры.

Понятие о действующем значении тока сложилось исторически при переходе электроэнергетики от использования сетей постоянного тока к сетям переменного синусоидального тока. Новый для того времени переменный ток сравнивали с постоянным током по его способности преобразовывать электромагнитную энергию в тепловую. Условились считать синусоидальный ток эквивалентным (равноценным) в этом смысле постоянному току, если он в сопротивлении R за время T одного периода выделяет такое же количество тепла, что и постоянный ток. При этих условиях количество тепла, выделяемого постоянным током, Wпост = I2RT, а количество тепла, выделенного сину-

T

соидальным током, Wсин i 2 R dt . Полагая Wпост = Wсин , находим, что:

0

59

	I2 R T =	T				1	T
		i 2 R dt	или	I			i 2 R dt .	(3.8)
					T
		0					0

Полученное соотношение определяет величину постоянного тока I, эквивалентного синусоидальному току по тепловому действию. Эта величина называется действующим значением синусоидального тока i . Подставив

i = Im sin( t+ i) в формулу (3.8) и произведя интегрирование, получаем

I I m 2 .

(3.9)

Таким образом, действующие значения синусоидального тока в 2 раз меньше его амплитуды.

Аналогичная формула существует и для определения действующего значения синусоидального напряжения:

U Um 2 .

(3.10)

В настоящее время действующие значения синусоидального тока и напряжения являются основными расчетными величинами. Поэтому при дальнейшем изложении будем использовать, главным образом, действующие значения этих величин.

3.8. Элементы в цепи синусоидального тока

Рассмотрим амплитудные и фазовые соотношения между током и напряжением в элементах R, L и C. Для этого приложим к этим элементам синусоидальное напряжение u = Um sin( t+ u) и рассчитаем мгновенное значение тока

вкаждой из них (т. е. найдем его амплитуду и начальную фазу).

1.Сопротивлением R. В этом элементе

		i		u		U m	sin( t u ) I m sin( t i ) .
				R		R
Анализ полученного выражения:
а)	I m	U m	или
		R
действующее значение тока							I U .	(3.11)
							R

Сопротивление R в цепи синусоидального тока называется активным, так как в нем проходит процесс преобразования электромагнитной энергии в тепловую. В большом диапазоне частот активное сопротивление R практически

60

постоянно. Величина, обратная активному сопротивлению, называется активной проводимостью: G 1R . Тогда формула для тока приобретает вид

I U R UG .

(3.12)

Это закон Ома для цепи синусоидального тока с активным сопротивлением.

б) Начальная фаза тока i u или φ = u – i = 0, т. е. в цепи с активным сопротивлением ток и напряжение совпадают по фазе.

2.Индуктивностью L. В этом элементе

iL1 udt U mL sin( t u 90 ) I m sin( t i ) .

Анализ полученного выражения:

а) Im	U m	или
	L
действующее значение тока			I	U	.	(3.13)
				X L

Выражение X L L , Ом, стоящее в знаменателе – это реактивное ин-

дуктивное сопротивление цепи. Величина, обратная индуктивному сопротивлению, называется индуктивной проводимостью

b L	1		1	.	(3.14)
	X L
			L

Тогда формула для тока в индуктивности приобретает вид

I U X L U bL . (3.15)

Это закон Ома для цепи синусоидального тока с индуктивным сопротивлением.

б) Начальная фаза тока i = u – 90 или = u - i = +90 , т. е. в цепи с индуктивностью ток отстает от напряжения по фазе на 90 .

3. Емкостью C. В этом элементе

	i C	du		U m	sin( t u			90 ) I m sin( t i ) .
		dt		1 / C
Анализ полученного выражения:
а) I m	U m		или
	1 C
действующее значение тока					I	U	.	(3.16)
						X C

61

Выражение X C 1 С, Ом, стоящее в знаменателе – это реактивное ем-

костное сопротивление цепи. Величина, обратная емкостному сопротивлению, называется емкостной проводимостью

bC	1		1	C	.	(3.17)
			1 C
	X C
Тогда формула для тока в емкости получает вид
I U	X C U bC .					(3.18)
Это закон Ома для цепи синусоидального тока с емкостью.
б) Начальная фаза тока i = u + 90 , т. е.					в цепи с емкостью ток опере-

жает приложенное напряжение по фазе на 90°. При этом = u – i = – 90 . Результаты исследования простейших цепей синусоидального тока представлены в табл. 3.1. Там же показаны их векторные диаграммы, а на рис. 3.6 даны осциллограммы токов и напряжений для цепей с R , L и С.

Таблица 3.1

Амплитудные и фазовые соотношения между током и напряжением

в простейших электрических цепях

№

Схемы цепей

Амплитудные со-

Фазовые соотно-

Векторные

п/п

отношения

шения

диаграммы

(закон Ома)

(сдвиг фаз)

I

R

U

U

I R UG ,

i = u

1

U

I

где G

1

= u – i = 0

R

	I	L	I	U	UbL	,	i = u – 90	U
2	U			X L
			где X L L ,				= u – i = +90	I
			bL 1		X L 1 L

I C

U

I

UbC ,

U

3

X C

i = u + 90

где

X C 1 C ,

= u – i = – 90 I

U

bC

1

X C C

62

u, i		u, i		u, i
u		u		u
i		i	t	i	t
	t
0		0		0
= 0		= +90		= 90
Сопротивление R		Индуктивность L		Ёмкость С

Рис. 3.6

3.9. Зависимость активного, индуктивного и емкостного сопротивлений от частоты

Эти зависимости представлены в виде графика на рис. 3.7.

Активное сопротивление R в при низких частотах практически не зависит от частоты и остается неизменной величиной, но индуктивное и емкостное сопротивления цепи синусоидального тока, в принципе, зависят от частоты приложенного напряжения.

Индуктивное сопротивление XL= L изменяется прямо пропорционально частоте. При частоте 0, XL 0, что подтверждает положение о том, что индуктивность в цепи постоянного тока не обладает сопротивлением .

Емкостное сопротивление X C 1 C изменяется обратно пропорционально

частоте: при 0 емкостное сопротивление XC , что соответствует отсутствию тока в емкости в цепи постоянного тока.

R, X	XL = L

R = const

XC =1/ C

0

Рис. 3.7

Частота = 0 имеет место в цепи постоянного тока.

63